圆锥曲线最值类

1、圆锥曲线最值问题28. (2009四川卷理)已知直线|1：4x-3y+6=0和直线l2：x = 1，抛物线y【解析】注意到 P点在双曲线的两只之间，且双曲线右焦点为于是由双曲线性质|PF|- |PF'= 2a= 4而 |FA|+ |PF|AF '= 5两式相加得|P F| + |PA|> 9,当且仅当A、P、F '三点共线时等号成立.【答案】941. (2009浙江理)(本题满分15分) 2已知椭圆G : $7 +=1( ab A0)的右顶点为A(1,0)，过G的焦点且垂直长轴的弦a b=4x上一动点P到直线11和直线12的距离之和的最小值是(11C.5【考点定位

2、】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离,A.2B.337D.16综合题。【解析1】直线I2: X = 1为抛物线y2 = 4x的准线,由抛物线的定义知，P到12的距离等于P到抛物线的焦点 F (1,0)的距离，故本题化为在抛物线y = 4x上找一个点P使得P到点F (1,0)和直线12的距离之和最小，最小值为F (1,0)到直线li: 4X-3y + 6 = 0的距离，即dmi./"61"，故选择 A。5【解析2】如图，由题意可知 已J3：1 -O+gJ =273【答案】A2 2x y36. (2009辽宁卷理)以知F是双曲线 一 -一 =1的左焦点,412A(1,4),

3、 P是双曲线右支上的动点，则pf|+|pA 的最小值F'4,0),(I)求椭圆G的方程;为(II)设点P在抛物线C2 : y = X2 + h (h亡R)上，C?在点P处的切线与 C交于点M,N .当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求 h的最小值.b/_=22解(I)由题意得Jb2- ； 所求的椭圆方程为 孔+ X2=1 ,i2 旦=1”飞=1'4I a(II)不妨设M(x, y), N(x ,y ),pf,*h则,抛物线c?在点p处的切线斜率为X空=2t，直线MN的方程为y =2tx-t2 +h，将上式代入 椭圆G的方程中， 得4x2 +(2tx-t2 +h)2 -

4、4 =0，即 4(1 + t2)x2 - 4t (t2 - h) X + (£ 一 时 一 4= 0 因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，所以有街=16t4 +2(h +2)t2 -h2 + 4a0.设线段2MN的中点的横坐标是X3，则3=宁=2t + 12设线段PA的中点的横坐标是x4，则X4= 1,由题意得x3=x4,即有t2 + (1 + h)t +1 = 0 ,2其中的纹=(1 +h)2 -4 >0, h >1 或 h < 3 ；当 h<£ 时有 h+ 2<0,4-h2 cO，因此不等式 也1 =16t4 + 2(h + 2)t2

5、- h2 + 4 > 0 不成立；因此h >1，当h =1时代入方程t2 + (1 + h)t +1=0得t = 1，将h =1,t =-1代入不等式 1 =16 t4+2(h+2)t2-h2+4:>0成立，因此h的最小值为1.42. (2009浙江文)(本题满分15 分)217已知抛物线C : x =2py(p >0)上一点A(m,4)到其焦点的距离为 (I)求P与m的值;(II )设抛物线C上一点P的横坐标为t (t >0)，过P的直线交C于另一点Q，交x轴于点M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N .若MN是C的切线,求t的最小值.解(I)由抛物线方程得其准线

6、方程:y夕，根据抛物线定义=丄2则皿(二,0)。k点A(m,4)到焦点的距离等于它到准线的距离，即4 +卫=口，解得P24二抛物线方程为：X2 = y，将A(m,4)代入抛物线方程，解得 m = ±2(n)由题意知，过点 P (t,t2)的直线PQ斜率存在且不为0，设其为k。22t + kt则 Ipq : y t = k(x t)，当 y =0, X =k联立方程 P t 2=k(xt)，整理得：X2 -kx+t(k-1) =0L x =y即：(X -t)x - (k - t) = 0 ,解得 X =t,或 x=k-tQ(k-t,(k-t)2)，而 QN 丄 QP，二直线 NQ 斜率

