计算机数值方法试题

1、数值计算方法试题填空（共20分，每题2分）1、设短-2.3149541.,取5位有效数字，则所得的近似值x=2、2-13、数值微分中，已知等距节点的函数值则由三点的求导公式，有H1)=对角线元素足条件时，这种分解是唯一的4、求方程炉一大一.25-0的近似根，用迭代公式外=丁”125,取初始值9=1fy=/（兀另5、解初始值问题）«“口）=那近似解的梯形公式是了注1的仙”6、卜，V,则A的谱半径次A）=,A的cmd（A）=7、设/=37+5,九=班上=0,12，则"出X】=和小+，乂皿=8、若线性代数方程组AX=b的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都

2、_9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为时，必有分解式A=LLr,其中L为下三角阵，当其、计算题(共60分，每题15分)(1)试求/在上的三次Hermite插值多项式H(x)使满足附)=如)=°12Hg=T6)H(x)以开幕形式给出(2)写出余项R3)取AH的表达式2、已知x=双幻的，(不)满足-3|ul,试问如何利用管(主)构造一个收敛的简单迭代函数y"),使二炉(工=0,1收敛?3、试确定常数A,B,C和笔使得数值积分公式:/杰陶Af(-a)4-BJ(0)十中一JGauss型的?有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否

3、为4、推导常微分方程的初值问题以入)二外的数值解公式:夕"1=7,-1+：5：+】+&P；+L；t)三、证明题1、设co=泊一行(1)写出解/(工)=0的Newton迭代格式(2)证明此迭代格式是线性收敛的2、 设R=ICA如果p|cl,证明：(1) A、C都是非奇异的矩阵班网im-网1、2、3、4、5、6、填空题2.31504-16R一i)1.5p(A)=、匠m媪(&i=6;7、70,三*1，%=3J勺，%，J=68、收敛9、O(h)10、洋w、计算题山二工'+/HX1、 1、 (1)''225M504502515-

4、1.919(2)2、由工二平（工），可得工一3工二0（工）-3工因=-1卬-故11M切二彳口-3k5亡1故加1二网工禹）二-J加信）-3。,k=0,1,收敛。U-II10161123、 99X5,该数值求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的4、数值积分方法构造该数值解公式：对方程,二/（力在区间工1,招+上积分，得44M/+J=ygQ+J/Oj（切出,记步长为h,对积分j九“粒必-|。-1用Simpson求积公式得，喧？同JdJ/（丸火行川*aIf（/）+4®）+，（/Gw-（X/5；+HGL53所以得数值解公式：；：-一二三、证明题1、证明：（1）因故*幻二61（工'

5、;-口）,由Newton迭代公式：/U)c.a+i=/一、，n=0,1，徂 h付-L-+15工一口一 .=t+帚，n=0，1，（2）因迭代函数瓜分=。+刍,而4二羡一三工-"86K63又£=痂，则研扬）二|-曲尸二:，二袅口6j6J2故此迭代格式是线性收敛的2、证明：（1）因忸|<1,所以I-R非奇异，因I-R=CA所以C,A都是非奇异矩阵 (2) ， I - ： - 1 .故国国门-绯则有m-T(2.1)因CA=I-R,所以C=(I-R)A1,即A1=(I-R)-1C又RA1=A1-C,故，-小国田|平旭-m帕由,-eg因的项（这里用到了教材98页引理的结论）(2.

6、2)右k1-cll帜ii移项得胃£昂结合（2.1）、（2.2）两式，得kvtjkjgii模拟试题填空题（每空2分，共20分）1、解非线fiE方程f（x）=0的牛顿迭代法具有收敛2、迭代过程万加1=双勺）（k=1,2,）收敛的充要条件是炉5）|3、 已知数e=2.718281828，取近似值x=2.7182,那麽x具有的有效数字是4、 高斯-塞尔德迭代法解线性方程组的迭代格式中求5、 通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足则p(x)是不超过二次的多项式6、 对于n+1个下点的插值求积公式J J.)也 为 工 百孝/ (4)至少具有04次代数精度.31整7、 插值型求积公式”工)

7、心自工4八小) 的求积系数之和 三 £JtJ)JUO8、2 1 0,二12 a ，为使A可分解为A=LLT,其中L为对角线元素为正的下三角形，a的取值范围口 1 29、1-3则矩阵A的谱半径(A)=10、解常微分方程初值问题"=儿办Wa ) = Jo的梯形格式h丹川二+2b(勺'居)+以0+】外】)是阶方法计算题(每小题15分，共60分)1、 用列主元消去法解线性方程组2、 已知y=f(x)的数据如下x023f(x)132求二次插值多项式P式X)及f(2.5)4、欧拉预报-校正公式求解初值问题十尸一工=0b(0)=0取步长k=0.1,计算y(0.1),y(0.2)的

