高考数学曲线方程及圆锥曲线

1、普通高中课程标准实验教科书数学 人教版高三新数学第一轮复习教案（讲座35）曲线方程及圆锥曲线的综合问题一课标要求：1由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练；2通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；3了解圆锥曲线的简单应用。二命题走向近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以押轴题形式出现，主要考察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2007年高考对本讲的考察，仍将以以下三类题型为主。1求曲线（或轨迹）的方程，对于这类问题，高考常常不给出图

2、形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力；2与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。预测07年高考：1出现1道复合其它知识的圆锥曲线综合题；2可能出现1道考查求轨迹的选择题或填空题，也可能出现在解答题中间的小问。三要点精讲1曲线方程（1）求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下：（2）求曲线方程的常见方法：直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。转移代入法：这个方法又叫相

3、关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y联系起来，得到用参数表示的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。2圆锥曲线综合问题（1）圆锥曲线中的最值问题、范围问题通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函

4、数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。圆锥曲线的弦长求法：设圆锥曲线Cf(x，y)=0与直线ly=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为：若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围。（2）对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。（3）实际应用题数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同

5、时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等。涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是：建立坐标系 （4）知识交汇题圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强区分度的综合题。四典例解析题型1：求轨迹方程例1（1）一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。x2-y2=1有动点P，F1,F2是曲线

6、的两个焦点，求DPF1F2的重心M（2）双曲线9的轨迹方程。解析：（1）（法一）设动圆圆心为M(x,y)，半径为R，设已知圆的圆心分别为O1、O2，将圆方程分别配方得：(x+3)+y=4，(x-3)+y=100，当eM与eO1相切时，有|O1M|=R+2当eM与eO2相切时，有|O2M|=10-R将两式的两边分别相加，得|O1M|+|O2M|=12，即移项再两边分别平方得： 2222y P =121 2 x=12+x 两边再平方得：3x+4y-108=0， 22x2y2+=1， 整理得3627x2y2+=1，轨迹是椭圆。 所以，动圆圆心的轨迹方程是3627=12，由以上方程知，动圆圆心M(x,

7、y)到点O1(-3,0)和O2(3,0)的距离和是常数12，所以点M的轨迹是焦点为O1(-3,0)、O2(3,0)，长轴长等于12的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，2c=6，2a=12，c=3，a=6，b=36-9=27， 2x2y2+=1。 圆心轨迹方程为3627（2）如图，设P,M点坐标各为P(x1,y1),M(x,y)，在已知双曲线方程中a=3,b=1，c=已知双曲线两焦点为F1(F2，DPF1F2存在，y1¹0ìx=ïìx1=3xï由三角形重心坐标公式有í，即í 。 y=3yî1ïy

8、=y1+0+0ï3îy1¹0，y¹0。(3x)2-(3y)2=1(y¹0) 已知点P在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有9即所求重心M的轨迹方程为：x2-9y2=1(y¹0)。点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法”求轨迹方程的方法。x22例2（2001上海，3）设P为双曲线-y1上一动点，O为坐标原点，M为线4段OP的中点，则点M的轨迹方程是 。解析：（1）答案：x24y21设P（x0，y0） M（x，y） x=x0y,y=0 2xx0，2yy0 224x24y21Þx24y21 4点评：利用中间变量法（转

9、移法）是求轨迹问题的重要方法之一。题型2：圆锥曲线中最值和范围问题x2y2例3（1）设AB是过椭圆2+2=1(a>b>0)中心的弦，椭圆的左焦点为abF1(-c，0)，则F1AB的面积最大为（ ）A. bc B. ab C. ac D. b 2x2y2（2）已知双曲线2-2=1(a>0，b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点P在双ab曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率的最大值是（ ）A. 4 3 B. 5 3 C. 2 D. 7 2x2y2+=1上一点，则|PA|PB|的 （3）已知A（3，2）、B（4，0），P是椭圆259最大值为（ ）A.

