《数值计算方法》精彩试题集及问题详解

1、f (x)dx,用三点式求得f (1)答案:2.367, 0.252、f (1)1, f(2) 2, f(3)1，则过这三点的二次插值多项式中x的系数为拉格朗日插值多项式为答案：-1,1 1L2(x)-(x 2)(x 3) 2(x 1)(x 3)尹 1)(x2)3、近似值x* 0.231关于真值x 0.229有(2 )位有效数字;4、设f (x)可微,求方程x f (x)的牛顿迭代格式是(Xn f(Xn)xn 1 Xn答案1 f (xn)5、对 f(x) x3 x 1,差商 f0,1,2,3(1), f0,1,2,314),0)；&计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差；7、用二分

2、法求非线性方程 f (x)=0在区间(a,b)的根时，二分n次后的误差限为8已知f(1)= 2, f(2) = 3, "4) = 5.9,则二次Newton插值多项式中x2系数为(0.15 );11、两点式咼斯型求积公式111.31°f(x)dx (0f(x)dx ?f(苛)、31f(23),代数精计算方法期中复习试题、填空题:1、已知f(1) W f(2) 2, f(3)3 ,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得31度为(5 );1012、为了使计算4(x 1)26(x 1)3的乘除法次数尽量地少,应将该表达式改写为y 10(3(4,为了减少舍入误差，应将表达式.200119

3、99改写为2001.1999_ o313、用二分法求方程f(x) x x 10在区间0,1的根,进行一步后根的所在区间为0.5，1,进行两步后根的所在区间为0.5, 0.751 14、计算积分o.xdx,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为0.4268 ，用辛卜生公式计算求得的近似值为0.4309，梯形公式的代数精度为1，辛卜生公式的代数精度为 3。15、设 f(0)0, f(1)16, f(2)46,则 li(x)li(x)x(x 2)_, f(x)的二次牛顿插值多项式为 N2(x)16x 7x(x 1)16、a求积公式bf(x)dxnA<f(Xk)k 0的代数精度以(高斯型)

4、求积公式为最高，具有(2n 1)次代数精度。17、已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求51 f(x)dx (12 )。18设 f (1)=1，f(2)=2，19、(如果用二分法求方程10 )次f (3)=0，用三点式求3xx 40在区间f (1)(2.5 )。1,2的根精确到三位小数，需对分20、a=(21、nlk(x)k 0n(xkk 0S(x)已知3)，l°(x), h(x),o3x1 3-(x 1)2b=(3a(x1)2 b(x 1) c3是三次样条函数，则)，c=( 1,ln(x)是以整数点XoM, ,xn为节点的Lagrange插值基函数

5、，则Xkl j (Xk)0(Xj)22、数。3)lk(x)(区间a,b上的三次样条插值函数)S(x)在a，b上具有直到2阶的连续导23、jf JI改变函数f (x) x 1'x1(x 1 )的形式，使计算结果较精确24、若用二分法求方程 次.O0在区间1,2的根，要求精确到第3位小数，则需要对分S x25、设2x3,032x axxbx1c, 1 x 2是3次样条函数，则a= 3, b= -3, c=126、若用复化梯形公式计算477个求积节点。°exdx要求误差不超过10 6利用余项公式估计,至少用27、 若 f(x)3x4 2x 1，则差商 f2,4,8,16,321 2

6、 f (x)dx - f ( 1)28、数值积分公式 192。选择题8f(0)f (1)的代数精度为1、三点的高斯求积公式的代数精度为(B )A.2B. 5C.32、舍入误差是(A )产生的误差。A.只取有限位数B.模型准确值与用数值方法求得的准确值C.观察与测量D .数学模型准确值与实际值3、3.141580是n的有(B )位有效数字的近似值。A.6B.5C.4D.74、 用1+x近似表示ex所产生的误差是( C)误差。A.模型B.观测C .截断D.舍入x5、用1 + 3近似表示刘C所产生的误差是(D )误差。A.舍入B.观测C .模型D.截断6 -324 . 7500是舍入得到的近似值，它

7、有(C )位有效数字。A .5B .6C .7D .87、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为(A )A.-0 . 5B . 0 . 5 C . 2D . -28、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C )。A .3B .4C .5D .29、( D )的3位有效数字是0.236X 102。(C) 235.418 (D) 235.54X 10- 1(A) 0.0023549 X 103(B) 2354.82 X 10-210、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根,把方程f(x)=0表示成x= (x),则f(x)=0的根是(B )。(A) y= (x)