7、为-1k二 1 NQ ： y -( k - t)x-Ck-t)，联立方程-(k-t) k!1=-X-(k-t) k2X = y2 1整理得：X2 + Xk(k-t)-(k-t)2 =0，即：kx2+x-(k-t)k(k-t)+1 = 0kx + k(k -t) + 1x -(k -t) =0 ,解得：X込y，或二 N(-k(k -t) +1 k(k -t) +12k22k(k-t) +1k2k(k -t) +1-t2 +ktk - k-kt +1)22 2k(t -k -1)而抛物线在点N处切线斜率:k(k_L)H1 = -k-2k(k -t) -2(k2 _ kt +1)2MN是抛物线的切线

8、，二 k(t -k -1)-2k(k-t) -2整理得 k2 +tk +1 -2t2 =02 2 2寫也=t2 -4(1-2t2) >0，解得 t <一一(舍去)，343. (2009北京文)(本小题共14分)已知双曲线2 2C : 2 2 - 1(a > 0, b > 0)的离心率为 罷, 右准线方程为X=a b3(I)求双曲线C的方程;(n)已知直线X-y+m=0与双曲线C交于不同的两点 A, B,且线段 AB的中点在圆x2 +y2 =5 上,求m的值.【解析】 本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考

9、查推理、运算能力.解(I)由题意，得 c 3，解得a = 1, C = J3 ,£2 2 2 b=ca=2，所求双曲线(n)设A、B两点的坐标分别为（x1,y1 y（x2,y2 ），线段AB的中点为M (X0,y0),2丄=12由x2x + y +m =0得 X2-2mx-m2 2 =o (判别式 i >o),2C的方程为Xy_1£=1.2 xo = X1 + X2 =m, yo =xo + m =2m,2点 M (y。)在圆 x2+y2 =5上,2 2二 m +(2m ) =5 , m = ±1.44. （2009北京理）（本小题共14分）2x已知双曲线C

10、 : 2a2T =1（a >0,b >0）的离心率为 73 ，右准线方程为b（I）求双曲线C的方程;._ 2 2（n）设直线1是圆O:x +y =2上动点P （x。，yo）（xoyo H 0）处的切线，I与双曲线C交于不同的两点 A, B，证明NAOB的大小为定值.【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力.（I）由题意，得*c 3，解得 a =1,c =73,a- b2 =c2-a2=2，所求双曲线 C的方程为x2(n)点 P(x0,yo Xxoy。H0)在圆 x2 + y2 =2上,圆在点P

11、（xo，yo ）处的切线方程为y-yo=-西（x-x0 ）, yo化简得xox + yoy = 2.lx2由IIxox +yoy =2切线丨与双曲线C交于不同的两点 A、B,且O：X022 ,2 2 2 2 3x20，且 A =16X0 -4(3xo -4)(8-2xo )a0,设A、B两点的坐标分别为（X|, y, ）,（X2, y2 ）,4xo则儿+卷=忒4护2=3|刍4， cosNAOB.OA2BOA QB，且1OA OB =x,X2 +yiy2 =XiX2 +(2 XoX, X 2 XoX?), yo= XiX22xo(Xi +X2 j+xfxx=會+ 23x 42 Xo 4亠Xo (

12、8 -2xo )3x048 -2xo 8 -2xo _ 03x0-4 3x4 ZAOB的大小为90 .【解法2】（I）同解法1.(n)点 P(Xo,y。XXoy。H0)在圆x2 + y2 =2 上,圆在点P(xo,yo )处的切线方程为y yo =(x Xo ),yo" 22丄化简得Xox + yoy =2.由X 2 - 及丸 + 丫訂二？得r陀+ %厂 2 2(3x0 4 )x -4%必+8-2冷=0 (3x2 4 )y2 -8yoX-8 +2x1 =0切线I与双曲线C交于不同的两点A、B,且0x2：2 ,2- 3xo 4H0，设 A、B 两点的坐标分别为(Xi, y, ),(X2

