(新)高中数学复习专题一---函数图象问题

1、所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。专题一函数图象数形结合是中学数学的重要的数学思想方法，尤其是函数的图象更是历年高考的热点.函数图象是函数的一种表达形式，形象的显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它 是探求解题途径，获得问题的结果的重要工具一、知识方法1 函数图象作图方法(1) 描点法：列表、描点(注意关键点：如图象与 X、y轴的交点，端点，极值点等)、连线(注 意关键线：如；对称轴，渐近线等)(2) 利用基本函数图象变换。2 图象变换(由一个图象得到另一个图象)：平移变换、对称变换和伸缩变换等。(1) 平移变换 水平平移：函数y f(x

2、 a)的图象可以把函数y f(x)的图象沿X轴方向向左 (a 0)或 向右(a 0)平移Ial个单位即可得到； 竖直平移：函数y f(x) a的图象可以把函数y f (x)的图象沿y轴方向向上(a 0)或向下 (a 0)平移|a|个单位即可得到.(2) 对称变换 函数y f( x)的图象可以将函数y f(x)的图象关于y轴对称即可得到； 函数y f (x)的图象可以将函数y f(x)的图象关于X轴对称即可得到； 函数yf( x)的图象可以将函数y f(x)的图象关于原点对称即可得到；(3) 翻折变换 函数y I f (x) I的图象可以将函数y f (x)的图象的X轴下方部分沿X轴翻折到X轴上

3、方，去掉 原X轴下方部分，并保留y f (x)的X轴上方部分即可得到； 函数y f(|x|)的图象可以将函数y f(x)的图象右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边 部分并保留y f(x)在y轴右边部分即可得到(4) 伸缩变换 函数y af (x) (a 0)的图象可以将函数y f (x)的图象中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(a 1)或压缩(Oal)为原来的a倍得到； 函数y f (ax) (a 0)的图象可以将函数y f (x)的图象中的每一点纵坐标不变横坐标伸长1(0 a 1)或压缩(a I)为原来的倍得到.a3. 函数图象的对称性：对于函数 y f(x),若对定义域内的任意X都有f (a

4、 x) f (a x)(或f (x) f (2a x),贝U f (x)的图象关于直线X a对称; f(a x) f(a x) 2b (或 f(x) f(2a x) 2b),则 f(x)的图象关于点 P(a,b)对称.4、熟练掌握基本初等函数(如正、反比例函数，一次、二次函数，指数、对数函数，幕函数，三 角函数)的图象5、作函数图象的一般步骤：(1) 求出函数的定义域；(2)化简函数式；(3)讨论函数的性质(如奇偶性、周期性、单调性)以及图像上的特殊点、线(如极值点、渐近线、对称轴等)；(4)利用基本函数的图像(5)利用描点法或图象变换作图6. 判断函数图象的方法判断函数图象是高考中经常出现的

5、内容，大多属于简单题，值得重视。常用方法有：(1) 取点(描点)(2) 考虑函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、变化趋势、对称性等方面(3) 利用平移(4) 利用基本形状4.应用：利用函数图象解决有关问题，即“数形结合”思想解答问题或帮助分析问题。二、题型演练题型一、作函数的图像例1、作出下列函数的图象.(1) y=1(g+lg); y=2x;(3)y=(l)M .2X 12解(1)化简解析式得y= O(O X I).利用对数函数的图像即得图(1)g ( 1).(2) 由y=7,得y=丄+2.作出y=1的图象，将y=l的图象向右平移一个单位，再向上平x 1x 1XX移2个单位得y=丄+2的图象

6、如图(2).X 1(3) 作出y=(扌)X的图象，保留y= (*) X图象中XO的部分，加上y= ( ) X的图象中xO的部分关于y轴的对称部分，即得y= ( 2) |X|的图象.如图(3)U一10n(1)(2)(3)例2、作出y llog/x 1)| 2的图象.分析利用图象变换作图(如图)解：第一步：作出y 0g2X的图象(图).第二步：将y 0g2的图象沿X轴向左平移1个单 位得y IogX(X 1)的图象(图)第三步：将y 0g2(x 1)的图象在X轴下方的图象，以X轴为对 称轴对称到X轴的上方得y 0g2(x 1)|的图象)(图).第四步：将y 0g2(x 1)|的图象沿y轴方 向向上

7、平移2个单位，得到y H0g2(x 1)| 2的图象(图).JyI卜IIIIII JyIVhr1Q/1 予 图IS O X -UI0 x -IjI3)闺0 ；评注运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线.要把点取在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、 大致特征、变化趋势等作一个大概 的研究而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图象变换法 作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换.这也是个难点.题型二、已知两个函数解析式，指出它们之间的变换或已知一个解析式和变换，求另一个解析式。例3.说明由函数y 2

8、x的图像经过怎样的图像变换得到函数 y 2x3 1的图像.解：方法一：(1) 将函数y 2x的图像向右平移3个单位，得到函数y 2x 3的图像；(2) 作出函数y 2x3的图像关于y轴对称的图像，得到函数y 2 x3的图像；(3) 把函数y 2 X 3的图像向上平移1个单位，得到函数y 2x3 1的图像.方法二：(1) 作出函数y 2x的图像关于y轴的对称图像，得到y 2 X的图像；(2) 把函数y 2 X的图像向左平移3个单位，得到y 2 x3的图像；(3) 把函数y 2 X 3的图像向上平移1个单位，得到函数y 2x3 1的图像.例4、已知函数f(x) = log2(x + 1),将函数y