8、与x轴交点的横坐标(C) y=x与x轴的交点的横坐标(B) y=x与y= (x)交点的横坐标(D) y=x与y= (x)的交点11、拉格朗日插值多项式的余项是(B )，牛顿插值多项式的余项是(C ) o(A) f(x,x0,x1,x2.,xnx®(x x2)(x xn 1)(x xn),(n 1)Rn(x) f(x)(B)Pn(x)j(n 1)!(C) f(x,x0,x1,x2.,x(x)(x x1)(x x2)(xxn 1)(x xn), f (n 1()Pn(x)(n 1)!Rn(x) f(x)(D)12、用牛顿切线法解方程f(x)=0，选初始值x0满足(A)，则它的解数列xnn

9、=0,1,2,n l(x)定收敛到方程f(x)=0的根。(A)f(x°)f(x) 0(B)f(x°)f(x) 0(C)f(x°)f(x) 0(D)f(x°)f(x) 02x(A)xk1x(B),迭代公式:xk 1X12Xk3(C)xx2,迭代公式:Xk 1(12、1/3Xk)3x(D)x2,迭代公式：Xk 12Xkbf(x)dx a14、在牛顿-柯特斯求积公式：公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当( 使用(b a)i 0n(n)Ci f(Xi)中，当系数C(n)是负值时,)时的牛顿-柯特斯求积公式不13、为求方程x3x2仁0在区间1.3,1.6的一个

10、根，把方程改写成下列形式，并建立 相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )o1一,迭代公式：Xk 1x 1(1) n 8，(2) n 7，(3) n 10，(4) n 6,23、有下列数表X00.511.521 2.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是()。(1) 二 次；(2)三次；(3)四次；(4)五次15、取亦 1.732计算x (亦1)4，下列方法中哪种最好？()1616(A) 28 16 亦；侣)(4 2后；(C) (42亦)2 ；(D)1)4。3 X0 x2S(x)3b 2 x26、已知2(x 1) a(x 2)4是三次样条函数，则a,b的值为

11、( )(A)6, 6;(B)6 , 8;(C)8, 6;(D)8, &16、由下列数表进行Newt on插值，所确定的插值多项式的最高次数是()Xi11.522.533.5f (Xi )-10.52.55.08.011.5(A)5;(B)4 ;(C) 3 ;(D) 217、形如bf (x)dx A1 f (x1)aA?f(X2)A3f(X3)的高斯度为()(A)9;(B)7 ;(C) 5 ;(D) 31&计算-3的Newton迭代格式为()xk 1(A)Xk 3Xk 12Xk ; (B)xk322XkxXkk 1;(C)219、用二分法求方程x3 4x2100在区间1,2的实根

12、,对分次数至少为()(A)10;(B)12 ;(C)8 ;(D)9 0(Gauss)型求积公式的代数精2xk3xk 1Xk ; (D)3Xk0I 103要求误差限为2，则kli(k)(A)x;(B) k ;(C)i ;(D) 1033、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有()次代数精度(A)5 ;(B)4 ;(C)6 ;(D)3 03X0x 2S(x)321、已知2( x 1) a(x 2)b 2x 4是三次样条函数，贝U a,b(A)6, 6 ;(B)6, 8 ;(C)8,(6 ;(D)8, &35、已知方程x3 2x 50在 x2附近有根，下列迭代格式中在X。20、设 h(x)

13、是以 xk k(k0,1丄，9)为节点的Lagrange插值基函数，则k 0的值为(2不收敛的是( )Xk 1Xk(A) xk 13 2xk 5 22、由下列数据(B)2总3xk (C) xk 1 xk xk 5 (D)X0|1234f(x)1243-5确定的唯一插值多项式的次数为()(A) 4;(B)2;(C)1 ;(D)3 023、5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为()(A)8;(B)9;(C)10;(D)11。三、是非题(认为正确的在后面的括弧中打，否则打)1、已知观察值任，屮川01 2,，叫用最小二乘法求Pn(x)的次数n可以任意取。2x： 53xk 20n次拟合多项式Pn

14、(x)时,2、 用1-2近似表示cosx产生舍入误差。()(X Xo)(X X2 )3、 (X1 Xo)(X1 X2)表示在节点X1的二次(拉格朗日)插值基函数。()4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。()3112535、矩阵A=125具有严格对角占优。()四、计算题：111+冬+工口八亠 1f(X)dX Af( 1) f(1) Bf( -)拓蛀由口曰1、求A、B使求积公式122的代数精度尽量高，并求其代数精度；利用此公式求丄dxX(保留四位小数)。2A2A1求积公式为1f(X)dX1f(1)f(1)2)1f(-)当f(x) x3时，公式显然精确成立；

