一节以函数历史发展为主线的函数概念探究课

1、77中学数学教学参考2009年第1-2期（中匍）#函B®®WS课例:北京市东城区教师研修中心雷晓莉北京市第二中学分校 马 岳点评：人民教育出版社章建跃#78这节课是2008年4月12日课题“数学史融入中 学数学课堂教学”的一节研究课.该课题对数学史融 入中学数学教学案例的研究主要从六个方面进行：一是在概念教学中融入数学史，加深对概念的了 解和认识，同时激发学生学习的兴趣；二是在定理教学中融入数学史，可知定理产生的 过程，并且可以深化对定理的理解；三是在公式教学中融入数学史，可知公式产生的 过程和作用；四是在起始课教学中融入数学史，可以了解课程 内容在数学发展史中所处的地位和

2、作用，促使学生对 学期或本单元学习内容必要性的认识；五是在数学名题教学中融入数学史，体会、感悟 数学思想和方法；六是在方法教学中融入数学史，欣赏、学习数学 家的智能、思想和奋斗梢神.这是一节函数概念探究课，那为什么要以它为研 究主题呢？因为在多次的教材培训、听课、教学研讨 活动和调研中，我们得到的突出体会是，函数的概念 是中学最难学的慨念，也是最难教的概念之一，而一 部分数学教师在课堂上没有抓住函数概念的核心进 行教学，甚至也有一部分教师至对函数概念的认识达 不到一定的层次和深度.而函数概念的教学又是课堂 教学的焦点，因此研究函数历史，可以加深教师对函 数概念产生的来龙去脉的理解、对函数概念内

3、涵与外 延的理解，只有这样，教师在教学中才能抓住函数概 念的核心，设计出有思维深度的课堂教学.本节课是学生第一次接触变量与函数的概念.虽 然学生在生活和以往的学习经历中已经积累了一些 关于变量与函数的直观体验和关于变化的认识，但是 作为数学概念来学习，事实上要在这些经验的基础上 进行加工和拍象.因此，作为初中生学习函数的起始 课，本节课的地位十分重要.这节课的重点是让学生 理解函数的概念，从而会判断两个变竜是否构成函 数.为此，设计了让学生探究函数概念的教学过程.学生对于函数概念的探究，是围绕肴一条明线和 一条暗线展开的.明线为两个变量，暗线为函数概念 在历史上的几次演变过程.学生在探究函数概

4、念的过 程中，经历了三次函数概念的扩张，并最终归纳、总 结、抽象、概括岀现行初中课本中的函数概念.我们认 为，这样让学生沿着数学家曾经探索函数概念走过的 路经历一次次地提岀概念、一次次地被推翻概念的 探究过程，能够使学生对概念的发展、内涵与外延认 识得更加深刻.同时，能够极大地培养学生的批判精 神和探索精神，增强学生经得起打击、受得起挫折的 顽强品质.下面是这节课的教学设计.课题：变議与函数-教材：义务教育课程标准实验教科书数学八年 级（上）教学目标：1. 知识与技能（1）学生能从具体的事件中提炼出变量和常垠，能给出变童和常量的定义.“（2）学生能通过几个具体实例，逐步抽象、概括出 函数的定义

5、.（3）学牛对于含有两个变暈的一个具体的问题， 能够判断该问题是否为函数.2. 过程与方法学生在探索中经历了一次次的思考、归纳、总结、 抽象、概括函数概念的过程.在这个过程中，学生初步78中学数学裁学参考28存第12期（中旬）""TTm*"*"*"*"1"* 课 例点评*,*体会从特殊到一般、从具休到抽象的研究问题的 方法.3. 情感态度与价值观在函数定义的探究中，学生可以感受或体会到函 数定义来之不易，使他们的批判思维得到培养，顽强 品质得到锻炼.教学重点：探究函数的定义；教学难点：理解函数的定义；教学方式：教师启发引导，

6、学生自主探究； 教学手段:多媒体投影、计算机辅助教学.教学过程：1. 创设情境，引出课題例1刘翔2006年勇夺亚运会男子110米跨栏金 牌.赛后，根据亚运会田径部门公布，刘翔在这场比赛中 的平均速度达到& 3米/秒.下面我们来了解在本场比赛 中他在每一时刻所跑过的路程的大致情况（如表V.表1时间”秒）12345678跑过路程 $（米）8. 3 16. 6 24. 9 33. 2 41. 5 49. 8 58. 1 66. 4 问题：（1）喀件中有几个数值发生改变的童？有 几个数值不变的量？（2）变量与常量如何定义？（3）变量与常昴在生活中的例子有哪些？（4）写出卜列两式的表达式，并指出

7、其中的变暈 与常量： 设圆的面积为S,半径为r,则S怎样用r来表 示呢？ 已知圆柱体的底面积为9平方米，高为爪则 体积V怎样用底面积与力表示呢？设计意图：通过探究常量和变量，为研究函数的 概念做好铺垫.2. 採索研究，形成概念（1）让学生写出例】中s与t的表达式提问：结合上述几个例子，从两个变量联系的角 度，你能试着给出函数的定义吗？设计意图：通过前面几个例子的思考与分析，让 学生从表达式的角度理解两个变竜的关系，完成对函 数概念内涵的第一次抽象认识.例2表二是姚明职业生涯技术统计表.表2赛季（小02-03030404-0505-0606-07场均得分（p）13.517.51&322.