10、10B. 10-5 D. 10+2 C. 10+解析：（1）如图，由椭圆对称性知道O为AB的中点，则F1OB的面积为F1AB面积的一半。又|OF1|=c，F1OB边OF1上的高为yB，而yB的最大值是b，所以F1OB的面积最大值为1cb。所以F1AB的面积最大值为cb。2点评：抓住F1AB中|OF1|=c为定值，以及椭圆是中心对称图形。（2）解析：由双曲线的定义，得：|PF1|-|PF2|=2a，又|PF1|=4|PF2|，所以3|PF2|=2a，从而|PF2|=2a 3由双曲线的第二定义可得|PF2|c=， a2ax-cc55a25a2 所以x=。又x³a，即³a，从而e

11、=£。故选B。 a33c3c5a2点评：“点P在双曲线的右支上”是衔接两个定义的关键，也是不等关系³a成3c立的条件。利用这个结论得出关于a、c的不等式，从而得出e的取值范围。（3）解析：易知A（3，2）在椭圆内，B（4，0）是椭圆的左焦点（如图），则右焦点为F（4，0）。连PB，PF。由椭圆的定义知：|PB|+|PF|=10，所以|PB|=10-|PF|，所以|PA|+|PB|=|PA|+10-|PF|=10+(|PA|-|PF|)。 由平面几何知识，|PA|-|PF|£|AF|，即(|PA|+|PB|)min=10+|AF|， 而|AF|=(3-4)2+(2-

12、0)2=，所以(|PA|+|PB|)min=10+。点评：由PAF成立的条件|PA|-|PF|<|AF|，再延伸到特殊情形P、A、F共线，从而得出|PA|-|PF|£|AF|这一关键结论。x22例4（1）（06全国1文，21）设P是椭圆2+y=1(a>1)短轴的一个端点，Q为a椭圆上的一个动点，求PQ的最大值。（2）（06上海文，21）已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(,右顶点为D(2,0),设点Aç1,÷.求该椭圆的标准方程；若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；过原点O的直线交椭圆于点B,C，求DABC面

13、积的最大值。（3）（06山东文，21）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为l。()求椭圆的方程；()直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当AOB面积取得最大值时，求直线l的方程。解析：（1）依题意可设P(0,1)，Q(x,y),则 |PQ|=x+(y1) ，又因为Q在椭圆上， 所以，x2=a2(1y2)， |PQ|2= a2(1y2)+y22y+1=(1a2)y22y+1+a2，=(1a2)(y1122 )+1+a 。 1a1aæ1öè2øaa111因为|y|1,a>1,

14、 若a2, 则|1, 当y=, |PQ|取最大值 ， 1a1aa1若1<a<2,则当y=1时, |PQ|取最大值2。（2）由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=3,则半短轴b=1，x2+y2=1。 又椭圆的焦点在x轴上, 椭圆的标准方程为4设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0)，x=x0=由 0+1得 2x1 2y=1y0+2y0=2y1 2(2x-1)21+(2y-)2=1， 由,点P在椭圆上,得42线段PA中点M的轨迹方程是(x-)+4(y-)=1。 当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此ABC的面积SABC=1。122142x2+y2=1, 当直线BC不

15、垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入4解得B(24k+12,2k4k+12),C(24k+12,2k4k+12)，则BC=4+k2+4k2k-,又点A到直线BC的距离d=122，+k2k-1ABC的面积SABC=AB×d=。22+4k4k2-4k+14k于是SABC=。 =-224k+14k+1由4k121,得S,其中,当k=时,等号成立。 ABC24k2+1SABC的最大值是2。x2y2（3）解：设椭圆方程为2+2=1(a>b>c)abìb=c2ìa=2ï2ï2x2ï2a=4Þíb=1所求椭圆方

16、程为+y2=1。 （）由已知得í2ïcïc2=1222îïa=b+cî（）解法一：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2) ìy=kx+2ï22由íx2，消去y得关于x的方程：(1+2k)x+8kx+6=0， 2ï+y=1î2由直线l与椭圆相交于A、B两点，解得k>e>0Þ64k2-24(1+2k2)>0，23。 28kìx+x=-ïï121+2k2又由韦达定理得í，&

