导数与函数的单调性练习题

1、导数练习(三)导数与函数的单调性基础巩固题：1.函数f(x尸ax一1在区间(-2, +8)上为增函数，那么实数a的取值范围为()1<a< 一22.已知函数x 2<-1 或 a>1>_>-2.22f (x) =x2+2x+aln x,若函数f (x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是()A. a>0 B . a<4C . a>0 或 aw 4 D . a>0或 a<43 .函数f(x)=x + x的单调区间为.4 函数y x2 x3的单调增区间为,单调减区间为5 .确定下列函数的单调区间：(1) y=x39x2+24x (2

2、) y=3x x36 .函数y= ln( x2x 2)的单调递减区间为 .1 327 .已知y= -x +bx + (b+2)x+3在R上不是单调增函数，则 b的范围为 .38 .已知 xCR,求证：ex>x+1.9 .已知函数的图象过点P (0, 2),且在点M( 1, f (1)处的切线方程为.(I)求函数y=f(x)的解析式；(n)求函数 y=f(x)的单调区间.11 .已知函数f(x)=x 3-x2+bx+c.若f(x)在(-00, +oo)上是增函数，求 b的取值范围12 .已知函数f(x)=x(x-1)(x-a) 在(2, +8)上是增函数，试确定实数a的取值范围22 313

3、 .已知函数f(x) 4x ax -x (x R)在区间 1,1上是增函数，求实数 a的取值3范围.14 .已知函数f (x) x3 bx2 ax d的图象过点P (0, 2),且在点M(1, f( 1)处 的切线方程6x y 7 0, (1)求函数y f (x)的解析式；(2)求函数y f(x)的单调 区间。15 .已知函数f(x) = 2x_ b2,求导函数f ' (x),并确定f(x)的单调区间. (x 1)强化提高题：16 .设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f' (x), g' (x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且满 足 f' ( x)g(x

4、) + f (x) g' ( x)<0 ,贝U当 a<x<b 时，有()A .f(x)g(b)>f (b)g(x)B . f (x)g(a)>f (a)g(x)C .f (x)g(x)>f (b)g( b)D. f(x)g(x)>f(b)g(a)17 .若函数y = x3-ax2 + 4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是 .18 .已知函数f (x) =axln x,若f (x) > 1在区间(1 , + 00)内恒成立，实数a的取值范围为. .19 .函数y=x%-x的单调递增区间是 .20 若f (x) ax3 bx2 cx

5、 d(a 0)在 R增 函数，则a,b,c的关系 式为是21 .若函数y=4x3+bx有三个单调区间，则 b的取值范围是 . 322 .定义在 R上的奇函数f(x)在-a,-b (a>b>0)上是减函数且 f(-b)>0,判断F(x) = f(x)2在b,a 上的单调性并证明你的结论 3223.设函数f (x) = x 3ax + 3bx的图象与直线 12x+y 1 = 0相切于点(1 , 11).(1)求a、b的值；(2)讨论函数f (x)的单调性.131224.右函数f(x) -x -ax (a 1)x 1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,) 32上为增函数，试求实

6、数a的取值范围.25 .设函数f(x)=x+ a(a>0).(1)求函数在(0, +8)上的单调区间，并证明之；(2)若函数xf(x)在a-2,+ 8上递增，求a的取值范围.26 .已知函数丫 = 2*与丫= P在(0 , + 00)上都是减函数，试确定函数y= ax3+bx2+5的单x调区间.xe a27设a 0, f(x) 一 二是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明f(x)在(0, + ) a e上是增函数。128 .求证：方程 x2sin x= 0只有一个根x= 0.29 已知 f(x)=x2+c,且 f f(x) =f(x2+1)设g(x)=f f (x),求g( x)的解

7、析式;(2)设6 (x)=g(x)入f (x),试问：是否存在实数入，使巾(x)在(8 , 1)内为减函数,且在( 1, 0)内是增函数.课外延伸题：30 .方程x3- 3x+c=0在0, 1上至多有 个实数根31 .若函数f(x) =x3-3x+ a有三个不同的零点，则实数 a的取值范围是 32 .(2010湖北黄冈中学模拟，19)已知定义域为0, 1的函数f(x)同时满足：对于任意 的 xC 0, 1,总有 f(x) >0; f(1)=1;若 XI >0,x 2>0,x 1+X2W 1,则有 f(x 1+X2)> f(x i)+f(x 2).(1)求 f(0)的值；