8、近似值，小数点后保留5隹三、证明题(20分每题10分)/七%上1、明定积分近似计算的抛物线公式串具有三次代数精度2、若尸口0,证明用梯形公式计算积分(工L.Q2)而所得结果比准确值大，并说明这个结论的几何意义。3、用牛顿法导出计算的公式，并计算泥,要求迭代误差不超过|W5参考答案：一、填空题1、局部平方收敛2、<13、5、三阶均差为06、n7、b-a二、计算题Zj=9<=-1x,=一百1、 (*尸工21p(x)=-x+-X+12、 333、-1.25992(精确到1L工=(巧'产f产”44、*/58、9、110、二阶方法237/(2.5)jy-x(2.5)+-x2.5+l=

9、2.6667即保留小数点后5位)作函数/(A)=Xs-a,则f=0的1E根即为行,由牛顿在有迭代格式£+i =%"%) _ ./：-8分令U2.取初值/二1.5,计算出占二L2963 %=L2609, £=1.2599, *12599则盯七L2599,符个误卷要求.15分4、y(0.2) =0 .01903三、证明题1、证明：当 /W =1时，公式左边：公式右边:左边=右边当/(K1=x时当时右边当了=/时右边-1 +4 + 1 b- a b右边： 923左边二=r=三5=一口当,二工时左边：上于$史巴一44(竺士*»"(5小+4?力2/中4口

10、/*立*hL右边：8265故丁(工)具有三次代数精度2、证明：略数值计算方法试题一、填空题(每空1分，共17分)1、如果用二分法求方程x3x40在区间1,2内的根精确到三位小数，需对分()次。,22、迭代格式xk1xk(xk2)局部收敛的充分条件是取值在()0x30x1S(x)132(x1)a(x1)b(x1)c1x3口忆-r3、已知2，il'是三次样条函数，则a=(),b=(),c=()。4、l0(x),l1(x),，ln(x)是以整数点x0，x1,，xn为节点的Lagrange插值基函数,则nnn42lk(x)xj(xk)(xkxk3)lk(x)k0(),k0(),当n2时k0()

11、。5、设f(x)6x72x43x21和节点xkk/2,k0,1,2,，则fx0,x1,xn一7和f0。6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为,5个节点的求积公式最高代数精度为。7、k3是区间0,1上权函数(x)x的最高项系数为1的正交多项式族，其1中0(x)1,则0x4(x)dxoXiax2b8、给定方程组ax1x2b2,a为实数，当a满足，且02时,SOR迭代法收敛。0yn1ynhf(Xn,yn)yf(x,y)h09、解初值问题y(x0)y0的改进欧拉法yn1yn2f(Xn,yn)f(Xn1,yn1)是阶方法。110aA01a10、设aa1,当a)时，必有分解式A LLT其中L为下三

12、角阵，当其对角线元素 第0 1,2,3)满足( 这种分解是唯一的。)条件时,二、二、选择题(每题2分)1、解方程组Ax b的简单迭代格式x(k1) Bx(k) g收敛的充要条件是( )。(1)(A) 1,(2)(B) 12、在牛顿-柯特斯求积公式:bf (x)dxa(A) 1,(4)(B) 1n(b a) G f(xi)i °中，当系数Ci是负值)时的牛顿-柯特x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是(O(1)二次;(2)三次;(4)五次h -4 f(Xn,yn)求解初值问题)时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当(斯求积

13、公式不使用。(1) n 8,(2) n 7,(3) n 10,(4) n 6,3、有下列数表(3)四次；一一 h4、若用二阶中点公式yn1 yn(xn 2,yny2y,y(0)1,试问为保证该公式绝对稳定，步长h的取值范围为()。(1)0h2,(2)0h2,(3)0h2,(4)0h22.10exdx 时,三、1、(8分)用最小二乘法求形如yabx的经验公式拟合以下数据：xi19253038yi19.032.349.073.32、(15分)用n8的复化梯形公式(或复化Simpson公式)计算(1)(1)试用余项估计其误差。(2)用n8的复化梯形公式(或复化Simpson公式)计算出该积分的近似值