17、#239;x×x=612ï1+2k2î|AB|=x1-x2|=原点O到直线l的距离d=QSeAOB1. =|AB|×d=2解法1：对S= ， 4S2k4+4(S2-4)k2+S2+24=0（*）ìï16(S2-4)2-4´4S2(S2+24)³0,ï1ï4-S22S£>0S¹0，í，整理得：。 22ïSïS2+24>0ïî4S2又S>0，0<S£SeAOB的最大值为S=，此时代入方程（*）得

18、4k-28k+49=0，k=±所以，所求直线方程为：-2y+4=0。解法2：令m=42。2m>0)，则2k2=m2+3。S=£ 2m+4m+2m4即m=2时，Smax=，此时k=±。 m22 当且仅当m=所以，所求直线方程为2y+4=0解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零。设直线l的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2)， 则直线l与x轴的交点D(-2,0)， k8kìx+x=-3ïï121+2k22由解法一知k>且í， 62ïx1×x2=ï1+2k2î

19、解法1：SeAOB=112|OD|×|y1-y2|=|×|kx1+2-kx2-2| 22k =|x1-x2| =21+2k下同解法一.解法2：SeAOB=SePOB-SePOA1=´2´|x2|-|x1|=|x2-x1|。 21+2k2下同解法一。点评：文科06年高考主要考察了圆锥曲线的最值问题，主要是三角形的面积、弦长问题。处理韦达定理以及判别式问题啊是解题的关键。题型3：证明问题和对称问题x2y2例5（1）（06浙江理，19）如图，椭圆2+ab1（ab0）与过点A（2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=. 2()求椭圆方程

20、；()设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF1的中点，求证：ATM=AF1T。x2y2（2）（06湖北理，20）设A,B分别为椭圆2+2=1(a,b>0)的左、右顶点，椭ab圆长半轴的长等于焦距，且x=4为它的右准线。（）、求椭圆的方程；（）、设P为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M、N，证明点B在以MN为直径的圆内。（3）（06上海理，20）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2x相交于A、B两点。求证：“如果直线l过点T（3，0），那么OA×OB3”是真命题；写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命

21、题，并说明理由 解析：（1）（I）过点A、B的直线方程为-®-®2x+y=1. 2ìx2y2+=1ïïa2b2因为由题意得í有惟一解， ïy=-1x+1ï2î即(b+2122a)x-a2x2+a2-a2b2=0有惟一解， 422所以D=a2b2(a2+4b2-4)=0 （ab¹0），故a+4b-4=0.e=所以 从而得 即 22a4x2+2y2=1. 故所求的椭圆方程为2（II）由（I）得c=F2从而M(1+ 故F1(-2242ìx22+2y=1ï1ï2由í

22、;，解得x1=x2=1,所以 T(1,).2ïy=-1x+1ï2î因为tanÐAFT1=1-1,又tanÐTAM=,tanÐTMF2=2=-1,因此ÐATM=ÐAFT得tanÐATM=1. 1点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。a2（2）（）依题意得 a2c，4，解得a2，c1，从而b3. cx2y2故椭圆的方程为 +=1. 43（）解法1：由（）得A（2，0），B（2，0）.设M（x0，y0）. M点在椭圆上，y04x02）. 1 又点M

23、异于顶点A、B，2<x0<2，由P、A、M三点共线可以得346y0P（4，）. x0+2从而（x02，y0）， （2，6y0）. x0+226y02BM·BP2x04（x0243y02）. 2 x0+2x0+2将1代入2，化简得BM·BP5（2x0）. 22x0>0，·>0，则MBP为锐角，从而MBN为钝角， 故点B在以MN为直径的圆内。解法2：由（）得A（2，0），B（2，0）.设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则2<x1<2，2<x2<2，又MN的中点Q的坐标为（x1+x2y+y2，1）， 22依题意，计算

24、点B到圆心Q的距离与半径的差BQ2x+x2y+y22112MN(12）2（1）(x1x2)2(y1y2)2 4422（x12) (x22)y1y1 3又直线AP的方程为yy1y(x+2)，直线BP的方程为y2(x-2)， x1+2x2-2而点两直线AP与BP的交点P在准线x4上， 6y16y2（3x2-2)y1，即y2 4 =x1+2x2-2x1+222xy322又点M在椭圆上，则1+1=1，即y1=(4-x1) 5 443于是将4、5代入3，化简后可得BQ2152MN2x1)(x2-2)<0. 44从而，点B在以MN为直径的圆内。点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知