8、(2)求 f(x)的最大值.33 .已知函数f(x)=( '-1) 2+( E-1) 2的定义域为m,n)且1Wm<nc 2.(1)讨论函数f(x)的m x单调性；(2)证明：对任意x1、x2 m,n,不等式|f(x 1)-f(x 2)|<1恒成立.高考链接题：34 . (2009 广东文，8)函数f(x) = (x 3)ex的单调递增区间是()A.(巴 2)B. (0,3) C . (1,4)D. (2 , +0o)35 . (2010 新课标全国文)设函数f(x) =x(ex-1) - ax2._1. (1)右a=2,求f(x)的单倜区间；(2)若当x>0时f(x

9、)>0,求a的取值范围.xe36 . (2009江西)设函数 f (x) 一x(1) 求函数f(x)的单调区间；(2)若k 0,求不等式f (x) k(1 x)f (x) 0的解集;'导数与函数的单调性 基础巩固题：a的取值范围为(1 .函数f(x尸ax在区间(-2, +8)上为增函数，那么实数 x 2<a<<-1 a>>>-22221 2a1答案：2.已知函数C 解析：=£仪)=2+ 在(-2,+ 8)递增，i-2a<0,即 a>-.x 22一2f (x) = x + 2x+aln x,右函数f (x)在(0,1)上单倜

10、，则头数a的取值氾围是(A. a>0 B . a<4C . a>0 或 aw 4 D . a>0或 a<4上单调， f ' ( x) >0 或 f ' (x) wo一a答案:C解析：£ ' (x) = 2x + 2+ , f(x)在(0,1) x在(0,1)上恒成立，即2x2+2x+a>0或2x2+ 2x+awo在(0,1)上恒成立， 所以a>- (2x2 + 2x)或 aw - (2 x2 + 2x)在(0,1)上恒成立.记 g(x) = (2 x2+2x),0< x<1,可知一4<g(x)&

11、lt;0 , .a>0 或 aw 4,故选 C.x29",一L,令 f (x)<0,解得3<x<0 x3 .函数f(x) = x + x的单调区间为答案:(-3,0) , (0,3) 解析：f' (x)=12 = x或0Vx<3,故单调减区间为(3,0)和(0,3)23 4 函数y x x的单调增区间为,单调减区间为20,或 x 一3-22.2答案：(0,-) ; (,0),(一,)解析： y 3x 2x 0,x335 .确定下列函数的单调区间:(1) y=x3 9x2+24x (2) y=3x x3(1)解：y' =(x3 9x2+24

12、x) ' =3x2- 18x+24=3(x2)( x 4)令 3( x- 2)( x-4) >0,解得 x>4 或 x<2.y=x3 9x2+24x 的单调增区间是(4, +8)和(oo, 2)令 3(x- 2)( x-4) < 0,解得 2vxv 4.1-y=x3-9x2+24x的单调减区间是(2 , 4) 322(2)解：y =(3x-x) =3-3x=-3(x 1)= 3(x+1)( x1) 令-3(x+1)( x-1) >0,解得1 <x< 1.y=3xx3的单调增区间是(一1, 1).令3(x+1)( x-1) <0,解得 x&

13、gt;1 或 xv 1.y=3xx3的单调减区间是(一00, 1)和(1 , +oo)6 .函数y= ln( x2x 2)的单调递减区间为 .答案(00, - 1) 解析 函数 y= ln( x2 x2)的定义域为(2 , +8) u ( 8,211),令 f(x) = x x 2, f (x) = 2x 1<0,得 x<2,，函数y=ln( X2 x2)的单调减区间为(8, 1)7 .已知y= 1x3+bx2+(b+2)x+3在R上不是单调增函数，则b的范围为 3答案b<1或b>2 解析22.若 y = x+2bx+b + 2>0 恒成立，则 A = 4b4(b

