线性代数知识点的总结

1、线性代数知识点总结第一章 行列式第一节：二阶与三阶行列式扌把表达式宀、aiia 11 322 - 3l2 321 称为a 213l2所确定的二阶行列式，并记作a 223113 21312312311311312321322D1bib23123113223213b2b1312311biD1 _b2322 D2321b2D311312，X D -3113123213223213 22.（课本P2）对三元方程组3nX1312X2321 X| + 322X2331X1 332X2=th二 b2'313X3'323X3'333X3 = b3=31132312321.结果为一个数。

2、（课本P1）321322冋理，把表达式311322333 + 3伐323331 +313321332 3仆323332 3伐321333 3322 331,称为由数311312313311312313表321322323所确定的三阶行列式，记作321322323。331332333331332333311312313即321322323= 3x322 333 *312323331 +313321332 3n32333 _ 31232133 _ 313322331,331332333二三阶行列式的计算：对角线法则（课本P2, P3）注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。 利用行列式计算

3、二元方程组和三元方程组：对二元方程组311xlq2x2 二 b1321 X| ' 322X2 = b?311312313321322323331332333b1a12a13a113a13a11a12b1D1 =b2a22a235D2 =a21b2a23,D3 =a21a22b2b3a32a33a31b3a33a31a32bs则xD1,X2 D2,X3 :D3。（课本上没有）DDD注意：以上规律还能推广到 n元线性方程组的求解上。第二节：全排列及其逆序数全排列：把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（或排列）。n个不同的元素的所有排列的总数，通常用R （或An）表示。（课本P5

4、）逆序及逆序数：在一个排列中，如果两个数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称它们构成一个逆序个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。排列的奇偶性：逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。 （课本P5）计算排列逆序数的方法：方法一：分别计算出排在1,2,）|,n_ 1,n前面比它大的数码之和即分别算出1,2,）|,n_ 1,n这n个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数。方法二：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数。（课本上没有）第三节：n阶行列式的

5、定义ai1ai2定义：n阶行列式D工a21a22IIIIIIa1 na2n等于所有取自不同行、 不同列的n个元素的乘积an1an2annai詔2 p2丨11 anpn的代数和，其中pi P2pn是1, 2 ,，n的一个排列，每一项的符号由其逆序数决定。D =ai10a22IIIIIIaina2nh1 tS"耳心?？川a.=耳心22川a.也可简记为det aij ，其中aij为行列式ai1ai2根据定义，有D二an1an2IIIIIIIIIIIIannaina2nann元）。（课本P6）'-1 5诙“印評2卩2川.A MlPn说明:1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个

6、数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的；2、n阶行列式是n!项的代数和；3、 n阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n个元素的乘积；4、 aip1a2pJ|anRi的符号为（-1），t的符号等于排列 Pi, P2,.Pn的逆序数5、一阶行列式 a =a不要与绝对值记号相混淆。推论1： 上,F三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积ai10*12a22IIIIIIaina2n=-1' ' a11a22 llgnn-*11*22 I 11 ann副对角行列式的值等于-1乘ann推论2:主对角行列式的值等于其对角线上各元的乘积, 以其副对角线上各元的乘积。明课本P7例6）第

7、四节：对换定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换。（课本P8）定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。（上述二定理证明课本 P8）定理2 n阶行列式D = det®）的项可以写为（-1）曲叽如1训"怯叭8 1呃很，其中 q1q2-qn是行标排列，p®2是列标排列。（证明课本 P9）推论 设有n阶行列式D=det（aj），则D =送（-汀皿叽aqnn或t(q1q2 11 qn) (p1p I pn )t

8、(q1q2|i I qn),D (T)aq1p1aq2p2a 或 D-(-1)印厲卩？ (仃列式三种不同表示方法）推论 在全部n阶排列中n _2，奇偶排列各占一半。证明设在全部n阶排列中有s个奇排列，t个偶排列，现来证 s二t。将s个奇排列的前两个数对换， 则这s个奇排列全变成偶排列， 并且它们彼此不同, 所以s乞t。若将t个偶排列的前两个数对换，则这 t个偶排列，全变成奇排列，并且它们彼此不同，于是有t乞S。综上有s=t。第五节：行列式的性质311312卅31nana21IIIan1a21322III32nTa12a22IIIan 2*frr,D =*rR q*-an13n2anna1na2

