第二章 圆锥曲线与方程

1、第二章 圆锥曲线与方程人教社新课标B版选修2-1北京师大二附中 赵昕一、教学目标（一）知识与技能目标1了解曲线与方程的对应关系，掌握两条曲线的交点的求法，会求简单曲线的交点，并能根据已知条件求曲线的方程，并初步学会通过方程来研究曲线的性质.2掌握椭圆、抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单性质，了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质.3能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题.（二）过程与方法目标1通过曲线与方程的教学，帮助学生理解并感受解析几何研究问题的一般过程与方法.2通过椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的推导，使学生掌握求曲线方程的一般方法，渗透数形结合

2、的思想方法.3通过对椭圆、双曲线、抛物线的研究使进一步掌握研究曲线的一般方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力.4将椭圆的研究方法迁移到双曲线、抛物线的研究过程中，体会类比的学习方法，培养学生分析、归纳、推理等的能力.5通过圆锥曲线的学习，使学生进一步体会数形结合的思想方法.（三）情感、态度与价值观目标1通过曲线与方程概念的教学，使学生体会数与形的相互联系，培养学生对立统一的辩证唯物主义观点.2通过列举生活中的常见的与圆锥曲线有关的实例，经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，让学生感受圆锥曲线在刻画显示世界和解决实际问题中的作用.3通过学生对椭圆、双曲线、抛物线性质的自主探究，激发学生

3、学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识.4通过对圆锥曲线的研究，让学生感知方程和图形的简洁美与对称美，提高学生数学素养.5通过圆锥曲线统一性的研究，对学生进行运动变化、对立统一的辩证唯物主义思想教育.二、知识结构本章主要内容为曲线与方程，圆锥曲线的定义、方程、几何性质以及直线与圆锥曲线的位置关系.本章共分五大节.第一节是曲线与方程，在这一节中不仅介绍了曲线的方程，方程的曲线的概念，而且简单介绍了解析几何的基本思想（用代数方法研究几何问题）、基本方法（坐标法），并用实例说明了研究曲线的基本过程（先求曲线的方程，通过方程来研究曲线的性质）.本节对本章内容起到了统领作用，后面对三种圆锥曲线的

4、研究正是第一节中介绍的研究方法和过程的具体实践.第二、三、四节分别研究了椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线.每一节都分两小节的内容，前一小节主要学习圆锥曲线的定义和标准方程；后一小节主要学习圆锥曲线的几何性质.在解析几何中所讨论的曲线的性质通常包括：（1）曲线的范围；（2）曲线的对称性；（3）曲线与坐标轴的交点以及不同曲线所具有的一些特殊性质.第五节是直线与圆锥曲线.主要内容有判断直线与圆锥曲线的交点个数、求直线与圆锥曲线相交所得弦的长度、确定圆锥曲线上的特殊点等.本节起到了前四节所学知识及方法概括和提升的作用，重点突出了利用坐标法来研究几何性质.基本结构如下图所示：直线和圆锥曲线的位置关系椭

5、圆，双曲线，抛物线的定义、方程和几何性质曲线与方程综合应用具体实践主导思想三、地位作用圆锥曲线是很多实际问题的重要数学背景知识主要体现在两个方面，一是大部分光学仪器都是利用圆锥曲线(面)的性质制作的；二是宇宙中很多天体的运行轨道都是圆锥曲线或近似为圆锥曲线.此外，曲线可以看成是符合某种条件的点的轨迹.在解析几何里用坐标法研究曲线的一般程序是：建立适当的坐标系，求出曲线的方程；利用方程讨论曲线的几何性质，说明这些性质在实际中的应用.在数学必修2第二章里，学生已经接触了这种方法，但由于直线与圆的问题可借助很多平面几何中所学图形的性质解决，因此坐标法的重要性及其必要性显得不是特别充分，而在“圆锥曲线

6、与方程”这一章中，这种研究曲线的方法和过程以及它的优势体现得最突出，因此在这里更加明确了坐标法的概念和作用.这也体现了新课标对同一知识内容采取螺旋式上升的设计理念.因此“圆锥曲线与方程”是高中课程中的重要内容，也是高中解析几何中的重点内容，特别是在对学生掌握坐标法的能力的训练方面有着不可替代的作用.重点、难点（一）本章重点内容1曲线与方程的概念.2椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程和几何性质.3研究曲线的基本方法与过程.4坐标法.（二）本章难点内容1曲线与方程的概念.2使用坐标法过程中涉及到的一些代数运算.坐标法中涉及到的代数运算可分为两类，一类属于运算过程带有一定技巧性，一类属于运算过程较为复

7、杂繁琐，无论哪类问题，学生都会感觉到有一定困难，在教学时，对相关运算应进行详细讲解，认真练习.教学建议（一）本章教学建议1突出重点，控制难度教学中应根据教学目标把握好各部分知识的难度，因此对它在教学的难度应注意与椭圆和抛物线相区别.圆锥曲线的统一定义没有对学生做出要求，在教学要注意对其进行合理的安排.对一些要求不高的内容主要应体现让学生感受知识的形成过程及解析几何研究问题的方法，而不在于掌握和运用知识的具体结论进一步解决其他问题.圆锥曲线的统一性不仅体现在圆锥曲线的统一定义上，还体现在圆锥曲线在物理及天文学中的广泛应用，对这部分内容，程度较好的学校可通过对圆锥曲线的统一性的归纳与探究，让学生深