13、, y2),则 X1x,y1y2x-83x-43xo -4二 OA OB+%丫2 =0，二 NAOB 的大小为90 .2 2 2 2( X0 + y。=2且 Xey。h0,. 0cX0 <2,0<y0<2，从而当3对4h0时，方程和方程的判别式均大于零)9. ( 2009广东卷理)(本小题满分14分)已知曲线C : y = x?与直线丨：X - y + 2 = 0交于两点A(Xa, Ya)和 B(Xb, yB)，且 Xa c Xb .记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域(含边界)为 D 设点P(s,t)是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合.(1)若

14、点Q是线段AB的中点，试求线段 PQ的中点M的轨迹方程;C 4(2)若曲线G：x2-2ax+y2-4y+a2+怎"与D有公共点，试求a的最小值.解(1)联立 y=x2与 y=x + 2得 Xa =-1,Xb = 2 ,设线段PQ的中点M坐标为(x,y)，则1 + sx=-2,yt215-，即 s = 2x-,t = 2y-2 22又点P在曲线C上,- 2y-=(2x-1)2化简可得 y =x22 2又点P是L上的任一点,1且不与点A和点B重合，则一1 <2x- c?，即22 .11 -x + 一81 -一 < X <一 ,445<-).4曲线52皿+八4宀2+

15、著0,2949即圆E :)+,2)=怎，其圆心坐标为E(a,2)，半径由图可知，当S罷时，曲线G：x2-2ax + y2-4y + a2+25=0与点D有公共点;当 a cO时，要使曲线 G : X设 E ( Xe , y), F( Xf , y ).因为点 A( 1,2ax + y2-4y + a2十5h与点D有公共点，只需圆心E到直线l:xy+2=0的距离da|a|72<-,得-空< a C 0 ,则a的最小值5560. （2009辽宁卷文、理）（本小题满分12分）已知,3椭圆C以过点A（ 1,-）,两个焦点为（一1, 0） （1, 0）。2(1)求椭圆C的方程;EF是椭圆C上

16、的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。解由题意，* 1,可设椭圆方程为1+b219（舍去）。因为A在椭圆上，所以十二 =1，解得b2 = 3, b21+b 4b2 2所以椭圆方程为一43（H）证明设直线AE方程：得y=k（x-1）+l，代入d2(3+4k2) x2+4k(3-2k)x+4(? -k)2 -12 =03-）在椭圆上,224(|-k)2-12所以 XE=3+4k2ykxE又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以-k代k,可得4(|+k)2 -12Xf =3+4k23yF = -kXF + +k。2所以直线EF的斜率

17、kEFyFyE-k(xF +xE)+2k 1。2Xf XeXf Xe即直线EF的斜率为定值,其值为64. (2009全国卷I文)(本小题满分1。212 分)如图，已知抛物线 E:2y =x 与圆M :(X -4)2 + y22 一_=r (r >0)相交于 A、B、c、D 四个点。(I)求r的取值范围(n)当四边形 ABCD的面积最大时,求对角线 AC、BD的交点P的坐标。解: (I)将抛物线E:2y =x代入圆:(x-4)2+y2 =r2(r0)的方程,消去 y2，整理得 x2 -7x +16 -r2 =0抛物线 E: y2 =x与圆 M :(x-4)2 +y2=r2(r A 0)相交

18、于 A、B、C、D条件是：方程(1)有两个不相等的正根49 -4(16 -r2) A 0二 Xj + X2 = 70I. d 2 亠Xj 议2 =16 -r > 075> 2 。解这个方程组得爲<r<42(II)设四个交点的坐标分别为axTXT)、B(Xi,7X5、C(X2,7X2)、D(x2,7xr)。则由(I)根据韦达定理有 X,+ X2 =7,X1X2 =16-r2, r-(堡，4)2则 S =1 2 | X2 X1 | (麻 + JX2) =| X2 -X1 | (JX'+JX)二 S2+x2)2 -4x1X2(x1 +x2 +2必2)=(7 +2J16