9、nIIIann定义 记D二，行列式dt称为行列式D的转置行列式。P9)行列式与它的转置行列式相等。（证明课本性质说明性质互换行列式的两行 n I rj或列G q ，行列式变号。（证明课本P10)推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。性质行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k（rj k），等于用数k乘此行列式；推论推论性质 性质1245D的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D的外面;D中某一行（列）所有元素为零，则行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零. 若行列式的某一列（行）D=0。（证明课本P10)的元素都是两数之和，则行列式中行与列具有同等地位，因此凡

10、是对行成立的行列式的性质的对列也成立。a11a12卅a11a12HI a1川a,na21a22IIIa2i川a?.+a21a22HI a2iIlla2nIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIan1an2IIIani川annan1an2in aIII ann把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列anna112III（為+ a；i)IIIa21申ra22*III2i+ a2JF卡IIIran1an2III(ani卡+ ani)IIIainD 二a2n（行）对应的元素上去,性质6行列式的值不变。（课本P11）计算行列式常用方法：利用定义；利用运算 ri krj

11、把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值。说明行列式中行与列具有同等的地位，行列式的6个性质凡是对行成立的对列也同样成第六节 行列式按行（列）展开余子式 在n阶行列式中，把元素 aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的 n-1阶行列式叫做元素aij的余子式，记作 Mj。j -!i代数余子式记 Aj =（-1 ） Mjj，叫做元素ajj的代数余子式。（课本P16）引理 一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i , j ） （i, j）元外aj都为零，那么这行列式等于aj与它的代数余子式的乘积，即D二ajAj 。（证明课本P定理n阶行列式ai1ai2川a21a22川*Vhddri-fa

12、n1an2HIa1na2n等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即D二卯人1 耳2人2 - ainAin，（i=1,2|l, n）（j - t）（证明课本P19）或 D = a“ A j a2 j A2j J11 ' anjAnj， （j =1,2,|）, n）。（证明课本 P17）11IH1X1X2川Xn扩展范德蒙德（Vandermonde）行列式D = n2X1x；川2Xn=n（人Xj）的证+2Fn3亘n A.n1 | Jn_1X1X2Xn明见课本P18a11a12卅a1n展开定理推论n阶行列式 D =a21*a22IIIIrRa2nr的任意行（列）的各元素

13、与另一an1an2IIIann行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即ai1As1 + ai2 As2+IH+ ainAsn = 0 （iS）a1 j a2j At 丨 Ianj Ant - 0第七节克拉默法则"印1为 +2X2 +1li+a1nXn =b|如果线性方程组丿a21% +02X2 +|li+a2nXn =鸟砧刁拓厂万仆+的系数仃列式不等于零:耳必+an2X2 +川+九人二0ana12川am即D =a21a22* Ifai* HI a2n1ilt式0，那么该方程组有唯一解an1an2HI annX1晋晋必弋，Xn晋其中D是用非齐次项代替D中第i列元素后所得的行列式。（证

14、明课本P53，第二章）注意克拉默法则只适用于方程个数与未知量个数相等的情形。定理4 如果线性方程组（1）的系数行列式 X 0,则（1） 一定有解，且解是唯一的。 逆否定理如果线性方程组（1）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。aiXi + a2 x? +.+amXn =0a?iXi +322X2 +.PnXn =0的系数行列式D式0,则其次aniXi +an2X .+annXn =0定理5 若齐次线性方程组线性方程组没有非零解。（即解唯一，只有零解）逆否定理如齐次方程组有非零解，则它的系数行列式D必为零。（课本P25）第二章 矩阵第一节矩阵定义由mxn个数aij （i =1 , 21

