高数微积分习题解答

1、习题 3-13-11 1、计算下列第二类曲线积分：（1 1）（x2y2）dx,L L 为抛物线yX上由点（o,oo,o ）到点（2,42,4）的一段弧;L（3 3）Lydx zdy xdz,L L 为螺旋线x a cost, y a si nt,z bt上由 t=0t=0 到 t=2t=2 的 有向弧段；（4 4）lxdx ydy （x y 1）dz,L L 为由点（1 1，1 1，1 1）到点（2 2，3 3，4 4）的一段直线；（5 5） ：.F dl,其中F （y, x）,L L 为由 y=x,x=1y=x,x=1 及 y=0y=0 所构成的三角形闭路，取逆时针L方向；解（1 1）化为对

2、 x x 的定积分，L:L:y2x a cost, y a si nt (0 t 2 )(x y)dx (x y)dy2 2x y(acost asin t)d(as int)(acost as in t)(acost)dt(4)直线的参数方程为：x 1 t,y 1 2t,z 1 3t(0 t 1)dx dt,dy 2dt,dz 3dt代入(x2L2y2)dx= =o (x2x3 4)dxGx15、5x)56152( a2sin2t0 abt cost abcost)dt(2)(x y)dx (x y)dyL L 为按逆时针方向饶行的圆(6(6) F dl,其中 F FL L 按逆时针方向饶行

3、的圆x a cost, y a si nt. .（2 2） 圆周的参数方程为:122n(a costa1asin t)d(acost)a si nt)( a si nt)2Lxdx ydy (x y 1)dzdxx ya sint d(acost) adyya costx2y2R2按逆时针方向走过第一象限的弧段时，场力所作的功 解：由题意知，场力所作的功为W FdxL2 2 2L:L:x y R,x,x 从 R R 变到 0 0，0于是，w=w=Fdx Fdx F RR IL3 3、有一平面力场 F F,大小等于点（x,yx,y ）到原点的距离，方向指向原点. .试求单位质量的质点 P P 沿

4、椭圆2 2x2y21逆时针方向绕行一a2b2周，力 F F 所作的功. .解:F (x, y)22椭圆务占1的参数方程为：xa cost, y bsin t，t t 从 0 0 至 U U 2 2ab2所以,2d(asi nt) a10(1t) 2(12t)3(1 t 12t1)dt=。(614t)dt6 713（5 5）三条直线段的方程分别为y=0,xy=0,x从 0 0 到 1 1 ；x=1,yx=1,y从 0 0 到 1 1 ；y=x,xy=x,x从 1 1 到 0.0.所以-Fdl=ydxLL11oxdy=0=01dyxdx0 xdx1dl1dt 20力场由以横轴正向为方向的常力F F

5、 构成，试求当一质量为m m 的质点沿圆周x22W F dl 0 a cost (da cost)Lbsin t(dbsi nt)22.a cos tb2sin2t24 4、有一力场 F F,0其力的大小与力的作用点到xoyxoy 平面的距离成反比且指向原点，试求单位质量的x at, ybt, z ct(c0）从点（a,b,c）移动到（2a,2b,2c）该场力所作的功解：Fyr22 2x y z直线的参数方程为:x at,bt, z ct(c0），t t 从 1 1 到 2 2所以,F dlL2( a2t b2t1 c2t)冋t需21k=)dt22丄22丄2 b tc tk , a2b2c2l

6、n2R习题 3-23-2 答案1 1、解：记 S S 在 x0 x0 一侧为E，在 x0 x0y0 一侧为S5，在 y0y0 x0 取下侧(xS|y)dxdy0,(yDxyx)x2y一2(x y)dxdyyS2记 S S 在 z=0z=0 上的部分为，在 x=0 x=0 上的部分为S2，在 y=0y=0 上的部分为&，在x2的部分为S4，在zx22y上的部分为S5. .有y2zdxdy xzdydz x2ydzdxS1y2zdxdy xzdydz x2ydzdxS3y2zdxdyS2xzdydz x2ydzdxy2zdxdy xzdydz x2ydzdxS4Dxz2X_z_1 x2x21 x2

7、dxdz2 2y zdxdy xzdydz x ydzdxS52cy 2xx2y 2y dxdyDxyDxy原式3 3、解:2x43x2y2dxdy5sin42 cos431616 8(1)Zz3z、31x2,y3,zcosx1z22zxycos -I221zzxy1(2)二2x,2y,x y2dosin42 cos43sin2cos2drc 23 cos、3y,(12cos)d162zx2zy5山6z3,cos5yt221zzxy2325c322 3Rcos dSPQR dSS555原式= =P cosQ cosScos12zxzy2zy14x22y4y212z2z1 4x24y2xy111

8、2z2z.14x24y2xyz2xxcoscos原式= =PcosQcosRcosdSS2xP 2yQ RdS4x24y2 3-33-3 格林公式及其应用1 1.(1(1) )2P x y,Q xeyPy1x1,故原式(卫xP)dxdyy2abP (x1) y,Qx(y2)y1,(3)故原式P)dxdyy1dy0y(1y)dxP (xy)2,Q(x2y2),2(xy), x2x故原式Q(上DxP)dxdyyy2dy111 ydy (4x 2y)dx0P ex(1cosy),Qex(ysin y),PyX Q e siny,-x13ex(ysin y)(0,0)而在以(，0)为起点(0,0)为终