14、+ 2) w 0, . ,. 1 w bw 2,由题意 bv 1 或 b > 2.8 .已知 xCR,求证：ex>x+1.证明：设 f (x) =ex x1，贝Uf' (x) =ex- 1. .当 x=0 时，f' ( x) =0,f (x) =0.当 x>0 时，f' (x) > 0, f (x)在(0,+ 8)上是增函数.f (x) >f (0) =0.当x<0时，f ' ( x) V 0, f ( x)在(一8 ,0 )上是减函数，f (x) > f (0)=0.八 一，1，人，一一，山斗、E 一、9 .已知函数y

15、=x+ ,试讨论出此函数的单调区间x解：y，=(x+1)，=1 1 x 2=二 xx1 (x 1)(x 1)(x 1)(x 1)2x> 0._1 一_, (x 1)( x 1)解得 x>1或 xv 1.，y=x+一的单倜增区间；是(一 1)和0, +oo).令22xx<0,解得一1vxv0或0vxv1.，y=x+1的单调减区间是(一1, 0)和(0, 1)x10.已知函数的图象过点 P (0, 2),且在点M( 1, f (1)处的切线方程为.(I)求 函数y=f(x)的解析式；(n)求函数 y=f(x)的单调区间.解：(I)由f(x)的图象经过 P (0, 2),知d=2,

16、所以由在M(-1,f(-1)处的切线方程是，知 故所求的解析式是(II)解得故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数.点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题 的能力.11 .已知函数f(x)=x 3-x2+bx+c.(1)若f(x)在(-00, +oo)上是增函数，求 b的取值范围；解 (1) =3x2-x+b,因 f(x)在(-00, +oo)上是增函数，则>0.即 3x2-x+b>0,1. b>X -3x 2在(-°°, +oo)恒成立.设 g(x)=x-3x 2.当 x=时，g(x) max=, . . b&

17、gt;,12 .已知函数f(x)=x(x-1)(x-a) 在(2, +8)上是增函数，试确定实数a的取值范围.解 f(x)=x(x-1)(x-a)=x3-(a+1)x 2+ax1- =3x2-2(a+1)x+a要使函数 f(x)=x(x-1)(x-a) 在(2,+ oo)上是增函数，只需=3x2-2(a+1)x+a 在(2,+8)上满足即可./ =3x2-2(a+1)x+a的对称轴是x=,.a的取值应满足：或解得:a<. .a的取值范围是a<.22 313 .已知函数f(x) 4x ax x (x R)在区间 1,1上是增函数，求实数 a的取值3范围. i '2解：f (x

18、) 4 2ax 2x ,因为f x在区间 1,1上是增函数，所以 f (x) 0对x 1,1恒成立，即x2 ax 2 0对x 1,1恒成立，解之得： 1 a 1所以实数a的取值范围为1,1 .点拨：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调''性关系：即 若函数单倜递增，则 f (x) 0；若函数单调递减，则 f (x) 0”来求解，注 意此时公式中的等号不能省略，否则漏解.14 .已知函数f (x) x3 bx2 ax d的图象过点p (0,2),且在点M(1, f ( 1)处的切线方程6x y 7 0, (1)求函数y f (x)的解析式；(2)

19、求函数y f(x)的单调区间。解：(1)由 f(x)的图象经过 P (0, 2),知 d 2,所以 f(x) x3 bx2 cx 2,f (x) 3x2 2bx c 由在点M( 1, f( 1)处的切线方程为6x y 7 0.r 3 2b c 6f( 1) 1, f ( 1) 6 即解得 b c 31 b c 2 1故所求的解析式是 f (x) x3 3x2 3x 2f (x) 3x26x 3 令 3x26x3 0 ,解得 x11 V2,x21 22当 x1 J2 或 x1 J2时，f (x)0当 1 J2 x 1 时，f (x) 0故f(x) x3 3x2 2在(,1 J2)内是增函数，在(

