历年上海高考试题(圆锥曲线)

1、历年上海高考试题(圆锥曲线) 班级 学号 姓名 1.(01上海)若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为_2.（02上海）曲线 （t为参数）的焦点坐标是 3.（02上海）抛物线(y-1)2=4(x+1) 的焦点坐标是 4.（03上海春）直线被抛物线截得线段的中点坐标是 .5.（03上海理）在极坐标系中，定点A点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是 .6.（04上海春）过抛物线y2=4x的焦点F作垂直于x轴的直线,交抛物线于A、B两点,则以F为圆心、AB为直径的圆方程是 7.（04上海）设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为x=1,则它的焦点坐标为 8.（

2、04上海理）在极坐标系中,点M(4,)到直线l:(2cos+sin)=4的距离d= .9.(03上海)给出问题：F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由|PF1|PF2|=8，即|9|PF2|=8，得|PF2|=1或17. 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内.10.(04上海)教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是 .11.（05上海文）若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(2,0),则椭圆的

3、标准方程是12.（05上海理）若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是_。13.（06上海文）已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是_.14.（06上海理）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 15.（06上海理）在极坐标系中，O是极点，设点A（4，），B（5，），则OAB的面积是 16.（07上海春）在平面直角坐标系中，若抛物线上的点到该抛物线的焦点的距离为6，则点P的横坐标 .17.（07上海文）以双曲线的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 18.（06上海春）

4、抛物线y2=4x的焦点坐标为 ( ) A. (0,1) B.(1,0) C. (0,2) D. (2,0)19.（05上海）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ B ）A有且仅有一条 B有且仅有两条 C有无穷多条 D不存在20.（01上海）设F1、F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一点.已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF2|,求的值. 21.（02上海春）已知F1、F2为双曲线(a>0,b>0)的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线点P,且PF1F2=30°,求双曲线的渐近线方向22.（02

5、上海）已知点，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线交于D、E两点，求线段DE的长。23.（03上海春）设分别为椭圆的左、右两个焦点.(1) 若椭圆上的点到两点的距离之和等于4，写出椭圆的方程；(2) 设是(1)中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程；(3) 已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线、的斜率都存在，并记为时，那么是与点位置无关的定值. 试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明.24.（03上海文）如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高米，隧道全长千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状. （1

6、）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱 宽l是多少？ （2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设 计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧 道的土方工程量最小？ （半个椭圆的面积公式为，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到米）25.（04上海春）已知倾斜角为45°的直线l过点A(1,2)和点B,B在第一象限,=3.(1) 求点B的坐标;(4分)(2) 若直线l与双曲线C：=1(a>0)相交于E、F两点,且线段EF的中点坐标为(4,1),求a的值;(6分)(3) 对于平面上任一点P,当点Q在线段AB上运动时,称的最小值为P与线段AB的距离.已知点P在x轴上运动,写出点p(t,0)到线

7、段ab的距离h关于t的函数关系式.(8分)26.（04上海文）如图, 直线y=x与抛物线y=x24交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=5交于Q点. (1) 求点Q的坐标；(2) 当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B) 的动点时, 求OPQ面积的最大值.27.（05上海春）（1）求右焦点坐标是，且经过点的椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的方程是. 设斜率为的直线，交椭圆于两点，的中点为. 证明：当直线平行移动时，动点在一条过原点的定直线上；（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心. 解（1） 证明（2）解（3）

8、28.（05上海文）已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M. (1)求抛物线方程; (2)过M作MNFA, 垂足为N,求点N的坐标; (3)以M为圆心,MB为半径作圆M.当K(m,0)是x轴上一动点时,丫讨论直线AK与圆M的位置关系.29.（05上海理）如图,点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点.点P在椭圆上,且位于x轴的上方,PAPF.(1)求点P的坐标;(2)设M椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.

9、30.（06上海春）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验，设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴、M(0,)为顶点的抛物线的实线部分,降落点为D(8,0).观测点A(4,0)、B(6,0)同时跟踪航天器(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？ 31.（06上海文）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.（1）求该椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的动点,求线段中

10、点的轨迹方程；（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。（06上海理）在平面直角坐标系O中，直线与抛物线2相交于A、B两点（1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由xy32.（07上海春）如图，在直角坐标系中，设椭圆的左右两个焦点分别为. 过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交，其中一个交点为.(1) 求椭圆的方程；(2) 设椭圆的一个顶点为，直线交椭圆于另一点，求的面积.33.（07上海文）我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中， yO.Mx.如图，设点，是相应椭圆的焦点，和，是“果圆” 与，