15、, m ,j =111，n2排成的m行n列的数表ai1ai2川ain1 a11厲2山a1na2ia°2111a° n,.称为m行n列矩阵。简称m x n矩阵，记作A =a21a2211,a2n+4b+4bIII HI III Ilfam1 am2 川amn_am1am1H1amn 丿简记为人=入妙=佝；=佝），这mxn个数称为A的元素，简称为元。说明元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。扩展几种特殊的矩阵：方阵：行数与列数都等于 n的矩阵A。记作：A。 行（列）矩阵：只有一行（列）的矩阵。也称行（列）向量。同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。相等矩阵：

16、AB同型，且对应元素相等。记作：A= B零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同） 对角阵：不在主对角线上的元素都是零。单位阵：主对角线上元素都是 1,其它元素都是0，记作：En（不引起混淆时，也可 表示为E ）（课本P29 P31）注意矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。第二节矩阵的运算矩阵的加法设有两个m n矩阵AW.aij和B =血 ，那么矩阵 A与B的和记作 A B ,an+ bna12 + b)2IIIa1 n * b n规定为A+B =a21IIIa22 + b22IIIa2n +b2nII

17、IIIIIIIlam1am2 + bm2IIIamn * Sn 丿说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（课本P33）矩阵加法的运算规律1 A B =B A;2 A B C =A B C'-a11_a12III_a1n(3设矩阵A = (aj h沟，记-A = (內人迹=-a21III_ a22IIIIIIIII_a2nHI,-A称为矩阵A._am1_am1III_amn j的负矩阵(4)A+(A 尸0, A B = A + (B 卜(课本P33)数与矩阵相乘数与矩阵A的乘积记作 A或 A ,规定为数与矩阵A的乘积记作 A或A ,规定为 A = A =ai2III丸a1na

18、22III，a2nIIIIIIIII扎am1III人amn J扎Qi>021III1人弟1数乘矩阵的运算规律(设 A B为m n矩阵，为数)1 胪.空A M ；2 a = A ；3 A B = A B。(课本 P33)矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。矩阵与矩阵相乘设B=(bj)是一个m s矩阵，B=(bj)是一个s n矩阵，那么规定矩阵 A 与矩阵B 的乘积是一个 m n 矩阵C =(应為 a i2l(ai gibsj- H2 a b i ai bk i，冃，2，川叽k#并把此乘积记作C二AB1。A与B能相乘的条件是： A的列数=B的行数。2。 矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情

19、况下，AB = BA，而且两个非零矩阵的 乘积可能是零矩阵。3。对于n阶方阵A和B,若AB=BA则称A与B是可交换的。矩阵乘法的运算规律1 AB C 二 A BC ;2 AB 二，AB=A，B3 A B C = AB AC, B C A 二 BA CA4 Am n En n=Em：mAm n5若A是n阶方阵,则称A为A的k次幕，即Ak并且 AmAk = Am kAm i： -Amk m,k为正整数。规定：A= E注意 矩阵不满足交换律，即 AB式BA，（AB f AkBk （但也有例外）（课本P36）仇0、纯量阵 矩阵九E=" *称为纯量阵，作用是将图形放大k倍。且有hI<0町

20、（九E）A= A仇E丰九A A为n阶方阵时，有 仏En）An =人仏E.）=九代，表明纯量阵与任何同阶方阵都是可交换的。（课本P36）转置矩阵把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作 A，1 4、如 A=P 22"，A =2 5討5 8丿<28转置矩阵的运算性质j j T T1 A二A ；TtT2 A B = A B ；3 A =At；TtT4 AB i； BtAt。（课本 P39）方阵的行列式由n阶方阵A的元素所构成的行列式，叫做方阵A的行列式，记作 A或 det A （记住这个符号）注意矩阵与行列式是两个不同的概念，n阶矩阵是n2个数按一定方式排成的数

21、表，而n阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。运算性质（1 ） AT = A ； ab| =|a b| =|b a =|ba （课本 P4o） 对称阵 设A为n阶方阵，如果满足 A=A，即aij = ajj i, j = 1,2，川，n那么A称为对称阵。说明对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等，如果人丁二-A则称矩阵A为反对称 的。即反对称矩阵 A= （am）中的元素满足 a = - aji , i , j =1, 2，n伴随矩阵行列式 A的各个元素的代数余子式Aj所构成的如下矩阵宀a2 ：2粘：2称为矩阵A的伴沁A2n川性质AA"=A>tlA=AE （易忘知识点