19、-r2)(4r2 -15)令 J16 -r2 =t，贝y S2 =(7+2t)2(7 2t)2F面求S的最大值。方法1：由三次均值有:2 2 1S W+2t)(722(7+2以7切(14皿)1 7 +2t +7 +2t +14 -4t、3128 3-2(3) N(3)7Ji5当且仅当7 +2t = 14 -4t，即t =时取最大值。经检验此时 亡(、一,4)满足题意。62方法 2：设四个交点的坐标分别为A(x1 /x?)、B(x,JXj、C(X2,-JX2)、D(X2,/X2)则直线AC、BD的方程分别为y区 Jxi(x_xi), y+ /X7 =巫 7x4 (X Xi)X2 Xtx2 Xt解

20、得点P的坐标为(7X4X2，。)。设 t= JxiX2，由 t= Jl6-r2 及(I)得 t 亡(0,1)4由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积 S =丄(2$71 +2jX7)l洛-X2 I2则 S2 =(x1 +2/X7X7 +X2)1(x4 + X2)2 -4x4X2将 Xp + X2 = 7 ,72)，JXX = t代入上式，并令f(t) = S2，等232f(t)=(7+2t) (7-2t) = 8t -28t + 98t + 343(0 c t c厂(t) = -24t2 -56t + 98 = -2(2t + 7)(6t-7),令f、=0得y，或一2 (舍去)-<t&

21、lt;-时，f'(t)v0- 2当 0 Ct c7 时，f'(t)0 ;当 t =1 时 f'(t) = 0 ;当6 6故当且仅当t=-时，f(t)有最大值，即四边形 ABCD的面积最大,6故所求的点P的坐标为(7,0)。6668. (2009福建卷文)(本小题满分14 分)2 2已知直线x-2y+2=0经过椭圆C:笃+占=1(a >b0)的左顶点A和上顶点D，椭圆a b10C的右顶点为B，点S和椭圆C上位于x轴上方的动点，直线，AS, BS与直线丨：X = 3分别交于M ,N两点。(I)求椭圆C的方程；(n)求线段 MN的长度的最小值;1(m)当线段MN的长度最

22、小时，在椭圆C上是否存在这样的点 T，使得也TSB的面积为？5若存在，确定点T的个数,若不存在，说明理由解方法一(I)由已知得,椭圆C的左顶点为A(2,0),上顶点为 D(0,1)a = 2,b=1AS的方程为y = k(x + 2),4k2 X2故椭圆C的方程为一 + y=14(n)直线AS的斜率k显然存在，且k > 0，故可设直线|y =k(x+2)由 x22得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0u+y"16k2 42 - 8k2设SZ),则(g疋得人=圖，从而 即S(語,盘),又B(2,0)14k_ 0-3(x-2)得10x =31y =-一3k二 N(103

23、13k)故 |MN 1 =16k1+ 3 3k又 k aOIMN 1=16k+丄2厚I3k V 3 3k当且仅当16k13 "3k，即k =1 * *时等号成立4时，线段MN的长度取最小值83(川)由(n)可知，当 MN取最小值时,kJ4所以T在平行于BS且与BS距离等于 返4的直线I上。此时 BS 的方程为 x + y -2 =0,s(6,-),”.|BS 1=25 55设直线 I': x + y +1 =0则由囂乎解得一 I或I1. ( 2013年高考浙江卷(文)已知抛物线 C的顶点为0(0,0),焦点F(0,1)(I )求抛物线C的方程；(n )过点F作直线交抛物线 C

