完整版一元二次方程知识点总结及典型习题

1、一元二次方程、本章知识结构框图二、具体内容(一) 、一元二次方程的概念1. 理解并掌握一元二次方程的意义未知数个数为1,未知数的最高次数为 2,整式方程,可化为一般形式；2. 正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数2(1) 明确只有当二次项系数 a#0时,整式万程ax +bx+c = 0才是一元二次万程.(2) 各项确实定(包括各项的系数及各项的未知数).(3) 熟练整理方程的过程3. 一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解4. 列出实际问题的一元二次方程(二) 、一元二次方程的解法1. 明确一元二次方程是以降次为目的,以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段,从而 把一元二

2、次方程转化为一元一次方程求解；2. 根据方程系数的特点,熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3. 体会不同解法的相互的联系；4. 值得注意的几个问题：(1)开平方法：对于形如 x2 = n或(ax +b)2 = n(a , 0)的一元二次方程,即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方,而另一边是一个非负数,可用开平方法求解 形如x2 = n的方程的解法:当n?0时,x = 土Jn ；当 n = 0 时,x = X2 = 0 ;当n 0时,方程无实数根.(2) 配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为(x + m)2 =n的方程,再运用开平方法求解.配方法

3、的一般步骤： 移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边； “系数化1：根据等式的性质把二次项的系数化为1; 配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方,把方程变形为(x + m)2 = n的形式； 求解：假设n芝0时,方程的解为x = -m 土 JE,假设n0时,方程无实数解.(3)公式法：一元二次方程2 ax+ bx + c = 0a 孝 0的根 x =- b 二,b2 -4ac2a当b2 -4ac?.时,方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；2b当b - 4ac = 0时,万程有两个实数根,且这两个实数根相等,写为x =x2 =-2a当b2 4ac 0时

4、,方程无实数根.公式法的一般步骤：把一元二次方程化为一般式；确定a,b, c的值；代入b2-4a c中计算其值,判断方程是否有实数根；假设 b2 -4ac芝0代入求根公式求值,否那么,原方程无实数根.(由于这样可以减少计算量.另外,求根公式对于任何一个一元二次方程都适用,其中也包括不完全的一 元二次方程.)(4) 因式分解法： 因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0,那么这两个因式至少有一个为0,即:假设 ab =0,贝U a =0或b=0； 因式分解法的一般步骤：假设方程的右边不是零,那么先移项,使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零,得到两个一元一次方程

5、；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解.(5) 选用适当方法解一元二次方程 对于无理系数的一元二次方程,可选用因式分解法,较之别的方法可能要简便的多,只不过应注意二次 根式的化简问题. 方程假设含有未知数的因式,选用因式分解较简便,假设整理为一般式再解就较为麻烦.(6) 解含有字母系数的方程(1) 含有字母系数的方程,注意讨论含未知数最高项系数,以确定方程的类型；(2) 对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解,不能用因式分解的可选用别的方法,此时一定 不要忘记对字母的取值进行讨论.(三) 、根的判别式1. 了解一元二次方程根的判别式概念,能用判别式判定根的情况,并会用判别式求一

6、元二次方程中符合 题意的参数取值范围.(1) A = b2 _4ac(2)根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程ax2 +bx +c = 0( a孝0)r a # 0当 j u方程有实数根;润时a = 0u方程有两个不相等的实数根；当.0a = 0仁 方程有两个相等的实数根；)=06 7, M#0当,u方程无头数根; 0时,关于x的一元二次方程cx2 +m +bx2 m 2Vmax = 0有两个相等的实数根,求证：AABC是直角三角形.4：a,b,c分别是AABC的三边长,求证：方程 b2x2 + b2 +c2a2x + c2 = 0没有实数根.5当m是什么整数时,关于x的一元二次方程 m

7、x24x + 4=0与x2 - 4mx+4m2 - 4m - 5 = 0的根都是整数？ m =122m 1_(6)美于x的万程x +2x+ =0,其中m为实数,(1)当m为何值时,方程没有实x 2x 2m数根？(2)当m为何值时,方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根.答案:(1) me2 (2) x = 1,10相关练习-兀一次方程的概念1. 一元二次方程的项与各项系数把以下方程化为一元二次方程的一般形式,再写出二次项,(六)(一)一次项,常数项:(1)5x2 _2 =3x(5x2,-3x,-2)(2)2 -6x2 -15x =0(6x2,15x, 2)(3)3y(y 1) =7(y

8、 2)5(3y2,_4y,_9)(4)(m . m)(m - . m) (m -2)2 = 7 -5m_2-(2m ,0,-3)(5)22(5a -1)2 =4(a -3)2一 2 - (3a ,2a,-5)2. 应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值(1) m为何值时,关于x的方程(m - J2)xm一 (m + 3)x = 4m是一元二次方程.(m = -J2 )(2)假设分式x - 7x - 8一n= 0 ,贝U x =x -1(x = 8)3. 由方程的根的定义求字母或代数式值 (1)关于x的一元二次方程(a 1)x2+x+a2 1 =0有一个根为0,贝U a=1, 一个根为