22、）（课本P41）共轭矩阵（略）（课本P42）总结（1 ）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，且矩阵相乘不满足交换律。（3 ）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同。第三节 逆矩阵定义 对于n阶矩阵A,如果有一个n阶矩阵B,使得AB= BA= E则说矩阵A是可逆的，并 把矩阵B称为A的逆矩阵。A的逆矩阵记作 A，即B。说明1 A , B互为逆阵，A = B12 只对方阵定义逆阵。3. 若A是可逆矩阵，则 A的逆矩阵是唯一的。定理1 矩阵A可逆的充分必要条件是1AO，并且当A可逆时，有人亠二厂人* （重要）（证明见课本

23、P43）奇异矩阵与非奇异矩阵IA当A=0时，A称为奇异矩阵，当 A式0时，A称为非奇异矩阵。即A可逆=A为非奇异矩阵=A = 0。推论 若AB = E （或BA=E），则B = A （证明见课本P43）(1) 先求|A|并判断当|A|=0时逆阵存在；求逆矩阵方法(2)求A*；(3)求丄 A* 二 A，。|A|逆矩阵的运算性质 1 1 -11若A可逆,则A亦可逆，且A 二A2若A可逆,数 -0,则，A可逆,且 A = - AJ。扎3若A,B为同阶方阵且均可逆,则AB亦可逆,且(AB)，二BA，。(以上证明见课本P43)T4若A可逆,则A亦可逆，且AA o(5 若A可逆,则有A，= A o方阵的多

24、项式设(x) =a0 - a1x - a2x2 amxm为x的m次多项式，A为n阶矩阵，记- (A) =aoE 3A - a?A2，|1| amAm称:(A)为矩阵A的m次多项式。(课本P46) 注意 矩阵A的任意两个多项式j (A)与f(A)可交换，即(A) f (A f (A) (A)，矩阵A 多项式可以像x的多项式一样相乘或因式分解。矩阵多项式的计算1kk 1(1) 如果 A 二 P- F ,则 AP，则(A) =a°E pA azA2 | - amAm二 Pa0EP， PavT J Pa2上2P J|l Pam上mP，=P(上)P，(重要)总结逆矩阵的计算方法1 a*(1待定

25、系数法；(2 )利用公式A =闪;(3)初等变换法(下一章介绍)第四节 矩阵分块法矩阵分块将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。分块的目的是为了简化运算。分块矩阵的运算规则加法A与B同型，且A、B的分块方法相同，则 A与B的和定义为对应子块相加。数乘 A = ( Aj ) o转置乘法首先AB有意义，其次A的列的分法与B的行的分法相同。设A为m l矩阵，B为I n矩阵,分块成a =（A,a2,川A）（即列向量组）,B= B （即行向量组）*JBn JCJl!FC sr /ZCii III其中Ai,A2,川At的列数分别等于B

26、ij,B2j|,Btj的行数,那么AB=；<Cs1 IIIt其中 Cij = x AkBqi =1,|ILs;j。kT结论分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似。分块对角阵（准对角矩阵）设A为n阶矩阵，若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且:A、A非零子块都是方阵，即A=.，其中A （ii，2,|"s）都是方阵，则有：a<As1）IATaIAIiha。%2）若每个|A|式0,则A可逆,且有A =a2 .，*IAs丿A可逆= A可逆 i=1,2,l|l,s且A 二 diag A,A2',HI,A （diag （A）表示对角阵 A（课本P5

27、0）有用的结论设AtA =0,则A =0 （证明见课本P51例17）线性方程组的分块表示a +a12x2 + a1nxn =b线性方程组*B称为增广矩阵。增广矩阵可以a21x a22x2 . a2nx = b2中、aia2ainb记 A = (a) x =X2rr申,b =b2rrr,B=a21 a22 .iri<a2nqRb2frF<bm Jfml am2 .amn其中A为系数矩阵,b称为常数向量,amiXi - am2X2. - amnXn 二 bnx称为未知数向量,分块表示为：B = (A,b)或 B = (a1, a2,., an, b)第三章矩阵的初等变换与线性方程组第一

