函数值域最值求法小结

1、实用文案标准函数值域求法小结一、观察法(根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数).21、求y x 4 2的值域。由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得：g(x) x2 4 20,，所以 y 2,，一，1，一，2、求函数y ,的值域。,x 1 1分析：首先由 7 0,得jx7+11,然后在求其倒数即得答案。解：Q jx_1 0 Jx 1 +1 1, o V J ：7 1, 函数的值域为(0, 1 .二、配方法(当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域)1、求函数y 2 Jx24x(x 0,4)的值域。设：f(x)x2 4x( f(x) 0)配方得：f

2、(x) (x 2)2 4(x 0,4)利用二次函数的相关知识得f (x) 0,4 ,从而得出：y 2,2。说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限 制，本题为：f (x) 0。x2 4x 32、求函数y e 的值域。eu得到y为增函数且y 0故解答：此题可以看作是 y eu和ux2 4x 3两个函数复合而成的函数，又u配方可得:(x 2)2 1,得到函数u的最大值u 1,再根据y函数y ex2 4x3的值域为：y (0,e。3、若* 2y 4, x 0, y 0,试求1g x 1g y的最大值。本题可看成一象限动点p(x,y)在直线x 2y 4上滑动时

3、函数1g x 1g y 1g xy的最大值。利用两点(4 , 0), (0 , 2)确定一条直线，作出图象 易得x (0,4), y (0,2)，而 lgx lgy lg xy lgy(4 2y) lg 2(y 1)2 2 , y=1 时, 1g x lg y取最大值lg 2。三、反函数法(分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型)对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求 原函数的值域。2x 1、求函数y 的值域。x 1由于本题中分子、分母均只含有自

4、变量的一次型，易反解出x,从而便于求出反函数。y -2x-反解得x y即 x 12 y故函数的值域为：y ( ,2)(2,)。(反函数的定义域即是原函数的值域)2、求函数yex 1ex 1的值域。解答：先证明y g有反函数，为此，设 为x2 且 x1，x2R ,y1y2ex11ex21ex11ex21J1_X22(ex11)(ex21)0。所以y为减函数，存在反函数。可以求得其反函数为:y 1 1n暮。此函数的定义域为x ( 1,1),故原函数的值域为y ( 1,1) o四、判别式法(分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为A(y)x2 B(y)x C(y) 0的形式，再利用

5、判别式加以判断)，一2x2 4x 71、求函数y 2的值域。x 2x 3由于本题的分子、分母均为关于x的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原函数变形.222为：x y 2xy 3y 2x 4x 7整理得：(y 2)x2(y 2)x 3y 7 0 当 y 2时，上式可以看成关于 x的二次方程，该方程的 x范围应该满足f(x) x2 2x 3 0即29x R此时方程有实根即0, 2(y 2)4(y 2)(3y 7) 0 y - ,2.29注意：判别式法解出值域后一定要将端点值(本题是y 2,y)代回方程检验。29 一 9将y 2, y分别代入检验得y 2不符合方程，所以 y ,2)。222、求

6、函数y2x40的值域。x 2x 2解答：先将此函数化成隐函数的形式得：yx2 (2y 1)x 2y 1 0, (1)这是一个关于x的一元二次方程，原函数有定义，等价于此方程有解，即方程(1)的判别式(2y 1)2 4y(2y 1) 0,解得： 1 y 2 °故原函数的值域为：y 2,4 0五、换元法(通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数(用三角代换)等)1、求函数y 2x 3 J13 4x的值域。由于题中含有,13 4x不便于计算，但如果令：t J13 4x注意t 0从而得：22x -3- y -3- 3 t(t 0)变形得 2 y (t 1)2 8(

7、t 0)即：y (,442注意：在使用换元法换元时一定要注意新变量的范围，否则将会发生错误。22. .222、已知p(x,y)是圆x y 4上的点，试求t x y 3xy的值域。在三角函数章节中我们学过：sin2cos21注意到x2y24可变形为:(-)2 ()2 1 令* cos , sin ,0,2 )则2222t 4 3 2cos 2sin4 6sin2 又20,4 )gp sin2 1,1故 t 2,103、试求函数 y sin x cosxsin x cosx的值域。题中出现cosx sin x ,而.222sin x cos x 1,(sin x cosx) 1 2sin xcos