15、当f (X)2时，左=5，1右=3。所以代2答案：f(X) 1-X'X是精确成立，即2B1b2数精度为3。121dxt1 X2x里 0.692861402、已知Xif (Xi)2654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(X)的三次插值多项式P3(x)，并求f(2)的近似值(保留四位小数)。L(x)2(x®(x4)(x 5)6(x1)(x4)(x5)答案：3(13)(14)(15)(31)(34)(35)5(x1)(x3)(x5)4(x1)(x3)(x4)54(41)(43)(45)(51)(53)(54)差商表为Xiyi一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-1

16、014P3(x)N3(x)2 2(x 1) (x 1)( x 3) -(x 1)( x 3)(x 4)4f(2)P3(2) 5.55、已知Xi-2-1012f (xj42135求f(x)的二次拟合曲线P2(x)，并求f (0)的近似值答案：解：iXiyi2Xi3Xi4 XiXi yi2Xi yi0-244-816-8161-121-11-2220100r 0P 00313111334254816102001510034341正规方程组为/、 10311 2P2(X)XX710145a°10a21510a1310a°34a24110311a。,a1,a271014311P2(

17、X)X07f (0)p2(0)106、已知sinx区间0.4, 0.8的函数表xi0.40.50.60.70.8yi0.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值答案：解：应选三个节点，使误差M 3|R2(X)| 寸 I 3(X)1尽量小，即应使1 3(X)I尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点0.5,0.6,0.7最好，实际计算结果Sin0.63891 0.596274，sin 0.638910.5962741評638910.5)(0.6389190.6)(0.6389

18、10.7)7、构造求解方程e10x 2 0的根的迭代格式Xn 1(Xn), n 0,1,2,，讨论其收敛性，并将根求出来,|xn 1 xn 丨 10 4。答案：解：令f(x)ex 10x 2, f (0)20,f (1)10 e 0f (x)0变形为X eX)则当x (0,1)时(X)存 ex), 1 (x)|X e10e10故迭代格式1Xn、Xn1 10(2 e )收敛。取X00.5，计算结果列表如下:n0123Xn0.50. 127 8720.096 424 7850. 877 325n4567Xn0.090 595 9930.090 517 3400.090 525 9500.090 5

19、25 0086 *且满足 |x7 x6 | 0.000 000 95 10 所以 X 0.090525 008解：当0<x<1时,f(X)ex，则f (x) e1且 0eXdX有一位整数.要求近似值有5位有效数字，只须误差R(n)(f)10 4R(n)(f)(b a)312n2，只要R(n) (ex)e12n2e12n210 410、已知下列实验数据Xi1.361.952.16f(Xi)16.84417.37818.435试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据即可，解得所以 n 68,因此至少需将0,1 68等份。12、取节点X。0，xi0.5, X2 求函数f (x)xe在区间

20、0,1上的二次插值多项式P2（X）,并估计误差。解:B(x)(x 0.5)(x 1) (0 0.5)(01)e 0.5(x 0)(x 1)(0.5 0)(0.5 1)(x0)(x0.5)(1 0)(1 0.5)0 510.5)(x 1) 4e . x(x 1) 2e x(x 0.5)又 f(x) ex2（x（X） 皿max|f（x）|故截断误差x|R2(x)| |e1P2(x)| 3x(x0.5)( x 1)|014、给定方程f（x）(x 1)ex 11）分析该方程存在几个根;2）用迭代法求出这些根，精确到 5位有效数字;3）说明所用的迭代格式是收敛的。解：1）将方程(x 1)ex1 0(1)

21、改写为x 1X e(2)作函数f1（x）x 1f2(x) eX的图形（略）知(2)有唯根x (1,2)2）将方程（2）改写为X 1 e xXk 111 e k构造迭代格式X01.5(k0,1,2,)计算结果列表如下:k12345678946Xk1.223131.294311.27409)1.27969 1.27812 1.2785>6 1.27844 1.27847 1.2783)(x)1 e(X) e x当 X 1,2时,(2), (1)【1,2】，且|(x)| e 11所以迭代格式Xk 1(Xk) (k0,1,2,)对任意Xo1,2均收敛。15、用牛顿(切线)法求3的近似值取xo=1

22、.7,计算三次，保留五位小数。解：.3是f(x) x2 3 0的正根,f(x) 2x，牛顿迭代公式为xn 3xn 1 xn2xnxn 1 号 f (n 鳩)取X0=1.7,列表如下:n123Xn1.732351.732051.7320516、已知f (-1)=2, f (1)=3，f (2)=-4,求拉格朗日插值多项式L2(x)及f (1, 5)的近似值, 取五位小数。解:L2(x)2(X 1)(X2)(1 1)( 13 (x1)(x2)4 (x1)(x1)2) (11)(12) (21)(21)討 1)(x17、n=3,用复合梯形公式求1eXdx0的近似值(取四位小数)，并求误差估计。解:0