28、节矩阵的初等变换初等行变换1对调两行，记作（r rj）。2以数k=0乘以某一行的所有元素，记作（n k）。3把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去，记作（n krj）。 初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“ c”。扩展矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换且类型相同。矩阵等价如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵 B,就称矩阵A与B等价。等价关系的性质（1）反身性AA（2）对称性若A B，则B A;（3）传递性 若 AB,BC,则 AC。（课本P59）行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零， 每个台阶只有

29、一行， 台阶数即是非零 行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行 的第一个非零元。行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0.（E O）标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如F = r的矩阵，称I。丿m帕为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A等价的矩阵中形状最简单的矩阵。初等变换的性质 设A与B为m n矩阵，那么r（1）aLb= 存在m阶可逆矩阵P,使PA=B;c（2）AB=存在n阶可逆矩阵Q,使AQ=B;（3）ALB=存在m阶可逆矩阵P,及n阶可逆矩阵Q,使PAQ = B;初等矩阵：由单位矩阵经

30、过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。初等矩阵的性质设A是一个nt< n矩阵，则(1) 对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的 m阶初等矩阵；r即AB=存在m阶可逆矩阵P,使PA = B;(2) 对 A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的 n阶初等矩阵；即AB存在n阶可逆矩阵Q,使AQ=B；(3) AB=存在m阶可逆矩阵P,及n阶可逆矩阵Q,使PAQ二B;(4) 方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵R, P2,川,p,使A= PP2|H P上(5) A可逆的充分必要条件是 AE。(课本P61 P63)初等变换的应用/八 -(、平左匚加._. 初等行变换tn

31、_i 、 、. I A ； 初等列变换E(1) 求逆矩阵：(A|E)、(E|A 疯，1、 二。(E丿lA丿(2) 求 A1B : A(A,B)(E,P),即(A| B)行E | AB，则 P=A-1B。或初等列变换TE 、1iBA丿第二节矩阵的秩矩阵的秩任何矩阵n，总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的。(非零行的行数即为矩阵的秩)矩阵的秩 在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D,且所有r + 1阶子式(如果存在的 话)全等于0,那么D称为矩阵A的最高阶非零子式。数r称为矩阵A的秩，记作R(A). 规定零矩阵的秩，R(0)=0.说明1. 矩阵 Anx n

32、，贝U RA) < minm n;2. R(A)=呼);3. F(A) > r的充分必要条件是至少有一个r阶子式不为零；4. &A) < r的充分必要条件是所有r + 1阶子式都为零.满秩和满秩矩阵矩阵A=(aj鳥，若R(A)=m，称A为行满秩矩阵；若R(A) = n ,称A为列满秩矩阵；若A为n阶方阵,且R(A)二n,则称A为满秩矩阵。若n阶方阵A满秩，即R(A) -n A 式 0;_4”,二 A必存在；=A为非奇异阵；二A必能化为单位阵En,即A En.矩阵秩的求法定理1矩阵A经过有限次行(列)初等变换后其秩不变。即若 AB,矩阵Anxn，经过有限次初等行变换可变

33、为行阶梯形，则非零行的行数就是本 P67)推论若P、Q可逆，则R(PAQ)二R(A)(课本P67)矩阵秩的性质总结(1) o 乞 R(Am n) E min m,n R(AT) =R(A)若A B,则R A = R B 若P、Q可逆，则R(PAQ) =R(A)(5) maxR(A), R(B) < R(A, B)空 R(A) R(B)特别当B =b为非零列向量时，有 R(A)乞R(A,b)< R(A) 1.(6) R(A B)乞 R(A) R(B)(7) R(AB) E min R(A), R(B).(8) 若AmnBnl =O,则 R(A) R(B n.(9) 设AB=O，若A为

34、列满秩矩阵，则B=O (矩阵乘法的消去率)第三节 线性方程组的解a)1X1 +a)2X2 +"|+&仆人线性方程组加霊监爲川b2如果有解，则称其为皿©|1为 *am2X2 *川amnX _ bm则 R(A)=R(B)。A的秩。(证明课。(课本P71)否则称为不相容的。定理2 n元齐次线性方程组Ax=0(1) R(A) = n :二 Ax=0 有唯一解，零解(2) R(A) < n = Ax=0 有非零解.定理3 n元非齐次线性方程组 Ax =b(1)无解的充分必要条件是R(A) :：: R(A, b)(2) 有唯一解的充分必要条件是R(A)二R(代b)二n(3

