大一微积分练习题及答案

1、微积分（1）练习题一.单项选择题1 .设/'(%)存在，则下列等式成立的有()A. lim/Uo-)-/(Vo) = /U) B 11mAr°a-。 AvC. 11m-2/?)/(x°)() D.而/&+2/?)/(%)=1()x hJ ' 07 x h22 .下列极限不存在的有()A 1c G - 2xA. lini xsuiB. uni d 广田 x + 1r 1r (3%2 -1?C. hm exD. lun -1。 I 2x + X3 .设/(x)的一个原函数是e-",则/(x)=()A. 一2小" B. e3 C. 4G

2、aD. -2xelx2必,0 < x <14 .函数/（x） = 1, x = l在0,2）上的间断点工=1为（）间断点。1 + X, X > 1 *A,跳跃间断点：B.无穷间断点：C.可去间断点：D.振荡间断点5 .设函数/（X）在L上有定义，在（。力）内可导，则下列结论成立的有（）A.当/（。）/0）<0时，至少存在一点看£（”»,使筋）=0；B.对任何彳 e （a,b）,有 liin/（.v）-/（） = 0 ：C.当/（4）=/0）时，至少存在一点e（a,b）,使/=0；D.至少存在一点）e （a,b）,使/伍）-/（4）=/仔X-。）：6.

3、已知/（x）的导数在工=。处连续，若limU9 = 1,则下列结论成立的有（ f x-aA. x = a是/(x)的极小值点；B. x = a是/(x)的极大值点；C. (aj(a)是曲线y = /(x)的拐点:D.工=。不是/(X)的极值点，(",")也不是曲线y = /(x)的拐点； 二.填空：(1A、1 .设y=/ arcs in , /可微，则 y'(x) =Ix)2 .若y = 3-2x，+x-3 ,则)461 =3 .过原点(0)作曲线)，= 、的切线，则切线方程为4 .曲线)，二曲E-2的水平渐近线方程为 厂铅垂渐近线方程为5 . 设/”(Inx) =

4、 1 + x , 则 /M) =/(a)=(3)lim ln(1+ X-1 2)i xsin 3x(4)y = ln(l-2A)2 求山，(5) + /-5x = 0 求半 ax五.试确定“，b,使函数/(x) = 4/?(l + sinx) + a + 2,ax e - 1,t > 0二。在、=°处连续且可导。三. 凡计算题：六.试证明不等式：当x>l时，e-x<ex <i(xex+e 2a.设 F(,v)=旦U_, (x > a)，其中 f(x)在,2)上连续，/"(x)在(,一)内存 x-a在且大于零，求证/在(a,y)内单调递增。微积分

5、练习题参考答案九.单项选择题5. ( B ) 6. ( B1. ( B ) 2. ( C ) 3. ( A ) 4. ( C 十.填空：(每小题3分，共15分)1.xyjx2 -11 arcsmx)2.3.y = 2x + 4.5.f(x) = x + ex +ct -i三，计算题：(1)lim -1尸 + 2x - 3(2)liinA->X'x-2x+3】. x - 1 lim -i 厂 +2x-3liinX=lim-V>1"22x2x + 2A->®x2.1+6(3)linJn(1+v2)J。xsin 3x(4) y = ln(l-2x)求dy

6、r ln(l + x2) lund xsin3xr x21-0 x 3x 3dy = 2ln(l - 2x)1- -! (一 2)/x l-2x_ 4ln(l-2x)f/vl-2x(5) exy + y3-5x = 0求凯司ax*'()，+ xyf)+ 3y2yf -5 = 0 ,5-yexyn。=3V+M又X = 0=> y = 1，_ 5W)m - 3)，+x* 昌一 (十一.试确定a, ，使函数/(x)=F(js?J)+ " + 2,在i=0处连续且 el 1, x < 0可导。(8分)解：/(0 + 0)= lim /?(1 + sin x)+a + 2

7、= a + b + 2/(0-0)= nm|av-l| = O , 函数 f(x)在 x = 0 处连续 /(o + o)=/(o-o) *T)-a + + 2 = 0,( 1)月(O) = lim M + s=)2-/+ 2 = b fXff(y r e"'-1-a + +2 eax -1/ (0)= lim = Inn= a.*-()-xx-M) x函数/(x)在x = 0处可导力(o) = £(o),板a=b(2)由(1) (2)知4=。= -1十二.试证明不等式：当x>l时，e-x<ex <-(xex +e)(8分)2'7证：(法一

8、)设/(。= " rel,x则由拉格朗日中值定理有e(x-)<ex - e ="(工-1) v 1)§ e (l,x)整理得：e - x < ex < (xex +e)法二：设/(x) = e'-exfx)=ex - e>0 (x > 1)故/(x) = e'-ex在x> 1 时，为增函数，f(x) = ex ex > /(1) = 0,即 e ” > ex设 / (x) = e'(xex 4- e)2fx) = ex- v + xev )=-ex (1 - x) < 0(x>l) 故 f(x)=ex-(xex+e)在222X>1时，为减函数，/(x) = _l(+x)< /(l) = 0,即eX <_L(xeX+e) 22综上，e - x < ex < -(xex +e)2V 7十三. 设三(x)= A')其中"%)在卜,X>)上连续，/"(x)在(a,23)内x-a存在且大于零，求证尸(%)在伍一)内单调递增。(5分)证：尸，3=