数列求和地各种方法

1、标准实用文案数列求和的方法教学目标1熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式2掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题教学内容知识梳理1求数列的前n 项和的方法(1) 公式法等差数列的前n 项和公式Sn a1 ann n1 na d .n212等比数列的前n 项和公式()当q 1 时， n 1；S na( ) 当 q 1 时， Sn a1 1 qna a q1n.1 q1 q常见的数列的前n 项和： 123+n= n(n 1) ， 1+3+5+(2n 1)= n22122232+n2 =n(n 1)(2n 1) ， 1

2、32333+n3 =n(n 1)622等(2) 分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解(3) 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项(4) 倒序相加法这是推导等差数列前 n 项和时所用的方法，将一个数列倒过来排序，如果原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和(5) 错位相减法这是推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，主要用于求 an bn 的前 n 项和，其中 an 和 bn 分别是等差数列和等比数列(6) 并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an (

3、 1) nf ( n) 类型，可采用两项合并求解例如， Sn 1002 992 982 972 22 12 (100 99) (98 97) (2 1) 5 050.文档标准实用文案2. 常见的裂项公式111(1)n n 1；n n11 1 1(2) n n k k( n n k) ；1(3)1111 () ；2n12n122n 12n 1(4)1111n n1n22n n 1n 1 n 2；1 1(5) n n k k( n k n) (6)设等差数列 a 的公差为 d，则1111) (na ad aan n1nn 1数列求和题型考点一 公式法求和1.(2016新课标全国 ) 已知 n 是公

4、差为3 的等差数列，数列 n 满足1 1，21， n n1 n1n.abbb3a bbnb(1) 求 an 的通项公式；(2) 求 bn 的前 n 项和 .2.(2013新课标全国， 17) 已知等差数列 a 的公差不为零， a 25，且 a ， a ，a成等比数列 .n111113(1)求 an 的通项公式；(2)求1 4 7 3n 2.a a aa变式训练1.(2015 四川， 16) 设数列 an( n 1， 2， 3， ) 的前 n 项和 Sn 满足 Sn2an a1，且 a1，a2 1， a3 成等差数列 .(1) 求数列 an 的通项公式；1(2)设数列an 的前 n 项和为 Tn

5、，求 Tn.文档标准实用文案2.(2014 福建， 17) 在等比数列 an 中， a2 3， a5 81.(1) 求 an；(2) 设 bn log 3 an，求数列 bn 的前 n 项和 Sn.考点二 错位相减法1.( 山东 ) 已知数列an的前 n 项和 Sn=3n2+8n， bn是等差数列，且 an bn bn 1.（）求数列bn的通项公式；（）令 cn(an1)n 1cn 的前 n 项和 T .n . 求数列(bn2)n2.(2015 天津， 18) 已知数列 n 满足an2n(q为实数，且q1)，N*， 11，2 2，且23，3aqanaaa a a a4， a4 a5 成等差数列

6、 .(1) 求 q 的值和 an 的通项公式；nlog 2a2n*n(2) 设 b a2n 1， n N，求数列 b 的前 n 项和 .文档标准实用文案变式训练1.(2014 江西， 17) 已知首项都是1 的两个数列 an ， bn( bn0， n N* ) 满足 anbn 1 an 1bn2bn1 bn 0.an(1) 令 cnbn ，求数列 cn 的通项公式；(2) 若 bn 3n 1，求数列 an 的前 n 项和 Sn.2.(2014nnn 2x*四川， 19) 设等差数列 a 的公差为 d，点 ( a ， b ) 在函数 f ( x)的图象上 ( n N ).(1)若1 2，点 (a

7、8，47) 在函数f(x) 的图象上，求数列 an 的前n项和n；abS(2)122x 轴上的截距为1an的前 n 项和若 a 1，函数 f ( x) 的图象在点 ( a ， b ) 处的切线在2 ln 2 ，求数列bnTn.3.(2015 湖北， 18) 设等差数列 an 的公差为d，前 n 项和为 Sn，等比数列 bn 的公比为 q，已知 b1 a1， b2 2， q d， S10 100.文档标准实用文案(1) 求数列 an ， bn 的通项公式；an(2) 当 d1 时，记 cn ，求数列 cn 的前 n 项和 Tn. bn4 (2015 山东， 18) 设数列 an 的前 n 项和为