8、3 25.0问题：（1）表格中有变量吗？是什么？（2）赛季与场均得分这两个变量有关系吗？（3）随着赛季数值的变化，场均得分怎么样变化？（4）你能写出赛季n与场均得分p之间的表达 式吗？例3某地一天内的气温变化情况（如图1）.问题：（1）图象中有变量吗？是什么？这两个变 量有关系吗？（2）你能写出温度T与时间/的表达式吗？（3）上面总结的函数概念是否完善，不完善该如 何补充7设计意图:通过例2的姚明职业生涯技术统计 表格和例3的天气变化图象，让学生从对函数解析 式的理解过渡到函数概念是两个变債间互相依赖 关系的认识，完成对函数概念内涵的第二次抽象 认识.例4北京的出租车是这样计费的：在不超过三

9、公里的情况下，收取基价10元；超过三公里后，超过 部分每公里按2元计费.问题：（1）在里程不超过三公里的情况下，里程改 变，钱数改变吗？（2）这个例子与我们给出的函数的概念矛盾吗？（3）那应如何进一步完善我们刚才给出的函数定 义呢？设计意图：通过出租车计费的例子，让学生从. 函数概念的变量的依赖关系过渡到两个变量的对 应关系，完成对函数概念内涵的第三次抽象认识.3. 归纳抽象，形成定义（1）回放前面四个例子，让学生讨论这四个例子 的关键点.如例1, 在这个变化过程中，当时，s = ?当1 = 7 时 »5=?每给定t的一个值时,S的值会怎样？79课例点评-中学数学教学枣考2009年務

10、12期中旬)(2) 归纳、抽象出函数的定义.在一个变化过程中，如果有两个变量x与并且对 于工的每一个确定的值*都有唯确定的值与其对应, 那么我们就说工是自变雄，是自变量工的函数.(3) 强调函数概念中的两个关键词让学生再次对照前面的四个例子提炼出函数定 义中“确定”与“唯一确定”这两个关键词.设计意图：通过让学生自己归纳总结，让学生经 历批判和相互推翻的过程，最终由学生将关键点串联 起来，形成与现行初中函数定义很接近的定义，完成 对函数概念内涵的第四次完整认识.4 .运用史料，促进理解例5寄信，一个信封上有两个地址“北京二中 分校马岳老师收”以及“北京四中武红梅老师收”，此 时邮递员还能把信发

11、出去吗？设计意图：(1)通过寄信这个实际问题，引出“一 对一”与“多对一”的概念，从而让学生进一步理解函 数的定义.(2) 讲述“函”字的古意，即为“信封”的意思.(3) 讲述李善兰借用“函"字古意翻译“function” 为“函数”的故事.设计意图：通过査看“函”字的古意以及聆听李善 兰创用“函数”一词的故事，使学生在体验中获得对 “函数”这一名词由来的认识.5. 举例分析，浜化定义(1) 数字游戏如图2,左边的数都减去2后得到了右边的数.图2图3如图3,左边的数都平方后得到右边的数. 问题：如果用工代表左边的数字，用，代表右边 的数字，那么变童)是否是变墩才的函数？为什么？设计意

12、图：通过这两个简单的数字问题，进一步 让学生感受“一对一”与“多对一”.(2) 半圆问题判断图4半圆上点的坐标(工°)中的变量是否构 成函数关系.设计意图：通过图象给出一正一反两个例子，让 学生落实“只有'一对一'和'多对一'才能称为函数, '一对多'不是函数”.6. 归纳反倾，布暨作业(1) 概念总结 知识角度:让学生谈谈本节课学到了哪些知识. 方法角度:让学生总结判断是否为函数的方法. 情感角度：让学生谈谈探究函数定义时的 感受.(2) 布置作业课本P. 18习题11. 1第1、2、6、7题.设计意图：进行课堂教学的反馈，组织和指导

