封闭图形中的植树问题

1、封闭图形中的植树问题教学设计一、教学目标知识目标： 学生通过直观的方式能用多种策略来解决围棋中的数学问题， 并引导学生解决封闭图形中的植树问题，使不同的学生在数 学学习上有不同的发展。技能目标：初步培养学生从实际问题中探索规律，找出解决问题的有效 方法的能力；情感目标：让学生感受数学在日常生活中的广泛应用，使学生感受到数 学的价值，激发学生学习数学的兴趣。二、教学重点难点 重点：能用多种方法去解决围棋中的数学问题， 并学会解决封闭图形中的植树问题 难点：沟通围棋中的数学问题与植树问题之间的关系。三、教学预设为了达成以上教学目标，本课教学流程设计分三大板块：（一）探究新知 同学们，老师先来考考你

2、们，看看会不会被难倒。如果两根手指夹一只 粉笔，那么一只手能夹几枝粉笔呢？为什么 5根手指只能夹 4 只粉笔？1、同学们喜欢下棋吗？下过围棋吗？今天老师带来了一题有关围棋的数 学问题，有兴趣去解决吗？（有）2、出示例 3 围棋盘的最外层每边能放 19个棋子。最外层一共可以摆放 多少棋子？让学生感觉到一边放 19 个棋子挺麻烦的，由此想到假设 最外层每边放 9 个棋子，那么最外层一共可以摆放多少棋子？（课件 出示：先出示围棋盘，然后在一边上摆放 9 个棋子，最后四边全部摆 上棋子）（1）学生动手解决，教师巡视，寻找学生中典型的解题方法。（预设学生可能会出现的情况有： ,改 9 颗棋子为 19 颗

3、。（2） 汇报交流：A、首先汇报交流第一中解法即19X4= 76 （个），（生说算式， 教师板书）师问：你是怎么想的？ （生：每边有 19 个棋子，四边就有 19? = 76 个棋子）B、师再问其他学生：同意他的想法吗？（生：不同意，如果这样的 话，角上的 4 个棋子好像重复算了）师追问：那你是怎么算的？（生说：19X 4-4= 72个，教师板书）， 然后教师强调：为什么要减去4?（生：把角上重复的4个棋子去掉）这 时教师顺水推舟：你是说四个角上的棋子重复算了，所以还要减去重复 的4个棋子（师边说边课件演示：4个角上的棋子变色）。C教师提问：还有其他算法吗？（生回答教师板书：17X 4+ 4=

4、 72个），这个算式你们看得懂吗？谁来说说你看懂了什么？D如果学生出现19X 2 + 17X2 = 72个，则让其他学生猜一猜：他 是怎么想的？并做课件演示；E如果学生出现18X 4= 72个，就请提供算式的同学说一说：你是 怎么想的？教师课件配合演示。）3、当然以上5种算式，、两种算式学生可能不大容易出现。所 以如果学生不出现的话，教师就引导学生一起来看一看书上是怎样解决 的？并提问：你看懂了什么？再辅助课件加以说明。（二）、发现、沟通通过刚才的学习，老师发现我们班的同学非常的聪明，老师这儿又 有个数学问题，你能帮忙解决吗？（能）1、试一试出示题目：当湖公园的工作人员打算在一块正方形草地的周

5、围种 上一批树（4个角上都要种）。现在有三种方案：（1）每边种16棵松树；（2）每边种25棵桃树；（3）每边种31棵梨树。请你选择其中的一种方案，用你刚才学习的喜欢的方法算一 算草地的四周一共要种几棵树？a、学生练习，教师巡视b、反馈交流：师：谁来说一说桔树共有多少棵？（生：60棵）师：你是怎么算的？（教师根据学生回答板书算式）并问：你是怎么想的？（因 为学生受前面围棋中多种解法的启发，所以解题方法较多，在这里我 只反馈其中的一种解题思路，学生说到哪种就反馈哪种，并把算式进 行板书，板书在与例题解法相同的算式的下面）关于桃树与梨树的反 馈与桔树一样。并把反馈的结果填入表格中每边的棵数四边总数桔