14、。四、1、(15分)方程x3x10在x1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式(1)x 对应迭代格式xn 13xn 1 ； (2)“Xn1,13对应迭代格式XXn；(3)XX31对应迭代格式xnlXn1。判断迭代格式在x01.5的收敛性，选一种收敛格式计算X1.5附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Stefensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。2、(8分)已知方程组AXf,其中4324A341f301 424(1) (1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seide迭代法的分量形式。(2) (2)求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR迭代法

15、。dyy1dx五、1、(15分)取步长h0.1,求解初值问题y(0)1用改进的欧拉法求y(0.1)的值；用经典的四阶龙格一库塔法求y(0.1)的值。2、(8分)求一次数不高于4次的多项式p(x)使它满足P(Xo)f(Xo)P(Xi)f(Xi)p(Xo)f(Xo)p(Xi)f(Xi)p(X2)f(Xz),六、(下列2题任选一题，4分)1、 1、数值积分公式形如10Xf(X)dXs(x)Af(0)Bf(1)Cf(0)Df(1)(1) (1)试确定参数A,B,C,D使公式代数精度尽量高；(2)设1f(x)C40,1,推导余项公式R(x)0Xf(X)dXS(x),并估计误差。2、 2、用二步法yn10

16、yn1yn1hf(xn,yn)(1)f(xn1,yn1)yf(x,y)求解常微分方程的初值问题y(x0)y0时，如何选择参数0,1,使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。数值计算方法试题一、判断题：(共16分，每小题2分)1、若A是nn阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L和上三角阵U,使ALU唯一成立。()2、当n8时，Newtoncotes型求积公式会产生数值不稳定性。bf (x)dx3、形如a的次数为2n210i1。111nA f(xi)1的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精确度）的2 范数IIA2 = 9 o5、设2a006、设ARn n00a , ) Rn

17、则对任意实数a 0,方程组Ax b都是病态的。n,且有QTQ I（单位阵），则有1A2 IIQA2O（7、8、区间a，b上关于权函数W（x）的直交多项式是存在的，且唯对矩阵A作如下的二、填空题:1、设 f（x） f20,21,31072151a(共20分,Doolittle 分解：0 2 2 30 0 b 11 0 0 6 ,则a,b的值分别为a 2, b 2。( 每小题2分)_ 8_ 4_29x 3x 21x10,则均差8019r,2 ? f 3 ,3 ,3 xk 1 xk点，Newton迭代公式m3f （xk）的收敛阶至少是阶。阶的2、设函数f（x）于区间a,b上有足够阶连续导数，P2力为

18、f（x）的一个m重零3、区间a,b上的三次样条插值函数S（x）在a,b上具有直到连续导数。7,一TA-4、向量X(1,2),矩阵3|AX|1cond(A)15、为使两点的数值求积公式:1f(x)dxf(x0)f(x1)具有最高的代数精确度，则其求积基点应为x1?x2o6、设ARnn,ATA,则（A）（谱半径）IA2O（此处填小于、大于、等于）1(9分)kim AkA7、设三、简答题:1、 1、方程x42x在区间1,2内有唯一根X*,若用迭代公式：xkiln(4xk)/ln2(k0,1,2,)，则其产生的序列xk是否收敛于x*?说明理由。2、 2、使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为什么要用选

19、主元的技f(x)1 cosxx2。术？3、 3、设x0.001,试选择较好的算法计算函数值四、(10分)已知数值积分公式为：h-,、，h-，八、一，、r，2，、，0f(x)dx2f(0)f(h)hff(h),试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。五、(8分)已知求4a(a0)的迭代公式为：xk11(xk-)Xo0k0,1,22 xk证明：对一切k1,2,xkVa,且序列xk是单调递减的，从而迭代过程收敛。3 3六、(9分)数值求积公式0"刈”2f(1)f(2)是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？七、(9分)设线性代数方程组AXb中系数矩阵

20、A非奇异，X为精确解，b0,若向量X是AXb的一个近似解，残向量rbAX,证明估计式:cond(A)H时(假定所用矩阵范数与向量范数相容)八、(10分)设函数f(x)在区间0,3上具有四阶连续导数，试求满足下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式H(x),并导出其余项i012xi012f(xi)-113_f(xi)3161、4、7、K、1、九、（9分）设n（X）是区间a,b上关于权函数W（X）的直交多项式序列,Xi(i1,2,n,n1)为n1(X)的零点,li(X)(i1,2,n,n1)是以Xi为基点的拉格朗日（Lagrange）插值基函数,bn1f(x)w(X)dXAkf(Xk)ak1为高