8、 Sn. 已知 2Sn 3n 3.(1) 求 an 的通项公式；(2) 若数列 bn 满足 anbnlog 3an，求 bn 的前 n 项和 Tn.*1115.(2015 浙江， 17) 已知数列 an 和 bn 满足 a1 2， b1 1，an 1 2an( n N ) ，b1 2b2 3b3 nbn bn1* 1( n N ).(1) 求 an 与 bn；文档标准实用文案(2) 记数列 anbn 的前 n 项和为 Tn，求 Tn.6.(2015 湖南， 19) 设数列 an 的前 n 项和为 Sn，已知 a1 1， a22，且 an2 3Sn Sn 1 3,n N* .(1) 证明： an

9、 2 3an；(2) 求 Sn.考点三分组求和法1.(2015 福建， 17) 在等差数列 an 中， a2 4， a4 a715.(1) 求数列 an 的通项公式；(2) 设 bn 2an 2 n，求 b1 b2 b3 b10 的值 .文档n2 n标准实用文案2.(2014 湖南， 16) 已知数列 an 的前 n 项和 Sn2， n N* .(1) 求数列 an 的通项公式；(2) 设 bn 2a n ( 1) nan，求数列 bn 的前 2n 项和 .变式训练1.(2014 北京， 15) 已知 an 是等差数列，满足 a1 3，a4 12，数列 bn 满足 b1 4， b4 20，且

10、bn an 为等比数列 .(1) 求数列 an 和 bn 的通项公式；(2) 求数列 bn 的前 n 项和 .文档标准实用文案考点四裂项相消法1.(2015 新课标全国， 17) S 为数列 a2 的前 n 项和已知 a 0， a 2a 4S 3.nnnnnn(1) 求 an 的通项公式；1(2) 设 bn，求数列 bn 的前 n 项和an an 12.(2011 新课标全国， 17) 等比数列 an 的各项均为正数，且22a1 3a2 1， a3 9a2a6.(1) 求数列 an 的通项公式；(2) 设 bn log 3a1 log 3a2 log 3an，求数列1的前 n 项和bn文档标准

11、实用文案3.(2015 安徽， 18) 已知数列 an 是递增的等比数列，且a1 a49， a2a3 8.(1) 求数列 an 的通项公式；an 1(2) 设 Sn 为数列 an 的前 n 项和， bn SnSn 1，求数列 bn 的前 n 项和 Tn.变式训练21.(2013 江西， 16) 正项数列 an 满足： an (2 n 1) an 2n 0.(1) 求数列 an 的通项公式 an；(2) 令 bn1，求数列 bn 的前 n 项和 Tn.（n 1） an2.(2013 大纲全国， 17) 等差数列 an 中， a7 4， a19 2a9.(1) 求 an 的通项公式；1(2) 设

12、bn ，求数列 bn 的前 n 项和 Sn. nan文档标准实用文案3. a a1n2nS21在数列中，当时，其前项和S a2 .n1n 满足nn Sn(1) 求 Sn 的表达式；Sn(2) 设 bn2n 1，求 bn 的前 n 项和 Tn.考点五 倒序相加法11122 014已知函数 f ( x) 4x 2( x R) (1)证明：f ( x) f (1 x) 2；(2)若 S f ( 2 015 ) f ( 2 015 ) f ( 2 015 ) ，则 S _.变式训练1. 设 f ( x) 4x，若 S f (12) f (2 014x2 015) f () ，则 S _.4 22 01