9、点的直线上ex(1(,0)cosy)dx ex( ysin y)dy 0221212y C，故u(x, y)x22xy y C3 2 2sin x所以原式ex(y sin y) exsin ydxdyDexdx ydy0 02o.2sin x exdxcos2x ex2sin2x ex201(1 e )52 2.Px44xy3, Q 6x1 2y5y4，p12:2Qxy ,26y (1)xyx因为积分与路径无关，所以 -pQ, ,得3yx(1,2)124795y4)dy(x44xy3)dx2 2(6x y5y4)dyx4dx(6y2 3(0,0)0053.(1)3.(1)px 2y,Q2x y

10、p2 -Q， 是二二元函数u(x,y)(u(x,y)(的全微分.yx舟u由一p x 2y，得u(x:,y)(x2y )dx12x2xy (y)x2由-U2xF ue(y)及Q 2x y得，(y) yy(y)p 4 si nxsi n3ycosx,Q3cos3ycos2x y12sin xcosxcos3y是二兀函数 u(x,y)(u(x,y)(的全微分. .由-up 2sin2xsin3y，得u(x, y) (2sin2xsin3y)dxsin3ycos2xx(y) C，故u(x, y) sin3ycos2x C二元函数 u(x,y)(u(x,y)(的全微分. .由-Up 2xcosy y2s

11、 inxx(y)3cos3ycos2x (y)及-UQy3cos3ycos2x得，(y) 022xcosy y sin x,Q2ycosx2 .px sin yy2xsin y 2ysin x，是yu(x, y)(2x cosyy2s in x)dx x2cosy)2cosx(y)由-uX2sin y 2 y cosx(y)及亠Q2 y cosxx2si ny得，(y)yy(y)C, 故u(x, y)x2cos y y2cosx Cpy2,Q1 _P12Q，是二元函数u u（x,yx,y）（）（的全微分. .xx yxx由-uP卑，得u(x, y)爲dx上(y)xxxx由-u1-(y)及uQ-

12、得，(y)0yxyx(y)C, 故u(x, y)yCx4 4.(1 1)P 3x26xy2,Q 6x2y 4y2P12xyQ，故为全微分方程。yx+ u由一xP3x26xy2,得 u(x, y)2 2(3x 6xy )dx322x 3x y(y)舟u由y6x2uy(y)及Q 6xy2y 4y2得(y)24y，故（y）433y通解为x3:2 2433x yy C3(2 2)Pey,Qxey2yPyey-Q、,故为全微分方程。x+ u由一xPey,得 u(x,y)eydxxey(y)舟u由yxey(y)及-Q xeyy2y得(y)2y，故(y)y2C通解为xeyy2C3(3)2 2P 1 e ,Q

13、 2 e1 1(1 1)原式= =3(Px(x2Qy2y )dxdydzzz2)dxdydz22a= =3dsin d4d002125= =-a5(2 2)PQR原式 = =()dxdydzxyz= =(x21)dxdydz由uP 12e，得u(,)(1 e2)de2()由u2 e2()及Q 2 e2得()0，故()C通解为(1e2)C(4 4)Py(x2y),Q2xPx4y,-Q2x, ,故不是全微分方程。故为全微分方程。yx 3-3-4 4 高斯公式和斯托克斯公式2e23= =bca(x21)dx0= = 】a3bcabc1 y2(y z xz)dx01(rsin z r cos z)rd

14、ro29(3)原式= =P(xQ)dxdydz y z= =2(yz xz)dxdydz3= =2 dz dyo o32= =2 dz d0ea4xdx1S2a八2= =2(e1) a2 22 2解:(1):(1)圆周事实上就是 xoyxoy 面上的圆x y9, ,取为圆域= =3= =2(4)原式= =(上x )dxdydzz= =3dxdydz= =2R3(5(5)原式= =P(xR)dxdydzz(Pdydz Qdzdx Rdxdy)S(4x8x4x)dxdydz4zxdxdyS2L2ydx 3xdy z dzdydz dzdxxy2y 3xdxdyz2zdxdy dxdy 9DXYdy

15、dzo取 为平面x y z 0被 L L 所围成的部分的上侧， 的面积为a ,的单位法向里为ncos , cos , cos1 1 10 x0 是单连通域。y在该区域具有一阶连续偏导数，另外因而结论正确。3kxy ryzxzxyxzxy i xyxxyzyxyzzxyzyzyzzxxsin yyxcosyxsi nrotAH x,yx2 .x sincoszysin2y2xy cosxzxz i2xcosyA A 为有势场x2x cosba2 2y cosx x cosyzxysin coszy sin cosz j2y z cos xzx2cosy k2 2y sinx，2ycosx x2sixyb2sin x dxyb2ycosxx2sin y dyxyzycos(xy) xcos(