6、树16棵60棵桃树25棵96棵120梨树31棵2、沟通我们用刚学的各种方法解决了这个问题，大家的表现非常的好！前 面我们已经学习了有关植树的问题，那么这题我们能不能用植树问题的 思考方法去解决呢？想一想，在植树问题中我们认识了哪些数量？（棵 数、间隔数）a、那我们来看看，每边种16棵松树，有几个间隔数？（在表格中 出现每边间隔数）25棵呢？ 31棵呢？（根据学生回答教师完成表格中的 数据）每边棵数每边间隔数四边总棵数松树16棵1560棵桃树25棵2496棵梨树31棵30120棵师：那么每边的棵数与每边间隔数有什么关系呢？（每边棵数-1 =每边间隔数）再来观察一下，每边间隔数与四边总数又有着怎样

7、的关系 呢？b、刚才我们学习的围棋中的数学问题，能不能用植树问题的思考方 法去解决呢？（再次出现围棋图） 学生试做 反馈：重点反馈（19- 1）X 4= 72这种解法师:19 - 1表示什么？（表示每边有18个间隔）师再问：19- 1除了表示18个间隔外，还表示了什么？（每边看作 有18个棋子）教师演示课件一条变色问：是这样吗？（是的）师：这种现象是植树问题中的哪种情况呢？生：是植树问题中一端栽，一端不栽的情况教师课件演示其他三边一端栽一端不栽的情况，并提问：在植树问 题一端栽一端不栽的情况下，植树的间隔数与棵数有着什么关系呢？师：所以这个18可以表示为18个间隔，也可以表示为18个棋子, 乘

8、边数4就等于72, 72即表示72个间隔，也表示72个棋子。3、揭示课题：封闭图形中的植树问题这就是今天我们要学习的封闭图形中的植树问题，板书课题。（三）、灵活运用老师发现我们班的同学真的很棒！爱动脑，勤思考，所以我们解决 了很多的数学问题。下面我们来看这题。1、要在五边形的水池边上摆上花盆，使每一边都有 4 盆花，可以怎样摆 放？（1）讨论可以怎么摆放？（五个角上都摆或都不摆）（2）要最少应该怎么摆？（必须五个角上都摆）（3）练习反馈（重点反馈（41）X 5= 15 （盆）这种解法） 师小结：其实我们在解决正方形、正五边形及正多边形的植树问题时， 都可以用棵数=间隔数2、48 名学生在操场上

9、做游戏。大家围成一个正方形，每边人数相等。四 个顶点都有人，每边各有几名学生？（四）、小结 ：通过今天的学习，你有哪些收获呢？ 最后我还安排了一道延伸题。（五）、延伸圆形滑冰场的一周全长是 150米。如果沿着这一圈每隔 1 5米安装一 盏灯，一共需要装几盏灯？13植树问题（三）教学案例南河小学 李素静教学内容： 120121页例 3教学目标：1、能理解并掌握“植树问题”的基本解题方法，并能解决生活中的一些有关与“植树”问题的实际问题。2、会通过观察、操作及交流活动，探索并认识封闭线路上间隔排列中的简单规律，并能将这种认识应用到解决类似的实际问题之中。3、培养学生观察能力、操作能力以及与人合作的

10、能力。4、情感与态度目标： 让学生经历探索规律的过程，激发学生探索 的欲望。教学重点：会根据题意具体分析，建立解题模型、正确解答实际问题。教具准备：实物投影 教学过程： 一、创设情境，引入新课。同学们，生活中需要数学知识，对于具体问题，要具体分析，认真 考虑，得到正确答案。前两节课我们学习了有关“植树问题”的哪些情 况？根据学生的回忆内容，老师整理板书：1）两端都植树，则棵数比段数多 1。他们的关系是：棵数二全长+株距+1株距二全长*（棵数-1 ） 全长二株距X棵数-1）2）一端植树，则棵数比在两端植树时的棵数少 1。他们的关系是：全长二株距X棵数棵数二全长+株距株距=全长+棵数3）两端都不植