25、识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。（3）证明：设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x12,y2).当直线l的钭率下存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于A(3,6)、B(3,6)，×=3。当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为y=k(x3),其中k0.y2=2xy=k(x当 得ky22y6k=0,则y1y2=6.3)又x1=1212y1, x2=y2, 2212×=x1x2+y1y2=(y1y2)+y1y2=3. 4综上所述, 命题“如果直线l过点T(3,0),那么OA×OB=3”是真命

26、题.逆命题是：设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果OA×OB=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.例如：取抛物线上的点A(2,2),B(直线AB的方程为Y=1,1),此时×=3, 22(X+1),而T(3,0)不在直线AB上. 3点评：由抛物线y2=2x上的点A(x1,y1)、B(x12,y2)满足×=3,可得y1y2=6。或y1y2=2，如果y1y2=6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2, 可证得直线AB过点(1,0),而不过点(3,0)。x2y2例6（1）（06北京文，19）椭圆C:2+2=1(a>b>0)的两个焦

27、点为F1,F2,点Pab在椭圆C上，且PF1F1F2,|PF1|=（）求椭圆C的方程；（）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心，交椭圆C于A,B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程。（2）（06江苏，17）已知三点P（5，2）、F1（6，0）、F2（6，0）。 （）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；（）设点P、F1、F2关于直线yx的对称点分别为P¢、F1'、F2'，求以F1'、F2'为焦点且过点P¢的双曲线的标准方程。解析：（1）解法一：()因为点P在椭圆C上，所以2a=PF1+PF2=6，a=3.在RtPF1F2

28、中，F1F2=2414,|PF2|=. 33PF2-PF122=2,故椭圆的半焦距c=5，从而b2=ac2=4，所以椭圆C的方x2y2+程为1。 94()设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）。已知圆的方程为（x+2）2+(y1)2=5,所以圆心M的坐标为（2，1）. 从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1,代入椭圆C的方程得（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k27=0.因为A，B关于点M对称.x1+x218k2+9k=-=-2. 所以224+9k解得k=8， 98(x+2)+1, 9 所以直线l的方程为y=即8x-9y+25=0.(经检验，所求直线方程

29、符合题意)解法二：()同解法一.()已知圆的方程为（x+2）2+(y1)2=5,所以圆心M的坐标为（2，1）. 设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1¹x2且xy 1+1=1, 94xy 2+2=1, 94由得：2222(x1-x2)(x1+x2)(y1-y2)(y1+y2)+=0. 94因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=4，y1+ y2=2。 代入得y1-y2888，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y1x+2）， 999x1-x2即8x9y+25=0。(经检验，所求直线方程符合题意.)x2y2（2）由题意可设所求椭圆的标准方程为2+2=1(a&g

30、t;b>0),其半焦距ab222c=6,2a=PF1+PF2=a=a-c=9。x2y2+=1 所以所求椭圆的标准方程为459点P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线y=x的对称点分别为点P(2，5)、F1(0，-6)、，F2(0，6)。 ，x2y2设所求双曲线的标准方程为2-2=1(a1>0,b1>0)。 a1b1由题意知，半焦距c1=6，2a1=P¢F1¢+P¢F2¢=222=x2y2a1=1=c1-a1=36-20=16. 所以所求双曲线的标准方程为-=1。 2016点评：本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方

31、程、几何性质等基础知识和基本运算能力。题型4：知识交汇题例7（06辽宁,20）已知点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2¹0)是抛物线y2=2px(p>0)x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0(I) 证明线段AB是圆C的直径;时，求p的值。 5uuuruuuruuuruuuruuuruuur2uuuruuur2解析：(I)证明1: QOA+OB=OA-OB,(OA+OB)=(OA-OB) (II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为uuur2uuuruuuruuur2uuur2uuuruuuruuur2OA+2OA×OB+OB=OA-2

32、OA×OB+OBuuuruuur整理得: OA×OB=0x1×x2+y1×y2=0uuuruuur设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则MA×MB=0即(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0整理得:x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0 故线段AB是圆C的直径uuuruuuruuuruuuruuuruuur2uuuruuur2证明2: QOA+OB=OA-OB,(OA+OB)=(OA-OB)uuur2uuuruuuruuur2uuur2uuuruuuruuur2OA+2OA×OB+OB=OA-