8、层次地体验解析几何求曲线方程的基本方法及用方程研究曲线的基本思路，并且感受圆锥曲线在现实世界中的实际应用.2注重过程，抓住本质通过本章教学学生除了在头脑中留下圆锥曲线的标准方程、几何性质中那些形式化的记忆外，应注重提高学生对数学本质的认识.教学中，对曲线与方程的概念、三种圆锥曲线的定义这些概念，应引导学生对概念的内涵与外延进行全面的讨论使学生更好地理解掌握这些概念.另外，应努力让学生通过对双曲线、抛物线几何性质的探究，经历数学结论的形成过程，并在这一过程中提高学生类比、归纳、推理等多方面的能力.3注重应用，联系实际本章教学中应注意与实际相联系，使学生感受圆锥曲线在刻画显示世界和解决实际问题中的

9、作用.圆锥曲线在实际中的应用主要体现在两个方面，一是物理方面的应用，主要指天体运行的轨道是圆锥曲线和许多光学仪器的制造都利用了圆锥曲线的光学性质；二是在一些具体情境中存在着圆锥曲线模型.这些实际应用在教材中具体体现在一下几部分：（1）.注意从具体情境中抽象出椭圆、抛物线的模型，可让学生在身边找到圆锥曲线的模型.（2）.在本章的第2、3、4、5节的例题中分别引入了一道实际应用问题，教学过程中应重视应用问题的教学，并注意引导学生了解相应例题中应用问题的实际意义.（3）.在介绍圆锥曲线统一性时可介绍圆锥曲线的光学性质和天体运行轨道与圆锥曲线的关系，体现圆锥曲线在实际问题中的应用.4注重渗透数形结合思

10、想“数”与“形”的结合应包含两个方面，一是将几何即“形”的问题转化为代数即“数”来解决，二是探究代数式所包含的几何意义.解析几何的实质是用代数方法解决几何问题，但在教学中要注意避免只注重数量关系推导忽视其几何含义.“数”和“形”“数”来解决“形”的问题，还应注意不断揭示“数”的几何意义，只有这样才能够让学生全面理解“数”与“形”之间相辅相成的辩证关系.5注重对学生探究能力的培养本章教学中应重视对学生探究能力的培养.本章在第一节曲线与方程中给出了研究曲线的一般过程与方法，这为后面学生对椭圆、双曲线和抛物线的自主探究创造了条件.教学中应引导学生对相关知识内容进行类比学习，利用已具备的知识自主获取新

11、的知识.本章教材中共有四个“思考与讨论”问题，还有一个“探索与研究”问题，对“思考与讨论”问题应在课堂认真组织学生进行讨论，对于“探索与研究”有条件的可组织学生对进行问题进行研究，从而获得圆锥曲线的统一定义.教学中应鼓励学生养成独立思考、积极探索的学习习惯，让学生体验数学知识的形成过程，提高学生对问题的探究能力.6注重与信息技术的整合本章内容为解析几何的内容，应充分发挥现代化信息技术的作用，利用计算机或其他现代教育技术手段演示或引导学生自主探究平面截圆锥所得的圆锥曲线，曲线与方程的对应关系，圆锥曲线的定义，圆锥曲线的统一定义等问题，使学生更好地体会数形结合的思想.（二）各节具体教学建议曲线的方

12、程和方程的曲线的概念是教学中的难点.由于曲线的方程的概念较为抽象，应注意结合大量实例，将曲线与方程之间的对应关系阐释清楚.由于学生已学习了直线与圆的方程，因此实例可采用直线或圆，还可利用函数图像及其解析式之间的对应关系来说明曲线与方程之间的对应关系.在教学中应注意函数解析式与方程的区别与联系，函数解析式都可以看成是一个二元方程，但很多方程不能看成函数的解析式，如x2+y2=1.在曲线与方程这一节的教学中要注意体现解析几何研究问题的一般过程与方法.教材第2小节中的例题实际以实例的形式阐释了上述方法和过程.在教学中应引导学生注意体会例题的作用，为后面圆锥曲线的研究作好铺垫.适应学生的思维过程，先让

13、学生实践推导过程，再与教材中的方法进行比较，从而积累代数变形的经验.教材中对标准方程的推导是对式子进行了有理化之后与原式相加达到化简的目的.实际上对含有两个根式的代数式的化简一般采取将一个根式保留在等号一边然后两边平方的方法，这种方法更具有一般性，而教材中的方法则充分利用了代数式的对称性，化简中的运算量较小，但从对含两个根式的代数式化简的方法来看不具有一般性，具有较强的技巧性.大多数学生在对方程进行化简时会采取两边平方的方法，在教学中应充分展示学生的不同方法，并注意引导学生对不同方法进行比较，点评，提高学生代数运算的能力.双曲线的渐近线是双曲线不同于椭圆的特殊性质，教学中可先引导学生对双曲线的几何性质进行自主探究，探究过程中可通过画双曲线的图形引导学生思考双曲线图形的变化趋势，从而发现双曲线的渐近线，并对其进行定量的研究.抛物线的性质研究之后应注意将抛物线的图形和双曲线的图形进行比较，指出它们都不是封闭的曲线，都可向远方无限延伸，而抛物线的图形是没有限制的，双曲线的图形有渐近线限制的.研究完抛物线的性质后，可根据教材P67页的探索与研究，引导学生得到圆锥曲线的统一定义，体现事物之间的对立统一及普遍联系.本节内容在大纲教材中没有出现，但实际上最能够体现解析几何的基本方法坐标法，因此课标教材将其独立成节.教学中应充分利用本节内容使学生理解体会解析几何的