9、一1,贝U a + b + c =. 2一一 .(2)关于x的一兀二次方程 ax + bx + c = 0(a , 0)有一个根为(0, 0)(3)c为实数,并且关于x的一元二次方程x？_3x+c= 0的一个根的相反数是方程 x？+3xc=0的一个根,求方程 乂之+3x-c=0的根及c的值.(0, -3, c=0)(二)一元二次方程的解法1.开平方法解以下方程：(1)5x2 125=0 ( x1 = 5, x2 = 5 )一 _ 2(2) 169(x-3) =289,56(xi = = ,x1322 、一)13(3) y2 +361 =0 (原方程无实根)(4) (1 -J3)m2 = 0 (

10、 m1=m2=0)(5) 231=8 (x=l)2.配方法解方程：(1) x2+2x-5=0 (x = Tw6)(3) 2y2 _4y = 3( y =1业)2(2) y 5y 1 = 0-5 _ . 21(x=)23. 公式法解以下方程:(2) p2+3 = 2T3p( p1 = p2=V3)(1) 3x2 =6x 2( x = 3 二 *3)3(3) 7y2 =11y(4) 9n2=5n2 (原方程无实数根)(5) x+2=(x2)(2x1)3 ( x = 3f15)24.因式分解法解以下方程：,、1 2(1) -x 一9=0( x=6)42(2) y +4y45 = 0 ( y1=9,y

11、2=5)(3) 8x2 +10x - 3 = 0( x1 =】,x2 = 3 )42(4) ,7x2-.21x=0(x = 0,x2 =(5) 6x2 -3J3x = 2*x - J6( x=,x2=)23(6) (x -5)2 = 2(x - 5)-1 ( x = x26)(7)(x2 3x)2 -2(x2 3) -8 =0(x = -2,x2 = -1, x3 = -4,x4 = 1)5. 解法的灵活运用用适当方法解以下方程(1) J2(2x7)2=/顽(x=7T2)2(2) 2m m2+1 = 2(m2 2m)2 ( m = 2 = * 6 )2(3) 6x(x _2) = (x _2)

12、(x 3)(x1 = 2, x2 =)5(4) y2 3 _ y(3-2y) . y(3y-1)323/3y=二,y2 =22,、_2一 2(5) 81(2x-5) =144(x-3)273(X =二,x2 =二)1026.解含有字母系数的方程 解关于x的方程：(1)x2 _ 2mx m2 - n2 = 0(2)x2 3a2 = 4ax -2a 1(x1 = 3a -1,x2 = a 1)(3)(m+n)x2 +2nx = mn ( m + n#0),/ m n 、(x - -1乂 =)m n(4) a2(x2 一x 1) 一a(x2 一 1) = (a2 _ 1)x(讨论a)(三)一元二次方

13、程的根的判别式1. 不解方程判别方程根的情况：(1) 4x2 _x+3=7x (有两个不等的实数根)2(2) 3(x2+2) = 4x (无实数根)(3) 4x2 5=4. 5x(有两个相等的实数根)2-_2. k为何值时,关于 x的二次万程kx 6x + 9 = 0(1) 有两个不等的实数根(k1且k#0)(2) 有两个相等的实数根(k = 1)(3) 无实数根(k?1)3.关于x的方程 4x2 -(m +2)x =1 -m有两个相等的实数根.求m的值和这个方程的根.八13(m=2,x = x？=；或 m=10,x = x )4. 假设方程 x2 +2(a +1)x +a2 +4a -5 =

14、0有实数根,求：正整数 a. ( a = 1,a = 2,a = 3 )5.对任意实数 m,求证：关于x的方程(m？ +1以2 2mx + m2+4 =0无实数根.6. k为何值时,方程(k 1)x2 (2k+3)x + (k+3) =0有实数根.(当k 一1 =.时,原方程有一个实数根,x =；5k =121:_0时,解碍且k # 1时万程有两个实数根.k -二44综上所述,当k21 ,、芝-一时,方程有头数根.)47.设m为整数,且4m4 0时,方程x22(2m3)x+4m214m+ 8 = 0有两个相异整数根, 求m的值及方程的根.(当m =12时,方程的根为x1=16,x2=26 ；当

15、m=24时,方程的根为x1=38,x2 =52 )四一元二次方程的应用1 .直角三角形三边长为三个连续整数,求它的三边长和面积.3, 4, 5,面积为62. 一个两位数,个位上的数字比十位上的数字少4,且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4,求这个两位数.843. 某印刷厂在四年中共印刷1997万册书,第一年印刷了342万册,第二年印刷了 500万册,如果以后两年的增长率相同,那么这两年各印刷了多少万册？550, 6054. 某人把5000元存入银行,定期一年到期后取出300元,将剩余局部包括利息继续存入银行,定期还是一年,且利率不变,到期如果全部取出,正好是275元,求存款的年利率？不

16、计利息税(10%)5. 某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可以售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当降价举措,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场每天可多售出2件,假设商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元？20元6. 甲乙两人分别从正方形广场ABCD的顶点B、C同时出发,甲由 C向D运动,乙由B向C运动,甲的速度为每分钟 1千米,乙的速度每分钟 2千米,假设正方形广场周长为 40千米,问几分钟后,两人相 距2而千米？ 2分钟后7. 某科技公司研制一种新产品,决定向银行贷款200万元资金,用于生产这种产品,签订的合同上约定两年到期时一次性还本付息,利息为本金的8%,该产品投放市场后由于产销对路,使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外,还盈余72万元,假设该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同,试求这个百分数.20%北8. 如图,东西和南北向两条街道交于.点,甲沿东西道由西向东走,速度是每秒4米,乙沿南北道由南向北走,速度是每秒3米,当乙通过O点又继续前进50米时,甲