21、斯型求积公式，证明:n1(1)(2)(3)(1)当0k,jblk(X)lj(X)w(X)dXan,kj时,0(kj)2,lk(X)w(X)dXbaW(X)dXAik(Xi)j(Xi)0十、（选做题8分）若f(x)Xi(i0,1,(10)(1)、()n1(X)(XX°)(XXi)(XXn),n）互异，求fX0,X1,Xp的值，其中数值计算方法答案填空题（每空1分，共17分）2、（22(,0)(0,)x22)3、a=(37!),6Xj)、(X48、a19、X23)5、10、（2722b=(3),9454236.25选择题（每题2分）2、(D)三、1、（8分）解:3、span1,X2(D)

22、4、()AT1192解方程组11252312ATAC1382ATy19.0其中ATA4339133913529603ATyC解得：0.92555770.05010252、（15分）解：所以ba12T(8)hf(a)27f(Xk)k1f(b)）、（|ii0)32.349.073.3173.6179980.70.9255577,1112820.050102510.001302768112(0.88249690.77880080.606530660.53526140.472366550.41686207)0.367879470.6329434四、1、（15分）解：（1）1、(X)(X1)3d。181

23、,故收敛;(2)（3）选择(x)(x)X0X531.52(1.5)0.17(1):1.5,x11.324761.35721,故发散。x21.3309,X31.3259,x41.3249x61.32472Stefensen迭代:XkXk2(Xk)Xk)2(Xk)2(Xk)XkXk-=33Xk(3Xk1Xk)2123Xk11计算结果：x0X1324899,X21.324718有加速效果。(kX1k1)"1(243x2k)4工(303x1(k)x3k)4(kX31)-(24x2k)42、（8分）解:Jacobi迭代法：x（24k0,1,2,3,3x2k)x2kDGauss-Seide迭代法

24、:-(303X1(k"4"工(24x2k4k0,1,2,3,x3k)BjD1(LU)0340(Bj),、.10(或)0.7905694X；kD(1)x1(k)(243x2k)4(kX2SOR迭代法:)x2k)(303x1(k1)4(1)x3k)-(24x24k0,1,2,3,x3k)0)五、1、（15分）解：改进的欧拉法：0.905yn 0.095yn0）1Ynhf（Xn,yn）0.9yn0.1yn1ynhf(Xn,yn)f(Xn1,ynZ)2所以y(0.1)y11；经典的四阶龙格一库塔法：hyn1yn-k12k22k3k46kik2f(Xnk3f(Xnf(Xnf(Xn,y

25、n)h2,ynh2,ynh,yn2k1)*2)hk3)ki2、(8分)解：设H3(x)为满足条件22则p(x)H3(x)k(xX0)(xX1)k2k3k40,所以y(0.1)%1。山便)f(x)H3(Xi)f(Xi)i0,1的Hermite插值多项式,代入条件PM)f(X2)得：270,B 白120构造Hermite插值多项式H3（X）满足H3(Xi)f(Xi)H3(Xi) f (Xi) i0,1其中Xo0, X11则有:1o xH 3(X)dX S(x)f(x)f(4)( ) 9H3(x) -!LJx2(x1)2R(x)10Xf(X) S(X)dXf(4)()4!32 ,x (x 1) dx

26、(4),、f ( )x3X4!f(4)()4! 60(X1)2dXf(4)()1440f(X2)也供)2"2(X2X0)(X2X1)六、（下列2题任选一题，4分）A3023AB1、解：将f(x)1,x,x,x分布代入公式得：202、解:Rn,hy(Xn1)yn1y(Xn)hy(Xn)0y(Xn)1(y(Xn)hy(Xn)h22!h22!yy(Xn)(Xn)h33!h33yy(Xn)(Xn)hy(Xn)(1)(y(Xn)hy(Xn)h2万y(Xn)h(4)/.(Xn)(1021h(21)y(Xn)1所以2主项:253hy12(xnh(11)y(Xn)、(24分)填空题1)y(Xn)h3

27、(6(1)(2分)改变函数14丁(Xn)O(h)1032该方法是二阶的。数值计算方法试题f(x)G仄(x1)的形式，使计算结果较,迭代矩阵为此迭代法是否收敛O精确(2)(2分)若用二分法求方程fx0在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分次。a=f x(2分)设Sx(3分)设,b=, c=22xix2xx22x3, 032x ax，则 f' xx 1 bx c,1 x 2是3次样条函数，则(5)(3分)若用复化梯形公式计算1 axH0e ,要求误差不超过10 6 ,利用余项公式估计，至少用个求积节点。x11.6x21(6)(6)(6分)写出求解方程组0.4x1x22的Gau

