《1.4不等式的证明第1课时比较法、分析法》导学案

1、1.4不等式的证明第1课时比较法、分析法导学案课程目标引航1 理解用比较法、分析法证明不等式的一般方法和步骤，并能证明具体的不等式.2理解不等式证明方法的意义，并掌握不等式中取得等号的条件.基础知识梳理1. 比较法(1) 求差比较法. 理论依据：a b? ； av b? . 证明步骤： t变形tt得出结论.(2) 求商比较法.aa 理论依据：b 0, b 1?; b v 0, b 1?. 证明步骤：t变形t.【做一做1 - 1】已知x, y R, M = x2. 分析法 定义：从 出发，分析使此不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件 的问题，如果能够使这些充分条件都具备，那么

2、就可以断定原不等式成立，这种证明方法叫做 . 思路：执果索因”的证明方法，即从 出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到 为止.【做一做2】若a + b= 1,求证：a + 2 + ”b + 2电.答案：1. (1)a- b 0 a bv 0 作差 定号a b av b作商 判断与1的大小关系【做一做 1 - 1 】A M N= x2 + y2 + 1 - (x+ y + xy)=2(x2 + y2-2xy) + (x2- 2x+ 1) + (y2- 2y+ 1)12 2 2=2(x-y) + (x-1) + (y-1) 30. + y2 + 1, N = x+ y+ xy,则M与N的大

3、小关系是( ).A . M纲B . M甸C . M = ND .不能确定【做一做1- 2】设m 1, P= m- m- 1, Q = m+ 1-戸，则卩与Q的大小关系是【做一做1 2】P Q P =新弋m 1 =亦+ 0， Q =弋m+ 1 苗 = 1m+ 1 + m 0，P , m+1+ mQ_ m+ m11， P Q.2. (1)所要证明的结论是否成立分析法(2)求证的不等式找到已知不等式【做一做2】分析：利用分析法来考虑，容易找到证明思路.证明：要证 a + 2 + d:- b + 2 ,即证/b+2，即证 a+ b+ 1 + 2a+ b = 1,故就是要证1 a + 2 b + 2 W

4、 ,1 1 即证 ab + 2(a + b) + 4 W,即证abg，只需证abw守2,也就是只需2abWa2+ b2成立，这显然是成立的.故原不等式成立.重点难点突破1比较大小关系的一般方法剖析：比较大小关系的一般方法是求差或求商比较法.可以先用特殊值赋值的方法对最后的结果进行预测，再进行比较.还有一类较为特殊的比较大小的问题，如数列问题中，两个数或代数式的大小可能会随一些变量或参数的不同范围而发生变化，这就要注意对相关问题的讨论，大小关系一定或不一定，首先应判断.2求商比较法中的符号问题b剖析：在求商比较法中，a 1? b a是不正确的，这与a, b的符号有关，比如若 a, bbb0,由a

5、 1，可得ba,但若a, bv 0,由a 1,可得bv a,所以在求商比较法中，要对 a, b的符号作出判断对于此类问题，分为含参数变量类的和大小固定的，因而可以通过特殊值的方法先进行一定的猜测，进而再给出推理或证明过程.典型例题领悟题型一 用求差比较法证明不等式【例 1】已知 a, b R，且a + b = 1,求证：ax2 + by2ax+ by)2.分析:利用作差结论的步骤去证明.反思：利用比较法来证明不等式时，为了说明差式的符号， 有下列三种常用的方法：将差式分解因式；将差式通过配方写成一些正(负)数的和；构造新函数，证明函数恒正或恒负.题型二 用求商比较法证明不等式【例2】已知a羽,

6、求证：寸a + 1 寸a v ja pa一 1.分析：因为a羽，所以不等式两边都大于 0,可考虑用求商比较法比较大小.反思：根据左、右两边都含无理根号的特点，也可以采取两边平方的方法来比较，但是应先判断两边的符号，都大于 0时，两边平方是等价变形，否则要改变不等号方向.题型三 用分析法证明不等式na+ 3【例 3】已知 a, 3 0, 2 _，且 a邙，求证：tan a+ tan 3 2tan 2 .分析：本题证明关系比较复杂，直接证明不易观察出因果关系，因此可以用分析法去找出证明思路.反思：利用分析法论证 若A则B”这个命题的模式是：欲证命题 B为真，只需证明命题 B 1为真，从而又只需证明