11、轴的交点，是线段的中点（1）若是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程； （2）设是“果圆”的半椭圆上任意一点求证：当取得最小值时，在点或处；（3）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标参考答案解（1）设F2（c,0)(c>0),P(c,y0),则    。    在直角三角形PF2F1中，PF1F2=30°        解法一：F1F2=3PF2,    ,    将c2=a

12、2+b2代入，解得b2=2a2.    解法二：PF1=2PF2,    由双曲线定义可知PF1-PF2=2a,得PF2=2a.           解 设点C（x,y），则根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线由即A(4,2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1). 由kAB=,直线AB的垂直平分线方程y1=(x2). 令y=5, 得x=5, Q(5,5) (2) 直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x, x24). 点P到直线OQ的

13、距离d=, ,SOPQ=. P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上, 4x<44或44<x8. 函数y=x2+8x32在区间4,8 上单调递增, 当x=8时, OPQ的面积取到最大值30.解（1）设椭圆的标准方程为， ，即椭圆的方程为， 点（）在椭圆上， ， 解得 或（舍）， 由此得，即椭圆的标准方程为. 5分 （2）设直线的方程为， 6分 与椭圆的交点()、()，则有， 解得 ， ， ，即 .则 ， 中点的坐标为. 11分 线段的中点在过原点的直线 上. 13分 （3）如图，作两条平行直线分别交椭圆于、和，并分别取、的中点，连接直线；又作两条平行直线（与前两条直线

14、不平行）分别交椭圆于、和，并分别取、的中点，连接直线，那么直线和的交点即为椭圆中心. 18分 解（1）由已知可得点A(6,0),F(0,4) 设点P(x,y),则=x+6,y,=x4,y,由已知可得 (x+6)(x4)+y2=0 则2x2+9x18=0,x=或x=6. 由于y>0,只能x=,于是y=. 点P的坐标是(,) (2) 直线AP的方程是xy+6=0. 设点M(m,0),则M到直线AP的距离是. 于是=,又6m6,解得m=2. 椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有 d2=(x2)2+y2=x4x2+4+20x2=(x)2+15,由于6m6, 当x=时,d取得最小值解(1) 抛物线

15、y2=2px的准线为x=-,于是4+=5, p=2. 抛物线方程为y2=4x. (2)点A是坐标是(4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2), 又F(1,0), kFA=;MNFA, kMN=-, 则FA的方程为y=(x-1),MN的方程为y-2=-x,解方程组得x=,y=, N的坐标(,).(1) 由题意得, ,圆M.的圆心是点(0,2), 半径为2,当m=4时, 直线AK的方程为x=4,此时,直线AK与圆M相离.当m4时, 直线AK的方程为y=(x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0,圆心M(0,2)到直线AK的距离d=,令d>2,解得m>1当m>1时, AK与

16、圆M相离; 当m=1时, AK与圆M相切; 当m<1时, AK与圆M相交.解(1)设曲线方程为y=ax2+, 由题意可知,0=a64+, a=- 4分 曲线方程为y=-x2+. 6分 (2)设变轨点为C(x,y),根据题意可知 1 (1) y=-x2+ (2) 得4y2-7y-36=0,y=4或y=-(不合题意,舍去) y=4 9分得x=6 或x=-6(不合题意,舍去).C点的坐标为(6,4), 11分,答: 当观测点A、B测得AC、BC距离分别为2、4时，应向航天器发出变轨指令 14分1）设过点T(3,0)的直线交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2). 当直线的钭率不

17、存在时,直线的方程为x=3,此时,直线与抛物线相交于点A(3,)、B(3,). =3； 当直线的钭率存在时,设直线的方程为，其中， 由得 又 ， ， 综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3”是真命题；(2)逆命题是：设直线交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题. 例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时=3,直线AB的方程为：，而T(3,0)不在直线AB上；说明：由抛物线y2=2x上的点A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足=3，可得y1y2=6，或y1y2=2，如果y1y2=6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y

18、2=2，可证得直线AB过点(1,0),而不过点(3,0).解(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1. 又椭圆的焦点在x轴上, 椭圆的标准方程为(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0),由x=得x0=2x1y=y0=2y由,点P在椭圆上,得, 线段PA中点M的轨迹方程是.(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此ABC的面积SABC=1.当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入,解得B(,),C(,),则,又点A到直线BC的距离d=,ABC的面积SABC=于是SABC=由1,得SABC,其中,当k=时,等号成立.SABC的最大值是. (1) 解法一 轴， 的坐标为. 2分 由题意可知 得 所求椭圆方程为. 6