13、52 015考点六并项求和1.(2012 新课标， 16) 数列 an 满足 an1 ( 1) n an2n 1，则 an 的前 60 项和为 _.2.(2014山东， 19) 在等差数列 a 中，已知公差d 2， a是 a与 a的等比中项 .n214(1)求数列n a 的通项公式；(2)设nn1234n n，求n.ban n 1 ，记 T b b b b ( 1) bT2文档标准实用文案变式训练1.(2014 山东理， 19) 已知等差数列 an 的公差为2，前 n 项和为 Sn，且 S1， S2， S4 成等比数列 .(1) 求数列 an 的通项公式；(2) 令n ( 1) n14n，求数

14、列 n 的前n项和n.ban an 1bTnnnnn1*，则：2.(2013 湖南， 15) 设 S为数列 a 的前 n 项和， S( 1)a 2n，n N(1) a3 _；(2) S1 S2 S100 _.考点七数列 | an | 的前 n 项和问题1.(2011 北京， 11) 在等比数列 an 中，若 a1 1， a4 4，则公比 q_； | a1| | a2| | an| 2_ 变式训练文档标准实用文案1.(2013 浙江， 19) 在公差为d 的等差数列 an 中，已知 a1 10，且 a1， 2a2 2， 5a3 成等比数列 .(1) 求 d， an；(2) 若 d 0，求 | a

15、1| | a2| | a3| | an|.考点八 周期数列1. 已知数列 2 008,2 009,1， 2 008 ， 2 009 ， ，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 014项之和 S等于 ()2 014A2 008 B2 010 C1 D0变式训练n cos n1.(2012 福建 ) 数列 an 的通项公式，其前n项和为n，则2012 等于 ()an2SSA.1 006B.2 012C.503D.0考点九 数列与不等式的应用1 (2014 新课标全国， 17) 已知数列 an 满足a11， n13 n 1.aa1(1) 证明 an 2 是等比数

16、列，并求 an 的通项公式；111 3(2) 证明 60 800？若存在，求n的最小值；若不存nnnn在，说明理由文档标准实用文案nn12Snn 11 22*2 (2013 广东， 19) 设数列 a 的前 n 项和为 S. 已知 a 1， n a3n n 3， n N .(1)2求 a 的值；(2)求数列 an 的通项公式；111 7(3) 证明：对一切正整数 n，有 1 时，记 cnbn，求数列 cn 的前 n 项和 Tn.10a1 45d100，解 (1) 由题意有，a1d2，2a19d20，即a1d2，文档标准实用文案11a19a2d 2d .91nanan 2n 192792 n 1

17、bn 2n1bn .99dannbnn 12n1(2)2cnn 112123579n12Tn234n 11222221135792n 3 2n 12Tn2345n1n.22222221111n12n32nnTn2n 2222222322n3Tn62n 1 .n4 (2015 山东， 18) 设数列 an 的前 n 项和为 Sn. 已知 2Sn 3 3.(1) 求 an 的通项公式；(2) 若数列 bn 满足 anbnlog 3an，求 bn 的前解 (1) 因为 2Sn 3n3，所以 2a1 3 3，故 a1 3，当 n 1 时， 2Sn 1 3n 1 3，此时 2an 2Sn 2Sn1 3n

18、 3n1 2 3n 1，即3， n 1，所以an 3n 1， n 1.1(2) 因为 anbn log 3an，所以 b1 3，n 项和 Tn.an3n 1，当 n 1 时， bn 31nlog 33n1 ( n 1) 31 n.1所以 T1 b13；当 n 1 时， Tn b1 b2 b3 bn1 (1 3 1 2 3 2 ( n 1) 31 n) ， 3所以 3Tn 1 (1 302 3 1 ( n 1) 32n) ，两式相减，得n20 12 32 n1 n2T 3(3 3 3) ( n 1) 321 31 n1n 1 ( n1) 331 313 6n3Tn136n3n ，所以12n ，6234 3文档标准实用文案经检验， n 1 时也适合136n3综上可得 Tn n .124 35.(2015 浙江， 17) 已知数列 n 和 n 满足a1 2， 1 1，n 1 2 n(nN*) ， 11