8、x 由此联想 到将 cosxsinx 视为一整体，令 t sin x cosx J2, J2由上面的关系式易得t21 2sin xcosx t2 1sin xcosx 2故原函数可变形为：t2 11 oy t -2(t Km2)即2y (t 1)2 2,y 2(t 1)2 1 t 72,721y 1,22六、数形结合法(对于一些能够准确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像，然 后利用函数图像求其值域)1、求函数y 3 sin x的值域。2 cosx分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式, y V1k ，将原函数视为te点(2 , 3)到动点(cosx,

9、sin x)的斜率，又知动点(cosx,sinx)x2 x1满足单位圆的方程，从而问题就转化为求点(2,3)到单位圆连线的斜率问题，作出图形 观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得，从而解得:6 2,3 6 23-,-33图12、求函数y x 1 |x 3的值域。分析：此题首先是如何去掉绝对值，将其做成一个分段函数。2x 4, x (,1,y 2, x (1,3), 2x 4, x 3,),在对应的区间内，画出此函数的图像，如图 1所示，易得出函数的值域为2,）。七、不等式法（能利用几个重要不等式及推论来求得最值。（如a2 b2 2ab,a b 2Tab）,利用此法求函数的值域，要合

10、理地添项和拆项，添项和拆成立的条1、当x 0时，求函数f(x) 8x一、 c 4因为 f(x) 8x 4x 4x xf(x) 3 3 4x 4x 3 所以 f (x) ; x项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量，同时，利用此法时应注意取 件。） 弓的最值，并指出f（x）取最值时x的值。 x4 一一，一 ， ，,一3 F可利用不等式a b c 3用abc即：x，4 r，.12当且仅当4x 不即x 1时取“=”当x 1时 x2、双曲线2x-2a2 y b21的离心率为e1，双曲线2 y b22x-2a1的离心率为e2,则e e2的最f（x）取得最小值12。小值是（）。A2 2 B4 C2 D

11、.2a2 b2 a2 b2根据双曲线的离心率公式易得：e1 e2 ,我们知道x y 2jxyaba2 b2a2 b2 a2 b222所以e e2 21（当且仅当时取=）而a b 2ababab故e e2 2V2 （当且仅当a b时取“="）所以e e2）min 272。说明：利用均值不等式解题时一定要注意“一正，二定，三等”三个条件缺一不可。3、求函数y 之号的值域。x 1解答：y 4 vxi -=t 2 ,当且仅当x 1时”"成立。故函数的值域为 x 1x 17y 2,）。此法可以灵活运用，对于分母为一次多项式的二次分式，当然可以运用判别式法求得其值域,但是若能变通地运用

12、此法，可以省去判别式法中介二次不等式的过程。24、求函数y 2罕的值域。解答：此题可以利用判别式法求解，这里考虑运用基本不等式法求解此题，此时关键是在分 子中分解出"(x 1)"项来，可以一般的运用待定系数法完成这一工作，办法是设:2- 一(x 1)( x b) c x 2x 2,2将上面等式的左边展开，有：x (b 1)x (b c),故而 b 1 2, b c 2。从而原函数y (x T1) 1 (x 1) 二;i )当x0,白 0,此时y 2,等号成立，当且仅当 x 0。ii)当 x1时，(x 1) 0 , 八 0 ,此时有(x 1)(x 1) 1x 1(x 1)等号

13、成立，当且仅当 x2。综上，原函数的值域为：y (, 2 2,)。八、部分分式法(分离常数法)(分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为y k f (x)(k为常数)的形式)2x x1、求函数y -的值域。x2 x 1观察分子、分母中均含有 x2 x项,可利用部分分式法；则有2x xy -;x x 12 x x2x x1 人不妨令:/1 23(x T) 二2 41 2f(x) (x 2)3(、4，g(x)1， (f(x) 0)从而 f(x) f(x)34,注意：在本题中应排除f(x) 0,因为f(x)作为分母。所以g(x)30,故 y43,12、如对于函数y 为，利用恒等变形

