向量的概念及表示

1、课题：向量的概念及表示教学目标：1、了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示，会用字母表示向量；理解向量的模、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和相反向量。2、了解分类讨论、数形结合等数学思想，培养学生探究问题，解决问题的能力。3、通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。教法方法与手段：教师讲授与学生探究相结合，讲练结合。教学重、难点：1向量、相等向量、相反向量、平行向量的概念；2向量的几何表示教学过程：（一）问题引入：2008 年，对于中国人是刻骨铭心和兴奋鼓

2、舞的一年！8 月我们圆了百年奥运梦，2008年 9 月 25 日，中国神舟七号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功升空！航天员将在这次航天飞行中进行太空行走，中华儿女再一次圆了民族的飞天梦,更进一步向世界诠释了中国人民不断探索、进取、超越，百折不挠，锲而不舍，不断攀登新高峰，不断取得新成功的“强国梦”！随着一级火箭的分离、二级火箭分离、箭船分离一系列动作的成功完成，大屏幕上显示着火箭和飞船飞行轨迹曲线，这一刻每个中国人都激动无比！。这里给出了最后箭船分离的示意图， 二级火箭关机后， 箭船组合体在 O 点处继续向前，在高度约为 200 公里的 A 点处成功分离。如果箭船组合体沿着另一方向以同样的速度也

3、向前滑行 200 公里，能到达预先设定的分离点A 处吗？（不能，因为方向不同）O 点到 A 点有一个位移， O 点到 B 点也有一个位移。探究： 1、位移和距离的区别2、生活中还有哪些量既有大小又有方向？（二）概念讲解1向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量。必须用数值和方向才能表示.数量(quantity)：取定单位后只用一个实数就能表示 .思考 :平面上的线段是向量吗 ?B （终点）2向量的表示方法：A （起点）(1) 几何表示法：用一条有向线段AB 来表示。有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。(2) 字母表示法：以 A 为起点、 B 为终点的向量记作：AB （注意

4、 AB 与 BA 的区别）用小写字母 a、b、c (黑体字 )来表示 .手写时写成 :a第1页共4页至此，介绍了向量的文字、图形、符号三种语言。3AB的长度（或称模） ：线段AB 的长度叫向量AB的长度，记作|AB|、向量的模：向量思考 :向量的模是向量还是数量 ?（三）问题探究，知识建立巩固 AD如图， O 为正方形ABCD 的中心，边长为 1，请以图中的字母为起点和终点，指出图中有哪些向量？探究 在上面这些向量中，你能不能分别从大小和方向两方BC面进行分类？（学生讨论）4、两种特殊向量： （1） 1、单位向量 (unit vector) ：长度为1 个单位长度的向量.（2）零向量 (nul

5、l vector) ：长度为0 的向量 . 记作 0 .（注意 0 与 0 的区别）思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？（单位圆）5、 三种特殊关系：（1）平行向量（共线向量）:方向相同或相反的非零向量.规定： 0 与任一向量平行。 记作： a / babba（ 2）a 与 b 的起点平移到同一条直线上后还是平行向量吗？（是的） 我们这里研究的向量仅和大小和方向有关与起点位置无关，称为自由向量。思考：两向量的平行与平面几何里两直线平行有什么区别？任意一组平行向量都可以平移到同一直线上，故平行向量又称共线向量.（ 2） 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做

6、相等向量。记作： a = b（ 3）相反向量：长度相等 ,方向相反的向量，叫做 a 的相反向量 ,记作： a .规定：零向量的相反向量仍是零向量.思考：( a)?AB?（四）数学应用：例 1.如图， O 为正方形 ABCD 对角线的交点 ,四边形 OAED ，OCFB 都是正方形 .在图中所标出的向量中：AB(1)试找出与 AO 共线的向量；EF第2页共4页ODC(2)确定与 AO 相等的向量；(3) AO 与 DE 相等吗？解： (1)与 AO 共线的向量有 DE ,CO, BF.（ 2） AO BF(3)虽然AO/ DE 且 AOBF ,但是它们方向相反 ,故这两个向量并不相等.AO与 D

7、E 是相反向量。 变 1以图中 A,B,C,D,E,F,O 七点中的任一点为始点， 与始点不同的另一点为终点的所有向量中，与向量 AO 相等的向量有哪些 ,共几个？解：有 ED,OC,BF.，共 3 个. 变 2 与 AO 的相反向量有哪些 ,共几个？解：有 OA, DE,CO,FB ，共 4 个.例 2.在图中的 4×5 方格纸中有一个向量AB ，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与AB 相等的向量有多少个？与BAB 长度相等的共线向量有多少个？（AB 除外）(1)共有 7 个向量与 AB 相等 ;(2)共有 15 个向量与 AB 共线 .A（五）课堂练习1、下列说法正确的是

8、_(1) 若两个向量相等 ,则它们的起点和终点分别重合；（2）若 a 、 b 都是两个单位向量，则ab(3) 设 O是正 ABC的中心，则向量 AO, BO,CO 是模相等的向量；（4）向量 AB 与 CD 是共线向量，则 A 、 B、 C、D 四点必在一直线上第3页共4页2、判断下列说法是否正确：若则变题 若b , 则 ab ;b,ab ;： a（ 1）a（ 2）若 a / b, 则ab;变题：若 ab , 则 a / b ;（ 3）若 ab, b c, 则a c;变题：若 a / b , b / c, 则 a / c;3、探究：如图，以1× 3 方格纸中的格点为起点和终点的所有非零向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？解：共有6 种不同的模，16 种不同的方向 .（六）课堂小结1、主要内容向量有向线段向量的表示AB或 a向量的大小向量的方向(长度、模 )单位向量与相等向量与相反平行向