24、于A.B两点.若直线AO.BO分别交直线I :y=x-2于M.N 两点，求|MN|的最小值.解:（I）由已知 可得抛 物线的方程为：【答案】9X = 2 py（p > 0）,且2p = 2,所以抛物线方程是：X= 4y ；2Xi2X2（设亏）,B（X2亏）,所以kA。诗X2,所以AO的方程4ly所X1=X4 二 Xm= x-2lyX4Xnx-24 - X2|MN F>/|Xm -Xn F 阿 84 - X,4 - X28 F 842 iX - x216 - 4（X1 + X2） + X1X2 IX1X -4o【X| + x2 = 4kX - 4kX - 4 = 0二 4=4v k2

25、 + 1,代入得到：且 1 Xi _ X2 F J（X| + X2）2 - 4X|X2|4k-3|MN F8/2| 4 k + y = kx 十 1 设 AB:y = kX + 1,由< cX2 = 4y F8V2人十116T6k-4设ZW 4I MN |= 872(25+¥兰=2血/ + 寻 + 6 >4t2J2 ,所以此时|MN I的最小值是2j2;当t <0时，|MN 1=872如土 =2列哼"64t2血际兀紧27 8忑,所以此时I MN I的最小值是座此时-25,k5343;综上所述:IMN I的最小值是8422. （ 2013年高考广东卷（文）已

26、知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0,cxc0）到直线I : X - y -2 =0的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线2PA,PB ,其中A,B为切点.求抛物线C的方程;当点P（x0,y0 ）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；当点P在直线丨上移动时，求IAF| BF|的最小值.【答案】（1）依题意d=尸0-2|，血,解得C = 1（负根舍去）二抛物线C的方程为2X2 =4y ；号X-XJ,即设点 A(Xi, yi) , B(X2, y2), P(Xo, yo),由 x2 = 4y ,即 y =抛物线C在点A处的切线PA的方程为y - yjy =¥x + y1

27、 -卜12.2 2 y1 =4x12, y =争-丫1 .点P(xo, yo)在切线h上,yo；xo - y1 同理,2争综合、得，点A(x1 ,y1),B(x2, y2)的坐标都满足方程xrxo-y.经过A(x1, y1), B(x2, y2)两点的直线是唯一的,x直线 AB 的方程为 y0 =5X0y,即 x0x-2y-2y0=0; 由抛物线的定义可知 AF = % +1, BF =2 +1,所以 AF BF =(%+1 Xy2+1 )= yi+丫2+yiy2+1x2 =4y"x2y2yo =02 2 2消去 x 得 y +(2yo -xo )y + yo = 0.2c2% *2

28、 =xo -2yo,y1y2 =yo寫 Xoyo-2=O 二AF| |BF| = y0-2yo +x2 + 仁y： 2% +(% +2)2 +1=2诟 +2yo+5=21二当 yo =-时，AF23. ( 2013年高考重庆卷(文)扫日取得最小值为9)(本小题满分12分,(I )小问4分,(n )小问8分)如题(21)图，椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上，离心率,过左焦点F1作x轴2的垂线交椭圆于 A、A '两点,(I )求该椭圆的标准方程；zhangwix(n)取平行于y轴的直线与椭圆相较于不同的两点P、P',过P、P作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆 Q外.求ipp Q

29、的面积S的最大值,并写出对应的圆 Q的标【解"1、由题跖I心仆盯，宁详八g訂由"字皿宀16,V* V故诛輸闘的标准方程为丄 =16 8*12由椭國的对称tt.呵设QUkO).父iSM(忑、)是狮圖匕仃意点，则1 (?v=(.T .岛 f + y- =w 2a;,.T + A； + 材 i = J)JoIIQM |亠=-广 7； + R (A e -4.4)设F(码八 山題返+ P足输恻上诃0的跑离丘2小的点.因此上成巧工=哥时収得虽小值.乂周耳岸74所以止式.1=2忑时収紂堆卜值、从1佃工-2和、IL对称悝知叫，-vj,眾I PP = 2j,l$吕|如|L I占2屈-制X I耐4-论=7?卜工IF+4 .,i|.v