33、2OA×OB+OBuuuruuur整理得: OA×OB=0x1×x2+y1×y2=0.(1)设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则 即y-y2y-y1×=-1(x¹x1,x¹x2) x-x2x-x1去分母得: (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0 点(x1,y1),(x1,y2),(x2,y1)(x2,y2)满足上方程,展开并将(1)代入得: x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0 故线段AB是圆C的直径uuuruuuruuuruuuruuuruuur2uuuruuur2证明3: QOA+OB=

34、OA-OB,(OA+OB)=(OA-OB)uuur2uuuruuuruuur2uuur2uuuruuuruuur2OA+2OA×OB+OB=OA-2OA×OB+OBuuuruuur整理得: OA×OB=0x1×x2+y1×y2=0(1)以线段AB为直径的圆的方程为(x-x1+x22y+y221)+(y-1)=(x1-x2)2+(y1-y2)2 224展开并将(1)代入得:x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0 故线段AB是圆C的直径(II)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则x1+x2ìx=ïï2 &

35、#237;ïy=y1+y2ïî2Qy12=2px1,y22=2px2(p>0)y12y22 x1x2=4p2又因x1×x2+y1×y2=0x1×x2=-y1×y2y12y22 -y1×y2=4p2Qx1×x2¹0,y1×y2¹0y1×y2=-4p2x=x1+x2yy11=(y12+y22)=(y12+y22+2y1y2)-12 24p4p4p=12(y+2p2) p所以圆心的轨迹方程为y2=px-2p2设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则12(y+2p2)

36、-2y|22d=|22=当y=p时,d=p=2.解法2: 设圆C的圆心为C(x,y),则x1+x2ìx=ïï2 íy+y2ïy=1ïî2Qy12=2px1,y22=2px2(p>0)y12y22 x1x2=4p2又因x1×x2+y1×y2=0x1×x2=-y1×y2y12y22 -y1×y2=4p2Qx1×x2¹0,y1×y2¹0y1×y2=-4p2x=x1+x2yy11=(y12+y22)=(y12+y22+2y1y2

37、)-12 24p4p4p=12(y+2p2) p22所以圆心的轨迹方程为y=px-2p设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为则 5m=±2因为x-2y+2=0与y2=px-2p2无公共点,所以当x-2y-2=0与y2=px-2p2仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为ìx-2y-2=0L(2) í22y=px-2pL(3)î将(2)代入(3)得y2-2py+2p2-2p=0D=4p2-4(2p2-2p)=0Qp>0p=2.解法3: 设圆C的圆心为C(x,y),则x1+x2ìx=ïï2 

38、7;y+y2ïy=1ïî2圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则x1+x2-(y1+y2)|d= |Qy12=2px1,y22=2px2(p>0)y12y22 x1x2=24p又因x1×x2+y1×y2=0x1×x2=-y1×y2y12y22 -y1×y2=4p2Qx1×x2¹0,y1×y2¹0y1×y2=-4p21(y12+y22)-(y1+y2)|222 d=|=当y1+y2=2p时,d=p=2.点评：本小题考查了平面向量的基本运算,圆与抛物线的方程.点到

39、直线的距离公式等基础知识,以及综合运用解析几何知识解决问题的能力。例8（06重庆文，22）如图，对每个正整数n，An(xn,yn)是抛物线x2=4y上的点，过焦点F的直线FAn角抛物线于另一点Bn(sn,tn)。（）试证：xnsn=-4(n³1)；（）取xn=2n，并记Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点。 FC1+FC2+L+FCn=2-2n-n+1 +1；证明：（）对任意固定的n³1,因为焦点F（0,1），所以可设直线AnBn的方程为y-1=knx,将它与抛物线方程x2=4y联立得: x2-4knx-4=0,由一元二次方程根与系数的关系得xnsn=-4(n³1)（）对任意固定的n³1,利用导数知识易得抛物线x2=4y在An处的切线的斜率kAn=xnx,故x2=4y在An处的切线的方程为：y-