23、1exdx T3 Te°02 31 32(e'2 31e ) e 1.7342(x)I e|R| |exT3Ie12 32e0.0250.05108至少有两位有效数字。20、( 8分)用最小二乘法求形如y.2a bX的经验公式拟合以下数据:Xi19253038解:atyi19.032.349.073.3span 1, x21 1 1119.032.3 49.073.3T192解方程组252312382At AC At y其中ata433913391 3529603ATy173.6179980.7C解得：0.92555770.0501025 所以0.9255577，b 0.05

24、0102521、（ 15 分）用 n项估计其误差。用 值。8的复化梯形公式n 8的复化梯形公式（或复化1e x dx0e时，试用余（或复化 Simpson公式）计算Simpson公式）计算出该积分的近似pf()|RT【f| 解：T(8)-f(a)2111210.00130276872 f(xQ f(b)k 11 2 (0.8824969 160.77880080.606530660.53526140.63294340.472366550.41686207) 0.36787947322、（ 15分）方程x0在x 1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）x 3x 1对应迭代格式Xn3x

25、x式计算3 xn3xn解：（1）1对应迭代格式Xn 11.5附近的根，精确到小数点后第三位。1 2（x） Jx 1）31 ；x 1X对应迭代格式Xn11。判断迭代格式在X。1.5的收敛性,1 1xn ；（ 3）选一种收敛格(3)(x)(X)X1(1.5)3 1.5251.5选择(1)：X。X51.3247625、数值积分公式形如(1.5)0.18 1，故收敛;0.17 1，故收敛;1.3572x2X61.324721，故发散。1.3309 X31.3259 x41.3249? ? ?oxf(x)dx S(x) Af (0)Bf(1) Cf (0) Df度尽量高；(2)设f(x)C40,1，推导

26、余项公式(1)试确定参数A,B,C,D使公式代数精10xf(x)dx S(x)，并估计误差。R(x)23A解：将f(x) 1,x,x ,x分布代入公式得：120构造Hermite插值多项式H/x)满足H3W)f(xjH3(k)f (Xi)i 0,1 其中 X。OX 1则有:1o xH3 (x)dx S(x)f(x) H3(x)凶()()2 2 x (x 1) 4!R(x)1Oxf (x) S(x)dx(4)()4!(x 1)2dx(4)(4! 60(4)()x3(x 1)2dx 04!：(4)()144027、( 10分)已知数值积分公式为:f(x)dx尹0)f(h)h2f(0)f(h)，试确

27、定积分公式中的参数，使其代hh2hf (x)X时，xdx0hh211022h 2 .h3h s2 -h2.亠h3f(x)2x dx-0h 02h2 hx时，0322h 3 ,h4h s3-12,亠亠2-f(x)3x dx0h h 03h x时，04212h 4 ,h5h rc4 12小h5f(x)4x dx-0h h 04h 6 ；x时，05212所以，其代数精确度为3。数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数解：f(x) 1显然精确成立；112 -728、(8分)已知求' a(a 0)的迭代公式为:1 ( xk 1- (xka)xkX00 k0,1,2证明：对一切k 12,Xka且序

28、列Xk是单调递减的,从而迭代过程收敛。1a1i1afXk 1 ;区一)1 2Xk 、a k0,1,2证明：2Xk2VXk故对一切k1,2,Xk- a0Xk 1又Xk1 a 12(1X!)2(1 1) 1所以Xk 1 Xk，即序列Xk是单调递减有下界，从而迭代过程收敛33f（x）dx -f （1） f 29、（ 9分）数值求积公式02是否为插值型求积公式？为什么?其代数精度是多少？3p(x)dx0|f(1)f(2)。其代数精度为1。30、(6分）写出求方程4xcos X1在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。XnXn 35100 215 6 290.00163 1cos xn（6分）

29、4，n=0,1,2,'X14sin x1-14对任意的初值Xo0,1,迭代公式都收敛。解：是。因为f（x）在基点1、2处的插值多项式为P(x)f（1）汨f(2)31、（12 分）以100,121,144为插值节点，用插值法计算10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.7227555的近似值，并利用余项估用Newton插值方法：差分表:1001211441011120.04761900.0434783-0.000094113632、（10分）用复化Simpson公式计算积分1 sin x0 xdX的近似值，要求误差限为R 115 100 115 121 115 1443!0.5 10Si6f04f - f 120.94614588S21?f04f4f4 f1°.94608693S215S20.39310-5IS20.94608693sin xx2x4x6x8或利用余项:3!5!7!9!(4) x7 2!9 4!5 a2880n42880 5n40.510 52, IS233、(10分)用Gauss列主元消去法解方程组:X14x22x3243捲X25x3342x