等差数列性质

1、一.课程目标1 .理解等差数列的概念；2 .掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3 .能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问 题；4 .了解等差数列与一次函数的关系.二.知识梳理1 .定义如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.数学语言表达式：an+i an= d(nC N*, d为常数)，或anan1 = d( n>2, d为常数).2 .通项公式若等差数列an的首项是ai,公差是d,则其通项公式为 an = ai+ ( n- 1)d.3 .前n

2、项和公式等差数列的前n项和公式：& nai n(n 1)d"a1 an)其中nCN, ai为首项,22d为公差,an为第n项).3 .等差数列的常用性质已知数列an是等差数列，&是 an的前n项和.(1) 通项公式的推广：an am (n m)d(n, m N*)*(2) 右 m n=p+q(mi n, p, q e N),则有 am an ap aq。特别的，当 m n 2p时,am an 2ap(3) 等差数列an的单调性：当d>0时，an是递增数列；当dv 0时，an是递减数列； 当d=0时，an是常数列.(4) 若an是等差数列，公差为 d,则ak, a

3、k+m, ak+2吗(k, m N*)是公差为md的等差 数列.(5) 若an, bn是等差数列，则pan qbn仍是等差数列.4 .与等差数列各项和相关的性质S(1)若an是等差数列，则也是等差数列，其首项与an的首项相同，公差为an的 n1公差的1。2(2)数列Sm,S2m Sm,S3m S2m也是等差数列.(3)关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质。a.若项数为2n,则G禺SW nd,且 -an-。% amStfnb.右项数为 2n 1,则 S禺 n(n1)an,Snan,S禺Swan,。% n 1(4)若两个等差数列20,4的前门项和分别为5口,，则加 S2bnT2n 15.等差数列的

4、前n项和公式与函数的关系：d 2d2(1) S n2 (a1 )n ,数列an是等差数列？ S=An + Bn(A, B为常数).22(2)在等差数列an中，a1>0, d<0,则Sn存在最大值；若 ay。，d>0,则&存在最小 值.三考点梳理1. 等差数列的概念及运算例1. （2016 全国I卷）已知等差数列an前9项的和为27, ai0=8,贝U 2©=（）例2.设等差数列an的前n项和为S, S = 6, $=12,则&=.练习1.（2015 全国I卷）已知an是公差为1的等差数列，S为an的前n项和.若&=40, 则 a10 等于（）

5、2. 等差数列的性质例1. （2015 全国n卷）设&是等差数列an的前n项和，若a1+a3+a5=3,则与=（）例2.设等差数列an的前n项和为S,若4=9, &=36,则a7+a8 + a9等于（） 例3.若一个等差数列前 3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列的项数为（）例 4.（2015 广东卷）在等差数列an中，若 a?+a4+ as+a6+a7=25,则 a?+a8=.例5. （2016 武汉调研）已知数列an是等差数列，ai+a7= 8, a?=2,则数列an的公差d等于（）A. 1B.-2C. 3D. 4 S2n-3例6.设等差数

6、列an, bn的前n项和分别为Sn, Tn,若对任意自然数 n都有T=4n”，则a9a3+的值为 b5 b7 b8 b4.3. 等差数列与函数例1.等差数列an的前n项和为已知a1 = 13, 4= Si ,当&最大时，n的值是（）a69例2.设等差数列an的前n项和为S, a1>0且一=，则当S取最大值时，n的值为（）a5 11例3.已知等差数列an满足ai+a2+a3+ aw=0,则有（）+ aioi >0+ ai00V 0+ a99= 0=51例4.已知正项等差数列an的前n项和为若S2=24,则a6 a7的最大值为（）例5.设 Sn是公差为d （ d 0）的无穷等差数列an的前n项和，则下列命题错误的是 （）A.若d<0,则数列 Sn有最大项B.若数列 Sn有最大项，则d<0C.若数列 Sn为递增数列，则对任意n N* ,均有Sn>0D.若对任意n N* ,均有Sn>0,则数列Sn为递增数列例6.设等差数列an满足a2=7, a4=3, S是数列an的前n项和，则使得 S>0成立的最大 的自然数n 是 （）A 9 B i0 C ii D i2方法总结：求等差数列前n 项和的最值，常用的