互成角度的两个平面镜成像

1、页眉内容两个互成角度的平面镜成像规律的研究“、从教学中引出的问题及思考MiM 2题1:如图1 ,两平面镜 M 1 M 2平行且两镜 面相对，两镜间一物点S到M 1距离3cm ,到M 2距离7cm ,求离S点最近的5个像的位置。题2:如图2,两平面镜镜面的夹角为此60两镜面间有一物点 S, S一共可成几个像？上述两题，均可以通过作图法分析得出答案。 但是，作图难免有误差，因此，作出像点的位置 就不很准确，甚至会使作图得到的成像个数与实 际不符，其次，两镜面所成夹角的大小有无数种 情况，不可能对每一角度都作图分析，特别是当 两镜面夹角很小时，所成像的个数很多，若采用 作图法更加困难，且不准确。如何

2、通过计算式确定每一像点的位置，每一像点的位置及成像的个 数与镜面夹角有何关系呢？对此问题，我查阅课本、教参书及其他有关，国门巾-口) S (K, 2 e + a )5巩小口） §国飞皆十口）资料，都找不到有关这一问题的论述。因此，我反复对这一问题进行实验和研究。二、对两平面镜组合成像规律的研究通过实验发现，当两 镜面夹角8在 0°到180°间变化时，8越大, 像的个数越少。对此，我曾试图应用平面几何有关边角关系、利用平面解析几何知识，建立平面直角坐标系及两点间的距离公式、点 到直线距离公式、两直线垂直关系求垂足坐标等方法来研究本问题，结5 凤一国口 U §

3、; -（2）果都因为计算太繁杂，无法找出其规律，于是我改用平面解析几何中的极坐标知识来讨论，比较简便地得出其规律，下面介绍其推导过程设两平面镜 Mi、M 2镜面夹角为9 （单位为度，本文所述角度均以度为单位，00 < 9 < 180° ）,两镜面间有一物点S,分别通过两镜面的直线相交于 0点，且使这两直线及物点S也处于同一平面上，令OS=R, OS与M 1的镜面夹角为a ,建立如下极坐标系：以 O点为极点, 以通过M 1的射线OM 1为极轴（如图 3）,根据平面镜成像的特点，则物 点S及各像点 Si、S2、S3、S4、.的极坐标标示如图（图中用奇数下 标表小的像点 Si、

4、S3、S5、S7、 为通过平面镜 M 1所成的像点，用偶数下标表示的像点S2、s 4、s 6、S8、为通过平面镜M2所成的像点）。1、各像点的位置由图可以看到，物点S和各像点S1、S 2、S3、S 4、都在以O为圆心，半径为R的圆 周上，各像点的位置可以用极坐标的极径和极角确定，各像点的极角如下表（表中n =3, 7, 11 , 15,等奇数）。且像点S n与S n-1的极角互为相反数。像点极角像点极角S 1一 aS 22 8 aS 3一（2 0 一 a）S 42 8 + aS 5(2 8 + a)S 64 0 一 aS 7一 (40 一 a)S 84 0 + aS 9(4 8 + a )S

5、106 8 aS n-1S nS n+1S n+22、成像的个数由图 3 可以看到，/ S 10s 2= 28, /S 3OS4= 4 8 , / S 50 s 6 =6 8, /S 70s8=8 8, /S 90s 10=108,，其余类推。因 此可以得出：当两平 面镜镜面夹角 为8 ° （ 0°1800 ）时，物点S经两平面镜所成的像的个数为m = 2 X 360 20即 m = 360 + 0对上式，有几点必须说明：（1） .当m为偶数时，成像个数为m,但最后两个像重合于同一点，且在SO直线上，该点与 。点距离等于 OS,所以实际看到的像是（ m 1 ） 个。例如，当

6、8= 60°时，成6个像，而实际看到的像是5个（如图4）。图4图5（2） .当m为奇数时，成像个数与实际看到的像的个数都为m。例如当8 = 7 2 °时，m = 5 ,所成的像和实际看到的像都是5个（如图5 ）。（3） .当m为非整数时，成像个数与看到的像的个数一致，但可能是小于m的最大整数，也可能是大于m的最小整数（不能采用四舍五入的规则），这要根 据物点的位 置而定。例如，当8 =50°时，m= 7.2,即成 像可能是7个也可能是8个，当口= 25°时，成8个像（如图6）,当a=10°时，成7个像（如图7）。（4） .当8 = 0°

7、;时，R-oo,成像为无限多个。（5） .当8= 180°时，m=2,即成像为2个，实际看到的像是1个， 相当于单块平面镜成像的情况。（6）当两镜面的夹角大于1800时，当物点在两镜背面的夹角的对角范围内时则成两个像（否则只是单个平面镜成像），因为此时从物点发出的光线经其中一平面镜反射后不能再射到另一平面镜上（如图8）。图8三、两平面镜组合成像规律在教学中的应用得出上述规律之后，我为培优小组的学生讲解这个规律及推导过程，他们对这个规律表现出浓厚的兴趣，并应用这个规律来解决课外练习上 的同类问题。例如，学生在末掌握两平面镜组合成像的规律之前采用作 图法讨论两镜面成30°角时的成像个数，有的成 10个像，有的成 11个像，有的成12个像（最后两个像不重合），到底应成多少个像呢？学生觉得不可思议， 当学生掌握这一成像规律后，就轻易地解决了这一问题。对此，学生的体会是：把作图法和计算法结合起来，解答这类问题便更 加简单、准确。由此，我深深体会到，教师在教学中不但要帮助学生理解和掌握教 材中已经得出的规律，而且要善于归纳和推导教材中没有给出的规律，以指导和帮助学生解决有关的问题，这对培养学生