20、1 <2,1 J2)内是减函数在(1 J2,)内是增函数点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题 的能力.一一、“，2xb, r 一、,，、，,、，、一、一15 .已知函数f(x) = 求导函数f(x),并确te f(x)的单倜区间.(x 1)2.后用l 上,/2(x1) -(2x- b) - 2(x-1)解析：fx) = -()-(-i一()-=(x1)-2x + 2b-22x-(b-1)3= -3(x-1)(x-1)令 f ' ( x) = 0,得 x = b 1 且 xw 1.当b 1<1,即b<2时，f ' (x

21、)的变化情况如下表：x(一 °0, b - 1)b- 1(b-1,1)(1 , +°°)f ' (x)一0十一当b 1>1,即b>2时，f ' (x)的变化情况如下表:x(8, 1)(1 , b-1)b- 1(b-1, +0°)f ' (x)一十0一所以，当bv2时，函数f(x)在(一00, b1)上单调递减，在(b1,1)上单调递增，在 (1 , + 00)上单调递减.当b>2时，函数f(x)在(8, 1)上单调递减，在(1 , b1)上单调递增，在(b1, + OO )上单调递减.,r 一一.2当b 1 =

22、1,即b=2时，f(x)=所以函数f (x)在(8, 1)上单倜递减，在(1 ,x I+ OO )上单调递减.强化提高题：16 .设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f' (x), g' (x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且满足 f' ( x)g(x) + f (x) g' ( x)<0 ,贝U当 a<x<b 时，有()A. f(x)g(b)>f(b)g(x) B . f(x)g(a)>f(a)g(x)C. f(x)g(x)>f(b)g(b) D , f(x)g(x)>f(b)g(a)答案：C解析：令 y=f (

23、x) - g(x),则 y' = f' ( x) g(x) + f (x) g' (x),由于 f' (x) g(x) + f (x)g' (x)<0 ,所以 y 在 R上单调递减,又 x<b,故 f(x)g(x)>f (b)g(b).17 .若函数y = x3-ax2 + 4在(0,2)内单调递减，则实数 a的取值范围是 .答案3, +8)解析y' =3x22ax,由题意知3x2 - 2ax<0在区间(0,2)内恒成 立，即a>3x在区间(0,2)上恒成立，a>3.18 .已知函数f (x) =axln x,

24、若f (x) > 1在区间(1 , + 00)内恒成立，实数a的取值范围为.答案a>1解析 由已知a>1 + 1n x在区间(1 , +8)内恒成立. x、-1+lnx ,ln x1 + ln x设 g(x) = -x，则 g (x)= 一?<0 (x>1),g(x) =x在区间(1 , 十00)内单调递减，g(x) < g(1) , g(1) =1, - 1+ ln x< 1 在区间(1 , +8)内恒成立x. .a>1.19 .函数y=x%-x的单调递增区间是 .答案：(0,2)解析：v' = (2x xje-x>0? 0vx&

25、lt;2,故选填(0,2).20 若f (x) ax3 bx2cx d(a 0)在R增 函数，则a,b,c的关系式为是22答案：a 0,且b 3ac 解析： f (x) 3ax 2bx c 0恒成立，则a 0厂22,a0,且 b3ac4b2 12ac 021 .若函数y=4x3+bx有三个单调区间，则 b的取值范围是 . 3答案：b>0 解析：v' =-4x2+b,若y'值有正、有负，则 b>0.22 .定义在 R上的奇函数f(x)在-a,-b (a>b>0)上是减函数且 f(-b)>0,判断F(x) = f(x)2在b,a 上的单调性并证明你的结

26、论解析：设bwx1<x2Wa,则-b > -x 1>-x 2> -a. f(x)在-a,-b 上是减函数，0<f(-b) & f(-x 1)<f(-x 2) & f(-a),/ f(x)是奇函数，.0<-f(x 1)<-f(x 2),贝U f(x2)<f(x1)<0,f(x1) 2< f(x2) 2,即 F(x1)<F(x2).F(x)在b,a 上为增函数. 3223.设函数f (x) =x 3ax + 3bx的图象与直线 12x+y 1 = 0相切于点(1 , 11).(1)求a、b的值；(2)讨论函数f