28、ss-Seide迭代公式A54（4分）设43,则IA,CondA。（8）（2分）若用Euler法求解初值问题y'10y，y01,为保证算法的绝对稳定，则步长h的取值范围为二.（64分）（1）（1）（6分）写出求方程4x8sx1在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。（2）（12分）以100,121,144为插值节点，用插值法计算历5的近似值,并利用余项估计误差。x（3）（10分）求fxe在区间0,1上的1次最佳平万逼近多项式。1sinxIdx（4）（10分）用复化Simpson公式计算积分0x的近似值，要求误差限为0.5105。（6）（5）（10分）用Gauss列主元消去法解

29、方程组:x14x22x3243xx25x?342x16x2x327521的最小二乘解13x112x2（6）（8分）求方程组11（8） （7）（8分）已知常微分方程的初值问题:dydxxy,1x1.2y（1）2用改进的Euler方法计算y（12）的近似值，取步长h0.2三.（12分，在下列5个题中至多选做3个题）（1） （1）（6分）求一次数不超过4次的多项式p（x）满足:pl 15p' 120p'' 130p 2 57p' 272（2） （2）（6分）构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度:1 .1xfxdxA0fA1f10101A（3） （3）

30、（6分）用哥法求矩阵11的模最大的特征值及其相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于0.05,取特征向量的初始近似值为1,0T。（4） （4）（6分）推导求解常微分方程初值问题y'xfx,yx,axb,yay0的形式为yi1yih0fi1fi1,i=1,2,N的公式，使其精度尽量高，其中fifxi,yi,xiaih,i=0,1，,N,（5） （5）（6分）求出用差分方法求解常微分方程的边值问题y''pxy'qxyrx0,axby'a0,yb0所得到的三对角线性方程组。数值计算方法试题答案、一、判断题：（共10分，每小题2分）1、（X）

31、2、（V）3、（X）4、（V）5、（X）6、（V）7、（X）8、（X）几,36、3、二、填空题：（共10分，每小题2分）1、98!、02、二3、二4、16、905、7、0三、三、简答题：（15分）1、1、 解：迭代函数为（x）ln（4x）/ln2(x)114 x In 2,1 4 2 ln2（k）.2、 2、答：Gauss消去法能进行到底的条件是各步消元的主元素akk全不为0,如果在消元过程中发现某个主元素为0,即使det(A)。，则消元过程将无法进行；其次，即使主元素不为0,但若主元素akk)的绝对值很小，用它作除数，将使该步消元的乘数绝对值很大，势必造成舍入误差的严重扩散，以致于方程组解的

32、精确程度受到严重影响，采用选主元的技术，可避免主元素akk)=0或akk)很小的情况发生，从而不会使计算中断或因误差扩大太大而使计算不稳定。四、五、3、3、cosx解：1 cosxf(x) 22 x 272 x I4 x4!四、解：f(x)f(x) x时,hxdx0f(x)f(x)f(x)所以,2 tx时,2 x 2i1)n4 x4!1)2n x(2n!)2n 21显然精确成立;h22hh211)2n x 丽1;hx2dx0hx3dx0hx4dx0h33h44h55h2h3其代数精确度为h203。h4xk 12h3h20 2h2 h2122h 0 3h 12123小0 4hh56 ；xk 1又

33、xk五、证明：故对一切k1 a 12(1 媪) 2(11 , 2(Xkxk)xkxakak 0,1,21,2,xk1)所以Xk1xk ,即序列xk是单调递减有下界,从而迭代过程收敛。六、六、解：是f(x)在基点1、2处的插值多项式为P(x)f(2)p(x)dx 或 f(2)其代数精度为1。七、七、证明：由题意知：AXb,AXbrA(XX)rXXA1rXx|A1|r又AXb网IAXIIIAIIXI2自cond( A)八、解：设H(x)N2(x)ax(x1)(x2)N2(x)f (0)f0,1(x 0)f0,1,2(x 0)(x 1) 112x (x 0)( x 1)2所以1H (x) 1 2x