35、) 有无限多接的充分必要条件是R(A)=R(代b) :：: n (证明课本P71)基础解系齐次线性方程组 Ax = 0的通解具有形式x = Gm亠c2(ci, C2为任意常数)，称通解式Ci 1 C2 2 Ci, C2为任意常数 中向量1, 2构成该齐次线性方程组的基础解系。线性方程组的解法齐次线性方程组：将系数矩阵A化成行阶梯形矩阵，判断是否有非零解若有非零解，化成 行最简形矩阵，写出其解；齐次线性方程组的基础解系含有的向量个数为n-F(A)，齐次线性方程组的通解可以表成基础解系的“线性组合” 。非齐次线性方程组： 将增广矩阵B=(A,b)化成行阶梯形矩阵，判断其是否有解若有解，化 成行最简

36、形矩阵，写出其解；在求解过程中，一般取行最简形矩阵中非零行的第一个非零元 对应的未知量为非自由的。非齐次线性方程组解的通解具有形式x = g 1 c2 2二(C1, C2为任意常数)，不带参数部分*是非齐次方程组的一个解；带参数部分C11 - C2 ；的两个向量构成对应齐次方程的基础解系。定理矩阵方程AX B有解的充分必要条件是 R(A) = R(A,B)定理设AB =C,则R(C)乞 minR(A),R(B)第四章向量组的线性相关性第一节向量组及其线性组合n维向量n个数ai, a2,an组成的一个有序数组（ai,a2,an）称为一个 n维向量,记为'9i 'a = &

37、2 （列向量形式）或g丁 =（印,a2l| ,an）（行向量形式），其中第i个数ai称为向量®丿的第i个分量。说明1. 列向量即为列矩阵，行向量即为行矩阵2. 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；3. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量。行向量可看作是列向量的转置。零向量0=（0,0,0） T（维数不同，零向量不同）负向量- - (- ai, - a2,丨丨1, -a.)。向量相等设=(4 ,a2,丨 11, an )，- - (bl,b2J H ,bn ),若= bj , i = 1,2, | 1 ( ,n 则向量运算规

38、律：（、: 二Q （ 0是零向量，不是数零） 蔦叫-：）=0 1： = -（二亠）= * - -满足以上8条性质的向量加法、数乘两种运算，称为线性运算。 向量与矩阵的关系向量组ai,a2,IH,an称为矩阵A的列向量组。同理，也可说矩阵向量组若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。aiiai2IIIau川ain设矩阵 A=（aij ）mxn有n个 m维列向量，即A =a21+a22IIIa2j号IH+a2nq+<ami3 m21IIIamj+IHqamnA有m个行向量组组成。m个n维列向量所组成的向量组i,： 2,|I（,：f构成一个n m矩阵A = （： i,2

39、,11（,m），m个n维行向量所组成的向量组 T，叮川mT，构成一个m n矩阵B =另外，线性方程组的解也可以用一个向量来描述；线性方程组的解集合（通解）可以用一个向量组来描述。向量，向量组，矩阵与方程组的关系向量组：二矩阵：A = （r, ：2,丨1（ ,m）aim二方程组：a21rfarx, +a22itx2 + .+a2m+*Xm -b2卡h卡<ani 丿<an2 Jlanm 丿2n丿向量方程可简写作J2X2 VnXn二：向量方程=方程组：二矩阵形式Xi、Ax=b= （%。2,川,叫）X2hr=b2hFid丿线性组合 给定向量组 A = i,2l（m和向量b，如果存在一组数 i,'2,， m使b =22 J 1（ ' mm，则向量b是向量组A的线性组合，这时称 b向量能由向量组 A线性表示。定义给定向量组A：,2，川m，对于任一组实数ki，k2,，,km，向量kii，k22 川'km称为向量组的一个线性组合。ki，k2,川,km称为这个线性组