11、树，则棵数比段数少 1。棵数二全长*株距-1株距二全长+（棵数+1）今天我们继续来研究第三种“植树问题”，这种情况比较特殊，也 很有意思，看谁最先发现规律。二、探究新知，讲授新课：1 、学习例 3。1 ）投影出示围棋盘。大家见过围棋盘吗？会下围棋吗？2）、数一数。围棋盘的最外层每边能放多少个棋子？3）算一算。围棋盘上一个点可以放一个子。 围棋盘的最外层每边能放 1 9个棋子，最外一层一共可以摆放多少个棋子？2、4人小组交流，然后汇报算法和结果。方法一：19X 4=76（个）方法二：19X 4-4=72 （个）方法三： 19X 2+17X 2=72（个）方法四： 18X 4=72（个）叙述每种方

12、法的理由：1 ）第一种方法：因为外层每边有 19 个棋子，四边就有 4 个 19，而忽略了角上的棋子，算重了。2）第二种方法：考虑了角上有 4 个棋子算重了，所以从总数中再减去多算的 4个棋子。3）第三种方法：先看上下两边，每边是 19 个棋子，然后再看左右两边,由于上下两边已经包括了两个端点, 所以左右两边每边都少了 2个棋子，只有 17 个，把四边上的棋子加起来，就可以得到最外层棋子的 总数。4）第四种方法：每边都只算一个端点,这样每边正好都是18个棋子,用18X 4=72,得出结果。3、说一说你用哪一种思考方法，还有其他的方法吗？ 4、想一想,围棋盘最外层摆放的棋子有多少个间隔？1 ）学

13、生自主探究。2）4 人小组讨论。3）汇报并小结：围棋盘最外层摆放的棋子数正好等于最外层每两个棋子间的间隔数。5、类推。如果某块绿地类似与正方形的围棋棋盘,最外层摆放的不是棋子,而是树,那么树的棵数与间隔数之间存在什么关系？1）动脑筋想一想,和我们刚才学习的内容有什么关系？2）汇报学习情况并板书：树的棵数正好等于间隔数6、小结：对于数学问题,不要急于算出答案,要先弄清楚题目意思,画画图,多想一会,找出正确的解题方法,还可以用不同的方法来解题。三、反馈练习。1、有一块正方形的空地，每边都种 19 棵数，四个角都种一棵树，共种 树多少棵？2、一个圆形花坛，它的周长是 150米，每隔 2 米栽一棵树，

14、共需要多少 棵树苗？ 从上面的练习中你发现了什么？四、巩固练习，形成能力。1、121 页做一做1。2、121 页做一做2。3、121 页做一做3。五、总结：这节课学习封闭图形的“植树问题”，你有什么收获？板书：栽树的棵树正好等于间隔数。六、板书设计：植树问题（三）方法一：19X 2+17X 2=72 （个）方法二：18X 4=72 （个）封闭图形的“植树问题”：栽树的棵树正好等于间隔数。封闭图形的植树问题案例以及设计意图与结对子学校交流活动、创设情景，提出问题：这学期，我们学校开展了丰富多彩的活动，咱们看看有经典诵读比赛、团体操、合唱比赛等等。为迎接六、一文艺汇演，各年级都在 做积极准备，校舞

15、蹈队也在排练节目。这些里面都有数学问题，咱们去 看看？校舞蹈队的表演需要变化多种队形，她们先排成一排，每隔 2 米站1 人，队伍总长 22 米，请问有多少人参加比赛？生 1: 22 - 2=11 (个)11+ 1 = 12(人)教师：大家同意他的意见吗？能解释一下吗？ 教师：当两边都站的时候，有 11 个间隔就有 12 人，这就相当于在线段上两端都植树的植树问题。这一内容是学生的前知，是直线上两端都植的植树问题的变式，是学生上节课所研究的直线上的植树问题的一部分，放置在此处一方面 是沟通前知与新知的联系，另一方面体会直线上的植树问题与封闭图形 的植树问题之间的联系与区别。 】1 、围成O。还是

