2019-2020学年高中数学人教A版选修4-5训练：第三讲柯西不等式与排序不等式三含答案

1、一、基础达标1 .若A=x2+x2+X2,B=XiX2+X2X3+XniXn+XnXi,其中Xi,X2,，Xn都是正数，则A与B的大小关系为()A.A>BB.A<BC.A>BD.A&B解析依序列Xn的各项都是正数，不妨设0<X1&X20&Xn,则X2,X3,，Xn,X1为序列Xn的一个排列.依排序不等式，得X1X1+X2X2+XnXn>XlX2+X2X3+XnXi,即X1+x2+Xn>X1X2+X2X3+XnX1.答案C2 .有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位：

2、m2)分别为x,y,z,且x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()A.aXbyczB.azbycXC.aybzcXD.aybXcz解析法一用特值法进行验证.令x=1,y=2,z=3,a=1,b=2,c=3.A项：ax+by+cz=1+4+9=14;B项：az+by+cx=3+4+3=10;C项：ay+bz+cx=2+6+3=11;D项：ay+bx+cz=2+2+9=13.故选B.法二由顺序和>乱序和>反序和.可得azbycX最小.答案B3 .已知a,b,c>0,则

3、a2(a2bc)+b2(b2ac)+c2(c2ab)的正负情况是()A.大于零B.大于零或等于零C.小于零D.小于零或等于零解析设a>bc>0,则a31b3c3,根据排序不等式，得a3a+b3b+c3c>a3b+b3c+c3a.又知ab>ac>bc,a2>b2>c2,所以a3b+b3c+c3a>a2bc+b2ca+c2ab.所以a4+b4+c4>a2bc+b2ca+c2ab,即a2(a2bc)+b2(b2ac)+c2(c2ab)>0.答案B4.设 ai, a2, a3为正数，E =aia2a2a3 a3ai+a3aia2,F = ai

4、 + a2+a3,则 E, F 的大小关系是（）A.E<FB.E>FC.E=FD.E<F解析不妨设ai >a2>a3>0,i i i于是I, a2a3&a3ai&aia2. aia2a3由排序不等式，得aia2 a3aia2a31工 a2a3+工 a3ai + aia2=a3 + ai + a2.a3a2aia2a3 aiaia2a2a3a3ai即方+K+T>aim+m及EF.答案B5.已知a,b,x,yCR+,且'>1，x>y,则与二的大小关系是abx+ay+b,a bx<y，解析.a>i，x>y

5、,由排序不等式，得a>y>0,上一x+ay+bx+a y+b6.在RtABC中，C为直角,一.，九A,B所对的边分别为a,b,则aA+bB与（a+b）的大小关系为.解析 不妨设a>b>0,则A>B>0.aA+bB>aB+bA由排序不等式遣2(aA+ bB户aA+bB = aA+ bBJTt a(A+ B) + b(A+ B) = 2(a+ b).r ,Tt故 aA+ bB>4(a+b).答案 aA+bB>a+b)7.设a, b, c为正数.求证:a 1ble b+cc+aa+b b+c c+a a+b b+c c+a a+b证明 由对称性，

6、不妨设a>b>c>0.于是 a+b>a+c>b+c,>b2>c2,111>>b+c c+a a+b由排序原理，知2.2ab一+ 一b+c c+a a+b b+c c+a a+bb+cc+aa+bb+cc+aa+b将上面两个同向不等式相加，得2，上+正+上）>b±£2c2+a2a2+b22©+cc+aa+b/b+c+c+a+a+b二、能力提升8.设a,b,c都是正数，则式子M=a5+b5+c5a3bcb3acc3ab与0的大小关系是（）A.M>0B.M<0c的大小有关C.M与0的大小关系与a,b

7、,D.不能确定解析不妨设a>b>c>0,则a3>b3>c3,且a4>b4>c4,则a5+b5+c5=aa4+bb4+cc4>ac4+ba4+cb4.a3>b3>C3,且ab>ac>bc,a4b+b4c+C4a=a3ab+b3bc+c3ca1a3bc+b3ac+c3ab.二a5+b5+c5>a3bc+b3ac+c3ab.M>0.答案Aa+ b+ c9.锐角三角形ABC中，设P =，2匚，Q = acos C+bcos B + ccos A,则 P, Q的大小关系为（）B.P = QA.P>QC.P<Q

8、D.不能确定解析不妨设A>B>C,则a>b>c,cos A< cos B<cosC,由排序不等式有Q=acosC+bcosB+ccosA>acosB+bcosC+ccosA=R(2sinAcosB+2sinBcosC+2sinCcosA),Q=acosC+bcosB+ccosA>bcosA+ccosB+acosC=R(2sinBcosA+2sinCcosB+2sinAcosC),上面两式相加，得Q=acosC+bcosB+ccosA>1八八八,R(2sinAcosB+2sinBcosA+2sinBcosC+2sinCcosB+2sinCco

9、sA+2sinAcosC)=Rsin(A+B)+sin(B+C)+sin(A+C)=R(sinC+sinA+sinB)=P=a+b+c2.答案C10.已知：a+b+c=1,a、b、c为正数.则;+的最小值为b+cc+aa+b解析-+=3+b+cc+aa+ba + b + cb+c c+ a a+b设a>b>c>0,b+cc+aa+b由排序不等式,b+cc+aa+bb+cc+ab+ab+cc+aa+bb+cc+aa+b+，得3+4+>3,b+cc+aa+b2故十b+c1 十 c+a1a+ b>3 + 22=92.当且仅当a=b=c时，等号成立.9答案211若某网吧的

10、3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45min,25min和30min,每台电脑耽误1min,网吧就会损失0.05元.在只能逐台维修的条件下，按怎么样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？解设t1,t2,t3为25,30,45的任一排列,由排序原理知3t1+2t2+t3>3X25+2X30+45=180(min),所以按照维修时间由小到大的顺序维修，可使经济损1 1a8+b8+c8+ b+c< a3b3c3失降到最小.一，一112.设a,b,c都是正实数，求证：a、rJ 11证明 <a>b> c>。，则FbM，一 111而许国露.由不等式的性质，知a5&g

11、t;b5>c5.由排序不等式，知0>b5c5a>b5c5a2b2j品3+c3a3+a3b3>C3a3+a3b3+b3c3=l3+a3+b3-又由不等式的性质，知a2>b2>c2,13>b13>：13.a2b2c2a2b2c2111由排序不等式，得c3+1+b3>a3+b3+c3=a+b+3由不等式的传递性，知a5b5c5a8+b8+c8a3b3c3故原不等式成立.三、探究与创新13.设 a,b, c为正数，求证:a2+b2b2+c2c2+a2<a3b3c32c+2a+2b0bc+ca+ab.证明不妨设0<a&b&c,则a3<b3<c3.0<b&ca&ab，由排序不等式，得1 3 1 3