34、x(x 1) ax(x 1)(x 2) 21由H(0) 3得：a 4所以H(x)3x 1令R(x) f(x) H(x),作辅助函数g(t)-2_f(t) H(t) k(x)t (t 1)(t 2)则g在0,3上也具有4阶连续导数且至少有4个零点：tx,0,1,2反复利用罗尔定理可得:k(x)f(4)(所以R(x)f (x) H (x) k(x)x2(x 1)(x 2)(g(4)( )0)一 x2(x 1)(x 2)bn1f(x)w(x)dxAkf(xk)九、九、证明：形如ak1的高斯(GausS)型求积公式具有最高代数精度2n+1次，它对f(x)取所有次数不超过2n+1次的多项式均精确成立ba

35、 k(x)aj(x)w(x)dx 0n1Ak(xi)j(xi)1)i12)一、 一 必) 因为1i(x)是n次多项式，且有i jbn 1lk(x)lj (x)w(x)dxAilk(xi)lj(xi)所以ai1(kj)223)取f(x)"2(x),代入求积公式:因为(x)是2n次多项式,n1b2li(x)w(x)dxAjli(xj)2A所以aj1n1b2n1blk(x)w(x)dxAkw(x)dxk1ak1a十、故结论成立。十、解：仅，%,XpfX0,X1,Xn1ppi0j0f(n1)f(Xi)(Xi(n1)!、(24分)填空题0pnxj)数值计算方法试题(9)(1)(2分)改变函数f

36、(x)收78(X1)的形式，使计算结果较精确(10)(2)(2分)若用二分法求方程fx0在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分次。(11)(3)fx(2分)设22X1X2X1X2，则f'x(12)(4)Sx(3分)设2x3,032xaxX1bxc,1x2是3次样条函数，则a=,b=,c=(13)(5)(3分)若用复化梯形公式计算1xd0e,要求误差不超过106,利用余项公式估计，至少用个求积节点。(14)(6)(6分)写出求解方程组X11.6x210.4x1x22的Gauss-Seide迭代公式,迭代矩阵为此迭代法是否收敛OA54(15)(7)(4分)设43,则IA,Co

37、ndA。(16)(8)(2分)若用Euler法求解初值问题y'10y，y01,为保证算法的绝对稳定，则步长h的取值范围为二.(64分)(9) (1)(6分)写出求方程4x8sx1在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。(10) (2)(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算历5的近似值，并利用余项估计误差。x(11) (3)(10分)求fxe在区间0,1上的1次最佳平万逼近多项式。,1sinx,Idx(12) (4)(10分)用复化Simpson公式计算积分0x的近似值，要求误差限为0.5105。(13) (5)(10分)用Gauss列主元消去法解方程组：x

38、14x22x3243Xix25x?34XiX22xi6x2X327(14) (6)(8分)求方程组(15) (7)(8分)已知常微分方程的初值问题：dydxxy,1x1.2y(1)2用改进的Euler方法计算y(12)的近似值，取步长h0.2三.(12分，在下列5个题中至多选做3个题)(6) (1)(6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足:pl15p'120p''130p257p'272)(7) (2)(6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：1 .1xfxdxA0fA1f102101A(8) (3)(6分)用哥法求矩阵11的模最大的

39、特征值及其相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于0.05,取特征向量的初始近似值为1,0T。(4) (6分)推导求解常微分方程初值问题y'xfx,yx,axb,yay0的形式为yi1yih0fi1fi1,i=1,2，,N的公式，使其精度尽量高，其中fifxi,yi,xiaih,(9) i=0,1,，N,hbaN(10) (5)(6分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题y''pxy'qxyrx0,axby'a0,yb0所得到的三对角线性方程组。数值计算方法试题答案一.（24分）f x(2分)（2） （2 分）102x12x2（2分

40、）x2x1（4）（3分）3-31（5）（3分）477x1k111.6xJk01.6k1k1,1,（6）（6分）x220.4x100.64收敛(4分)991(8)(2分)h<0.2二(64分)1八xn1xn-1cosxn(6分)n4n,n=0,1,2,1.1d'xsinx1一.44对任意的初值xo0，1,迭代公式都收敛。(2)(12分)用Newton插值方法：差分表:1001211441011120.04761900.0434783-0.000094113611510+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.7227555(4) (10 分)f'''x3-x8f'''3!5135100268115100115121115156290.00163144(10分)设xc11xc22xCiC2xf,1f,21dx10,1xdx01oxex3(x) dx 112,1,12,20xdx3f,10exp(x)dxe1f,2112c1e1c0.8731x 0.8731 1.690x1/21/3C21C21.690x4e10186ex=0.873127+1.69031xSi0.946145881122f24f10.94608693S2115S2Si0.39310-5