14、，得到:1(3x 2) 1 y xi i3 3(3x 2)容易观察得出此函数的值域为y ( 二)氏 )。注意到分时的分子、 分母的结构特点，分离出一个常数后， 再通过观察或配方等其他方法易 得函数值域。九、单调性法(利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域).21、求函数y log 1 (4x x )的值域。 2由于函数本身是由一个对数函数(外层函数)和二次函数(内层函数)复合而成，故可令：f(x) x2 4x( f(x) 0)配方得：f(x) (x 2)2 4 所以 f(x) (0,4)由复合函数的单调性(同增异减)知： y 2,)。当函数f在(a,b)上单调，譬如 f在(a,b)上

15、递增时，自然有函数f在(a,b)上的值域为(f (a 0), f (b 0)(其中 f(a 0) lim f(x), f(b 0) lim f(x)，当 x a 时，x ax bf(x)也称其存在，记为 f(a 0);若f在(a,b)上递减，函数 f在(a,b)上的值域为(f(b 0), f (a 0)。在闭区间a,b上也有相应的结论。2、求函数y 23x 6 J8 x的值域。此题可以看作y u v和u *'3x 6 , v J8 x的复合函数，显然函数 u ，3x 6 为单调递增函数，易验证 v ，'8 x亦是单调递增函数，故函数 y v 3x 6，8 x也 是单调递增函数。

16、而此函数的定义域为 2,8。当x 2时，y取得最小值J10。当x 8时，y取得最大值530。故而原函数的值域为Ji0,J30。(若函数f在(a、b)内可导，可以利用导数求得 f在(a、b)十、利用导数求函数的值域实用文案内的极值，然后再计算f 在 a， b 点的极限值。从而求得f 的值域)求函数f(x)x3 3x在(5,1)内的值域。2分 析 ： 显 然 f 在 ( 5,3) 可 导 ， 且 f (x) 3x 3 。 由 f (x) 0 得 f 的 极 值 点 为x 1,x1。f( 1) 2,f(1 0)2。 f( 5 0) 140。所以，函数f 的值域为( 2,140) 。H一、最值法(对于

17、闭区间a, b上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间a , b内的极值，并与边界值f(a)、 f(b) 作比较，求出函数的最值，可得到函数y 的值域)已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)<0,且满足 x+y=1 ,求函数 z=xy+3x 的值域。点拨： 根据已知条件求出自变量x 的取值范围，将目标函数消元、配方， 可求出函数的值域。解：,3x2+x+1 >0,上述分式不等式与不等式2x2-x-3 <0同解，解之得1 WxW3/2 ,又x+y=1 ,将 y=1-x 代入 z=xy+3x 中，得 z=-x2+4x(-1<x 0/2),.z=-(x-2)2+

18、4且xC-1 , 3/2,函数z在区间卜1 , 3/2上连续，故只需比较边界的大小。当 x=-1 时， z= 5；当x=3/2 时， z=15/4 。，函数z的值域为 z I 5<z<15/4 。点评： 本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。十二、构造法(根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合)求函数 y= v2+4x+5+ v2-4x+8 的值域。点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。解：原函数变形为 f(x)= V(x+2)2+1+V(2-x)2+22作一个长为4、宽为 3 的矩形 ABCD ，再切割成12 个单位正方形。设 HK=x ,贝U ek=2-x , KF=2+x , AK= V(2-x)2+22 , KC= V(x+2)2+1 。由三角形三边关系知，AK+KC 泌C=5。当A、K、C三点共线时取等号。原函数的知域为 y|y >5o点评：对于形如函数y= v2+a ±v(c-x)2+b(a , b , c均为正数),均可通过构造几何图形,由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。十三、 比例法 (对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域)已知x, yC R,