13、学 生从知识、方法和情感角度总结本节课的收获，为后 续学习打好基础.点评(1)课題选择切中要害.今天这节课的题目选择很切中要害.函数概念应 该是初中所有概念中最难讲的一个.我在我的很多书 中也反复讲到了，其实数学教学最终要的就是概念教 学，如果概念教学到住，然后&我们进行解題教学中 不斷引导学生、要求学生，久而久之，学生在数学学习 中就能逐渐形成理性思维和逻辑思维.(2) 教学环节设计流畅.今天函数概念这节课，从大的环节上可以分为两 个：第一个是定义的探索过程，即引导学生通过自己 的独立思考来获得对概念本质的理解；第二个环节， 是用这个概念做一些判斯.从挞个课堂教学的环节安 排和节秦上

14、来看，这节课是很流畅的.(3) 数学史的合理融入.这节课的数学史设计理念是很合理的，如明线 和暗线.确实，如果把这节课设计成一种明线的方 式，会很难听下去，因为它不是一种对数学史的欣 書，而是在概念的教学中体现数学史，把数学史仗 入进去.这里面有两点：是函数概念研究过程的 展示.函数機,念经过两百多年，最后才形成一个很 严格的概念；是对函数概念从国外引入到我国 以后，把“function”翻译成“函数”，这个到底是一个 什么样的过程？ “函数”的翻译和寄信有关这我 还是第一次听说，如果确实是这样的话，那么这样课例点评中学数学教学参考28毎第】-2期(中旬I解释是一个很好的方式.我感觉，“函数”

15、“几何”这 两个诃的翻译是非常好的，就好比生活中的“宝 马”“可口可乐”的翻译.所以这节课中数学史的融 入是比较自然的.(4) 学生主体地位突出.在这节课中，学生主体性的发挥给我的印象很 深.说实在的，在听课的过程当中，其实我是有一个疑 惑的，就是函数的定义是不是值得探究，因为函数的 定义足很难的、很抽象的，其探究的过程到底该是什 么过程？但听完课后，我觉得自己的疑惑基本上解决 了.概念的探究其实是一堆与概念相关的爭例的共同 本质、特征的归纳.在这个过程中，发辉了学生的主动 性，让学生来说，问題当中包含有什么变化量问题之 间有什么关系而且是从数学史得到了启发，设计了 教学我觉得这种做法是值得提

16、侶的.(5) 课堂教学注重细节.在教学的过程当中，尽管教师仅提到了 一次， 但我还是要讲讲.当讲“数字游戏”例子的时候，在 学生思考之前，教师应该给学生一个提醒：大家要 用刚学过的函数定义来思考这个问题，来解释这 个问題.这件亨情很重要.我希望我们的数学教学 能始终如一地贯彻这件事.这真的是我们数学教 学的一种要诀.其实，回到定义去，是给了学生一 种思考方法.为什么很多学生遇到一个问题没有 思路？或者想出来了，也是偶然，不是必然.什么 时候会是必然的？这值得我们去思考.怎样去教， 才能使我们的学生通过三年的学习能够进行有逻 (上接第69页)题过程，旨在培养学生严谨的治学态度)(8)最后出示下列

17、问题请学生独立完成.题目1：如图3,小华用一个半径为36 cm,面积为324k cm2的扇形纸板，制作一个圆锥形的玩具帽则 帽子的底面半径r=cm.题目 2：如图 4,在 RtAABC 中，ZC=90°,AC = 5,BC=12.(1)分别以线段AC.BC为轴，把AABC旋转1 辑的思考、有序的思考？回到定义去，这是最重要 的方向.(6) 教学的建议与商械.第一个问题，一堂新课所设计的例子，应该有怎 样的讲究？我.的想法是，例子应是本质突出的例子 不要旁支太多.比如书本给了五个例子，第一个是汽 车的例子.如果用刘翔的例子，人们恐怕不会相信刘 翔是匀速跑的；第二个是.电影票的例子；第三

18、个是弹 黃的例子；第四个是圆面积和半径的关系的例于；第 五个是矩形的周长固定时，面积和边长的关系.书本 上为什么要举这些例子呢？这些例子都是让学生感 受到它们有一个确定的对应关系.这节课最重要的 就是让学生感受到这种对应关系.初次接触这一概 念时，应列举大量肯定的例子.这是有心理学依据 的.从心理学上讲，学生在接触某一概念时，一开始 给他礙烈的正面的例子，有利于学生对概念本质的 认识.当然，仅此还是不够的，还需要有变式.但一开 始，一定要举大量的正例.所以，举什么例子，是需要 讲究的.第二个问题，追求齐全，效果会怎么样？今天这 节课，马老师给了一些例子，包含了图象法、列表法、 解析式等表示方法，还用到了一个“半圆的问題”.学 生能说出“画一条和，轴平行的直线”，这是非常好的 学生.这其实是很多高中生都回答不上来的，丙为这 种对应关系是用坐标给出的，解释起来不是那么容易 的.另夕卜，那个反例是否有必要出现？这个问題也是 值得思考的