27、 (x)的单调性.解析(1)求导得 f' (x) = 3x2 6ax+ 3b.由于f (x)的图象与直线12x+ y 1 = 0相切于点(1 , - 11),所以f (1) = - 11, f ' (1)=-12,1-3a+3b= 11即,解得 a= 1, b=- 3.3-6a+3b= 1222(2)由 a=1, b=3 得 f ( x) =3x 6ax+3b= 3(x 2x3) =3(x+1)( x3).令 f' (x)>0,解得 x<1 或 x>3;又令 f' (x)<0,解得1<x<3.所以当 xC(8,一1)时，f(x

28、)是增函数；当xC(3, 十°°)时，f(x)也是增函数；当 xC(1,3)时，f(x)是减函数.1124.右函数f(x) -x3 -ax2 (a 1)x 1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,) 32上为增函数，试求实数a的取值范围.解：f (x) x2 ax a 1 (x 1)x (a 1),令 f (x) 0得 x 1 或 x a 1 ,当 x (1,4)时，f (x) 0,当 x (6,)时，f (x) 0, .4 a 1 6,5 a 7.25.设函数f(x)=x+ a(a>0).(1)求函数在(0, +8)上的单调区间，并证明之； (2)若函数 xf(x

29、)在a-2,+ 8上递增，求a的取值范围.解析：(1)f(x)在(0,+8)上的增区间为,a,+8，减区间为(0, ja).a ,一，证明：f (x)=1 -2，当 x e Qa ,+ 8时，x(x)>0,当xe(0, 7a)时，(x)<0.即f(x)在Va +oo上单调递增，在(0, Va )上单调递减.(或者用定义证)(2) a-2,+ 8 为/O' , + oo 的子区间，所以 a-2 > Oaa-石-2 >0( a +1)( fa-2) >04!a-2>0 a>4.26.已知函数丫 = 2*与丫= b在(0 , 十°°

30、;)上都是减函数 试确定函数y= ax3+bx2+5的单x调区间.解析： 可先由函数y= ax与y = b的单调性确定 a、b的取值范围，再根据 a、b的 x取值范围去确定y= ax3+ bx2+ 5的单调区间.b ,解二.函数y= 2*与丫=在(0, +8)上都是减函数， a<0, b<0. x由 y = ax3+bx2+5 得 y' =3ax2+2bx.2 一 一 2b 一令 y >0,得 3ax+2bx>0, . .<x<0.2b. .当x 可0时，函数为增函数.令 y' <0,即 3ax2+2bx<0,2b x< ,

31、或 x>0.3a2b出，(0 , +8)上时，函数为减函数.3a27 设 a 0, f(x)a -f是R上的偶函数, e(1)求a的值;(2)证明f(x)在(0, + )上是增函数。解：(1)依题意，对一切x R,有f (x) f(x),即1xaexae即(a由于ex1)(ex )0 ,所以对一切xa e1 一，,1八不恒为0,所以a 0 ,R,(a1V x)(ea0恒成立(2)当xe证明：(0,由 f(x)时，有xe ex 2 x(eax,得 f (x) ex1) 0 ,此时 f (x)x 2xe (e1)0 ,所以f(x)在(0, + )内是增函数28.求证：方程1 .x- 2sin

32、 x= 0 只有个根x= 0.一、 1 .， 一 ，一、证明设f(x) =x 2sin x, xC(8, +8),1.贝U f (x) = 1 2cosx>0, . f (x)在(00,+8)上是单调递增函数.而当 x= 0 时，f (x) = 0,-1，方程x 2sin x= 0有唯一的根 x= 0.29 已知 f(x)=x2+c,且 f f(x) =f(x2+1)设g(x)=f f (x),求g( x)的解析式;(2)设6 (x)=g(x)入f (x),试问：是否存在实数入，使巾(x)在(一8 , 1)内为减函数,且在( 1, 0)内是增函数.解：(1)由题意得 f f(x) =f

33、(x2+c)=( x2+c) 2+cf (x2+1)=( x2+1) 2+c, . f f(x) =f(x2+1)(x2+c)2+c=( x2+1) 2+c,x2+c=x2+1, c=1.1. f (x)=x2+1, g(x)=f f(x) =f (x2+1)=( x2+1)2+1(2) 6 (x)=g(x)入 f (x)=x4+(2 入)x2+(2 入)若满足条件的 人存在，则 旷(x)=4x3+2(2 入)x;函数6 (x)在(一8 , 1)上是减函数， 当 xv 1 时，6，(x) V 0即 4x3+2(2 入)x<0 对于 x ( -OO , 1)恒成立 2(2 入)>4x