9、= f(x)的图象向左平移一个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y= g(x)的图象.求函数y= g(x)的解析式.解：由已知，将函数f(x)= log2(x + 1)的图象向左平移一个单位，得到y= log2(x + 1 + 1)的图象,再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2倍(横坐标不变),得到函数y= g(x) = 2log2(x + 2)的图象.故 g(x) = 2log2(x + 2).题型三、选择正确的函数图象例5.如图所示，f1(x), f2(x), f3(x), f4(x)是定义在0,1上的四个函数，其中满足性质：“对0,1中A任意的X1和

10、X2， f()X1 , X2的中点,解：M宁)的自变量为f(宁)对应的函数值即“中点的纵坐标”，2f(Xi) f(X2)为自变量X1，X2对应的函数值所对应的点的中点，即“纵坐标的中点”。再结合f(x)函 数图象的凹凸性，可得到答案 A,这是函数凹凸性的基本应用。故选AO例6、已知a放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!CD5右,分析可以从图象所在的位置及单调性来判别， 也可利用函数的性质识别图象，特别注意底数a对图象的影响解：解法一：首先，曲线y ax只可能在上半平面，y log a( x)只可能在左半平面上，从而排除 A、Co其次，从单调性着眼，y ax与y loga( x)的增减性正好

11、相反，又可排除 D解法二：若0 a 1 ,则曲线y ax下降且过点(0,1)，而曲线y Ioga(X)上升且过(1,0),以上 图象均不符合这些条件若a 1时，则曲线y ax上升且过(0,1),而曲线y loga( x)下降且过 (1,0),只有B满足条件。解法三：如果注意到y Ioga( x)的图象关于y轴的对称图象为y Ioga ,又y Ioga与y ax 互为反函数(图象关于直线y X对称)，则可直接选定Bo答案B例7函数y f(x)与函数y g(x)的图象如则函数y f(x) g(x)的图象是()解：由图象可知，f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)与g(x)的公共定义域为X

12、0 ,排除 C、Do 令 F (x) f (x) g(x),则 F(X) f ( x) ? g( x) f(x) g(x),所以 F(X) f (x) ?g(x)为奇函 数，其图象关于原点对称，排除 Bo故选Ao题型四、函数图象的应用例&若直线y= 2a与函数y= |ax1(a0且a 1)的图象有两个公共点，求a的取值范围.解：(1)当0vav 1时，y=ax 1|的图象如图(1)所示,1由已知得 OV 2av 1 ,0v av q(2)当a 1时，y= ax- 1|的图象如图(2)所示，1由已知可得 Ov2av 1 ,0vav2，但 a 1,故 a.1综上可知，Ov a v 2例9、已知函数

13、f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图，求b的范围。解：解法一：观察f(x)的图象，可知函数f(x)的图象过原点，即 f(0)=0,得 d=0，又f(x)的图象过(1, 0)，i f(1)=a+b+c=0又有 f( 1)v 0,即a+b- CV0+得bv0,故b的范围是(, 0)解法二：如图f(x)=0有三根0, 1, 2, f(x)=ax3+bx2+cx+ d=ax(x- 1)(x- 2)=ax3- 3ax2+2ax, b= 3a,当 x2 时，f(x)0,从而有 a0, bv 0。评注通过观察函数图像，变形函数解析式，得参数的取值范围1例10 (1)试作出函数y X丄的图像；X(2)

14、对每一个实数X ,三个数XI x,1 x2中最大者记为y ,试判断y是否是X的函数？若是，作出 其图像，讨论其性质(包括定义域、值域、单调性、最值)；若不是，说明为什么？11解：(1)令f(x) X ,f(x) (X -)f(x) f(x)为奇函数，从而可以先作出X 0时f(x)XX的图像，再利用f(x)的图像关于原点对称可得X 0时f(x)的图像。又 X 0时，1/Tf (X) X -2： X 2X V X X 1时，f(x)的最小值为2,图像最低点为(1,2),又V f(x)在(0,1)上为减函数，在(1,)上是增函数，1同时f (x) X X(X 0)即以y X为渐近线，X放弃很简单，但

15、你坚持到底的样子一定很酷!7所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。于是X 0时，函数的图像应为下图，f(x)图象为图(2) y是X的函数，作出g(x) X) g2(x)X, g3(x) 1 X2的图像可知，f (X)的图像是图中实线放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!CD9部分定义域为R;值域为1,);单调增区间为1,0),1,);单调减区间为(，1),O,1);当X 1时，函数有最小值1;函数无最大值【评注】解决图像的应用问题，准确地做出图像是问题的关键。小结：函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇

16、偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法，为此，既要从定形、 定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称 变换等。注意：平移、伸缩变换的先后次序对变换的影响，可结合具体问题阐述如何进行平移、伸缩变换。习题一1.在下列图象中，二次函数y=af+bx与指数函数y=(b)x的图象只可能是y；y11f aJJ -昕-1 OC-1O 1WX1. D3X 12函数y=的图象 ()X 2A.关于点(2,3)对称B.关于点(2, 3)对称C关于直线X= 2对称D.关于直线y= 3对称。3、设函数 f (X) XXbO C,X 0 若 f( 4) f (O), f ( 2)2则关于X的方程f(x)X的解的个数(A) 1(B) 24、方程2x X2的实根的个数为(C) 3(D) 4)A: O B : 15.为了得到函数y 3X的图象,可以把函数yX的图象()A. 向左平移3个单位长度B. 向右平移3个单位长度C. 向左平移1个单位长度D.向右平移1个单位长度6定义运算ab a (a b),则函数f(x)=1 2x的图象是7、要得到y lg(3 x)的图像，只需作y I