7、命题 B2为真，从而又 只需证明命题A为真，又已知A为真，故B 为真可简写成B?Bj?B2? Bn? A.题型四易错辨析n 1n 1b a 11【例4】设a+ b 0, n为偶数，求证： 丁 + 丁潺+ b n 1n 1n nn 1n 1b a 11 a b a b错解：丁+brab =artn 为偶数， (ab)n 0.又an和an 1 bn 1同号,n 1n1b_ a_ 1 1an + bn - a - b 0, n1n1b_ a_ 1 1 an + bn 习+ b 错因分析：由a+ b0可知a, b同正，也可以存在一正一负的情况，上面错解没有考虑 这种情况，并且等号的取得也没有考虑.反思

8、：在证明不等式的过程中，充分挖掘条件，利用条件是关键，特别是等号”是否成立的条件的判断上要特别注意.答案：【例1】证明： a+ b = 1,222ax + by (ax+ by)=ax2 + by2 a2x2 2abxy b2y22 2=a(1 a)x + b(1 b)y 2abxy=abx2 + aby2 2abxy= ab(x y)2.又a, b R,2222ab(x y)丸，ax + by ax+ by).【例2】证明：T a,.Qa + 1 帝0,诉寸a 1 0,左边 a + 1 .； aa+ a 1右边、Ja a 1 _ a+ 1 + *a 2tan 一a+ 3sin a sin 3

9、 2sin 2只需证cosa+ cos3a+ 3 ,cos 2a+ 3sina+ 32sin 2只需证cosacos 3a+ 3.cos 2a+3 rna+ 3T 2 _0,2 ,. sin 2 0a+ 3 a+ 3又 T sin( a+ 3) 2sin 2 cos 2，a+ 3cos 21故只需证 cos acos 3 a+ 3,cos 2a+ 3.只需证 cos2 2 cos a COS 3,1 + C05 a+ 3即证2 cos a cos 3即证 1 + cos a cs 3 sin a sin 3 2cos a cos 3.只需证 1 cos( a 3 ,T a3，.结论显然成立.故

10、原不等式成立.【例4】正解:n1n 1b a 11+ a b =n 1 n 1 a bab当a0, b0时，(an bn)(an 1要证明(x2 y2)2(x3y3)3 . bn1)3,(ab)n0,n nn 1n 1a b a b二abn初,n 1n1b a 11- n n- a十b希十b.当a, b有一个为负数时，不妨设 a 0, b v 0./ a+ b0,二 a|b|.又tn 为偶数， (an bn)(an 1 bn 1) 0.bn/ (ab)n0,n 1 aab 0,n a综上，原不等式成立.随堂练习巩固1已知x0, y 0,则下列关系式成立的是 （）.A. x2 y2 2 x3 y

11、3 31 1C. x2y22 ： x3 y3 32设门 N十，贝U _n+ 4 n十3,B.x2y22 =x3y331 1D.x2y22 _X3y33jn+2 p n+1.3若a, b, m, n都为正实数，且 m + n= 1,则Jma+ nb与十n五的大小关系是 4(2010江苏高考)设a, b为非负实数，求证：a即证 x6 十 3x4y2 + 3x2y4 十 y6 x6 + 2x3y3 十 y6, + b3 ab(a只需证(x2+ y2)3 (x3+ y3)2,+ b2). 答案：1 11. A 假设(x2 y2f(x3y3) 3成立，下面证明： 3x2+ 3y2 2xy 成立.1 1.

12、*22、2 / 33、3(x y )2 (x y )3 , 12. v n+ 4- n+ 3=.门+ 4 + 3，i _ j 1n+2 n+屮 + 2 + ,n+ 1，* n + 4 . n + 3n + 2 + :：.：: n + 1n+ 2 ,n + 1_ n + 4 + . n+ 3 0, n+ 2 + ijn + 1 r.:n + 4 + n+ 3,.甘n+ 4 气Jn + 3 0, m a+ n b 0,ma+ nb沏 a+ n b.4. 证明：由 a, b是非负实数，求差，得 a3+ b3 ,ab(a2 + b2)= a2, a( a b)+ b2. b(. b .a)= C.a.