34、2,x< - 1, . . - 4x2V 4 1- 2(2 一 入) 一 4,解得入 W 4又函数(J)(x)在(一1,0)上是增函数 当一1 vxv 0 时,6 ' (x) >0即4x2+2(2 入)x>0对于x C ( 1,0)恒成立 2(2 入)V4x2, 1V xv 0, 4V 4x2V 02(2 入)W4,解得人 >4故当入=4时，6(x)在(一8, 1)上是减函数，在(一1,0)上是增函数，即满足条件的入存在.课外延伸题:30 .方程x33x+c=0在0, 1上至多有 个实数根答案：1 解析.设 f (x) =x3- 3x+c,贝U f (x) =3

35、x23=3 (x21).当xC (0, 1)时，f (x) <0恒成立.f (x)在(0, 1)上单调递减. .f (x)的图象与x轴最多有一个交点. 3因此方程x 3x+c=0在0, 1)上至多有一头根. 331 .若函数f(x)=x3x+ a有二个不同的零点，则实数a的取值范围是 答案：2<a<2 解析：f' ( x) = 3x23= 3(x+1)( x1).令 f ' (x) = 0,得 x= 1 或 x = 1. f ( x)在(一8 , 一 1)和(1 , + 00 )上递增，在(一 1,1)上递减，f( 1)>0，一2<a<2.

36、f(1)<032.(2010湖北黄冈中学模拟，19)已知定义域为0, 1的函数f(x)同时满足：对于任意 的 xC 0, 1,总有 f(x) >0; f(1)=1;若 x1 >0,x 2>0,x 1+x2W 1,则有 f(x 1+x2) > f(x 1)+f(x 2).(1)求 f(0)的值；(2)求 f(x)的最大值.解析：(1)对于条件，令x1=x2=0得f(0) W0,又由条件知f(0) >0,故f(0)=0.(2)设 0W x«x2W 1,则 x2-x 1 C (0,1), . f(x2)-f(x1)=f (x 2-x 1)+x 1-f(x

37、 1)=f(x2-x 1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1) > 0.即f(x 2) >f(x 1),故f(x)在0, 1上是单调递增，从而 f(x)的最大值是f(1)=1.33.已知函数f(x)=( - -1) 2+( - -1) 2的定义域为m,n)且1 < m<nc 2.(1)讨论函数f(x)的m x单调性；(2)证明：对任意xi、x2 m,n,不等式|f(x 1)-f(x 2)|<1恒成立.22(1)解析：解法一：. f(x) = ( - -1) 2+ (n-1)2=T ny 空 军 +2, mx m x m xf2x 2n22 2n(x)= m

38、x m x(x -mn2-mx3+n2nx)=(x2-mx+mn)(x+ . mn )(x-mn).2 K x<n < 2, . 2 3m x令 f ' (x)=0,得 x= Jmn , 当 xC m, JmH 时，>0,x 2-mx+mn=x(x-m)+mn>0,x+ . mn >0.当 xC 、；'mn , n f(x)在m, 4rmn 解法二：由题设可得f(x)= ( n-1 ) 2m x令 t=-.时,f' (x)<0;f ' (x)>0.内为减函数，在jmn, n)为内增函数.2n+1. mm x.1 1 &l

39、t; m<rnc 2,且 xC m,n,.,仁mn>2,n >2. mn=0,得 x= Vmn . x当 x C m,、mn ,t ' <0；当 x C ( Jmn ,n)时，t zx n _>0. - t=在m, %' mn 内 m x是减函数，在jmn,n内是增函数.=函数y=(t-1) 2+OO：上是增函数,函数f(x)在m,Jmn 内是减函数，在Jmn , n内是增函数.(2)证明：由(1)可知,f(x)在m,n上的最小值为f( Vmn )=2( p -1) 2,最大值为 f(m)=(1).m对任意xi、xzCm,n ,|f(xi)-f(x2)|