16、这 12 人，她们现在围成了一个圆形，相邻 2 人的间隔还是 2米，这一周有多长呢？生1：12X 2=24米生 2：(12 1)X 2=22 米(12+1)x 2=26 米教师：说说你是怎么想的？生 1 认为有 12 个间隔；生 2 认为有 11 个间隔；生 3 认为有 13 个间隔）这里学生之所以不能确定，主要是对围成圆形的情况下，到底人数与间隔数有什么联系学生很模糊，这也是这节课要重点解决的问题之 一。】教师：那到底有多少间隔呢？我们先来数数。先从这个小女孩这里开始。（12 个间隔）这一周有多长呢？教师引导学生梳理: 12人围成一个圆形，共有 12个间隔。（板书:O 12 人12 个间隔）

17、2 、围成教师：这 12 个人，又围成了一个三角形，这时候她们之间有多少个间隔呢？（ 12个等）教师：你是怎么知道的？生1：我是数的。（她数的对吗？其他学生也数一数。 ） 教师：除了数，还有别的方法吗？ 生2:算的，一边有4的间隔，三角形有3条边就有4X 3=12 （个）间隔。生生之间质疑： 4是怎么来的？（数）（每边上有 5个人，在这条线段上 5个人，就是 4个间隔。）教师:好极了，他一下子就能看出来，这就还是线段上两端都站人的情况，有 5 个人，间隔数就比人数少一，就是 4个间隔。那围成的这个三角形共有多少个间隔呢？你能用算式表示出来吗？ （5-1 ）X 3=12个）教师：这 1 2个人，

18、围成三角形，间隔数也是 12个。教师：当每条边上有 5 人，大家很正确的算出了一个有多少个间隔？那如果有 50 人的话，你还能算出有多少个间隔吗？生：(50-1 ) X 3=147 个 教师：同意吗？说说你的想法。 （50-1 就是每边上有 50人，那就有49个间隔， 3条边就是 40乘3=147个间隔。）教师：解释的非常清楚，那当每条边上是 50 人的时候，一共可以站多少人呢？（ 147 人）教师：算到这里，你有什么发现呢？（生猜测：当围成圆形的时候， 或者三角形或者其他图形的时候，人数与间隔数相等）教师：同学们刚才猜测当围成封闭图形时，人数与间隔数相等，我 们现在只证明了在圆形中，在三角形

19、中是这样，那是否是在所有的封闭 图形中，人数与间隔数都相等呢？我们得一一验证一下。我们先来看，这 12 个人，围成正方形的时候，有多少个间隔呢？(4-1=33 X 4=12 个)教师：那在其余的封闭图形中也是这样吗？请用 1 号学具纸中任选 一个封闭图形，用喜欢的符号表示人，进行验证，看哪一组做的又好又 快！教师没有直接使用课本上的情境图，而是根据实际情况，依据学生喜闻乐见的舞蹈比赛队列变化的场景来创设情景，通过从直线上圆 形三角形正方形的植树问题的过程，让学生体会与猜测封闭图形中人数与间隔数的关系，然后再推广到任意封闭图形，让学生通过自 己的验证得出，在所有的封闭图形中都存在：间隔数 =人数 的关系。】二、小组合作，获取新知：、组间合作验证。、汇报交流：教师：哪个小组想来展示一下你们组的想法。）我们组选的是 6 边形，我们每边放 4 人，这样一共是 18个人，也是18个间隔，人数 =间隔数。2 ）我们选的是这个不规则的图形，我们认为在这样的一个图形中应 该人数与间隔数不相等，但是我们安排了 10 个人，也是 10 个间隔，人 数=间隔数。3 ）我们选的是心形， 也是 5个人，5 个间隔，人数=间隔数。 , ,教师：我们能一一验证完吗？（不能）通过我们对多种封闭图形