东北师大附中2021届高三上学期第二次摸底考试数学试题(含答案解析)

1、东北师大附中2018级高三年级第二次摸底考试（数学）学科试题理科数学第I卷（选择题共60分）一、选择题本大题共12小题，每题S分，共画分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.1 .已知片（4/一4才+3<0, Q=yy=T 则 2Q=（）C. (1,2)A- 0,1)2 .已知i为虚数单位，aWR,若2二为纯虚数，题"（）a+iA. 23 .由曲线y = x）y =五闱成的抖用图形的面积为（）5124 .命题aVxGR, |r|十/）（T的否定是（A. VxSR.lxl+OB. VxG R，H+d<0C. &心d+x整0D. 9xoR.|xo|+

2、xo4>05. Lt知4 = 1.68,/>=dog/0, c = sinl-cosl» 则 a, by。的大小关系是(A. d>b>cB. b>a>cC. »if>Q1 / 219-64225 A.6,图I是我国古代数学家赵爽创制的幅“勾股图方图”（乂称“越爽弦图” ,它是由四个全等的直角三 角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方虺，受共启发，某同学设计了一个图形，它是由三个氽等的 钝角，角形与中同一个小正二角形拼成一个大正二角形，如图Z所示，若3160-L则在岐个图形中 随机取点，此点来自中间一个小正式角形（阴影部分）的概率为

3、（ ）B.49D 73 方-y - 6so7.设实数x, y满足约束条件x-y + 220 .若目标函数、方2 0,yN0 42 = 3勿+ 2如3>0,6>0）的最大值为2,则一的最小值为（a bA. 10B.4C,98.已知双曲线:x2 y2= 1SX）力>0）的一条渐近缝与函数产1+1rw痴2的图象相切.则双曲线r的熟心率等于（）A, y/lB.石C. y/59 .设等比数列1%的公比为分其附n项和为前n项枳为八，并11涉足条件的1,忆1,空二0, %-1则下列结论正确的是（）A. awQlB, 01 C,£的最大值为&D.h的最大值为T110 .过抛

4、物线C; y2=4x的燎点K 目斜率为石的宜线交C 丁点题在工轴上方），/为C的准线，点N在上且MVJJ,则点切到直线N"的距离为（）A. 4iB. 3y/3C. 26D. 2丁211 .己知函数% = /008（也+砌Q0,g。侧9）的医象如图所示，令名（工）=/（x） + fx）,则卜 工列关于函数舱）的说法中正确的处A.函数狼X）的最大值为2B.C.D.的数城的图象的对称轴方程为x = 4/十行依巨Z）函数虱t）的图象上存在点P,使得在P点处的切线与直线尸-3笫”平行 若函数牝+如2的两个不M零点分别为WM，则M-幻的最小值为?5/2112 .若函数/（“）=Q，2%-10与&

5、quot;30）在区间（0,2）内有两个不同的零点，则实数&的取笊范围是（）第n卷（非选择题共90分）二、填空题本小题共4小寓每题5分，共20分）13 .已知平面向呈Z, B满足同=2,恸=1干4涕卜26，则£与的夹角为14 .已知八3c的内角4历。的对边分别为小6, c.若7%八"C的面积为.十） -16 ,则褂。4面积的最大笊为15 .有下列四个说注,余数/（r）=sinx-lgx有T个零点;函数/（幻=&+6 + , 1 的最小值为2,先科函数y = sinx的图汆上各点纵坐标不变，横坐标缩小为原来的J后，再将所得函数图象移体向左甲jrjr移£

6、;个单位，可得的数j = siM2x+g)的图象，63函数/(刈=«8而工同一羡加上单调递减，0,-1上单调递烟.其中正确的是.(填上所有正确说法的序号)16 .在三棱锥f 8C中，平面必5,平而N8C, 的是边长为2石 的等边三角形7其中用三* J7,则该三梭维外接球的表面积为.三、解答廖 共70分.解答成写出文字说虬 证明过程或演算步骤17 .已知等差数列为的公差为2,且aiTqzTqH成等比数列.(1)求数列备的通项公式；<2)(nEN*),数列瓦的前n顼和&,求使工成立的培大正整数n的值.718.某校高.：(1)、(2)两个班联合开展“新冠肺炎知识竞赛”以预防箭

7、冠肺炎为主题班会活动.主持人从这两 个班分别随机选出2。名同学进行当场测试，他们的成绩按40却)“50即卜6。,70)470,网”80,90» 叫100(2)班20名同学成绩茎叶图(1)班20名同学成绩频去分布直方图4 56789分组.分别用频率分布直方图茎叶图统计如下(单位2分):24 5 6 8055888890 0 5 54 5(1)分别计匏两个班这20名同学的测试成绩在8090)的频率，并补氽频率分布直方图:(2)分别从两个班各曲火山取1人，设这两人中成绩在80,90)的人数为名 求¥的分布列.(频率约作概率 使用)19.已知椭网C 1十4=1(”汴>0)的左

8、、右焦点分别为*后向产式3行，且该聊圆过点/(心一). 82(I)求椭圆C的标准方程彳(2)过椭恻C的右顶点作互相垂直的两条宣线iuh分别交椅用C于PQ两点(点PQ不同T椭愤I C的右顶 点)，证明：直线 股过定点并求出定点坐标.20.如图，已知雄三核柱/8C-H向G中.N8C布90Mo88, 4,在底面48c上的射影恰为的中点D, 1140=6.求gAiBLACn(2)求直线方与平面&MC/所成角的正弦什h在寸蜕GC：找一点M 使得二面角好4，BlG的平面角为90。.21 .已知函数/") = ；sinx-/% + l,八月悬力的导函数.N2#证明：当m2时7在(Q.+8)

9、上行唯一零点1(2)若存在xj,以£(0广8且工iX必时，危1月(右)，证明：项4谒.(二)选考题，共10分。靖考生在第23 23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分.22 .在直用坐标系.中，以原点。为极点，以x轴非负半柏为极轴,与直角坐标系x处取相同的长度单位，建立极坐标系.设曲线C的参数方程为卜二 85®,强为参数)，直线/的极坐标方程为 L y = sin&尸 8s(0_二)=4人.4。)写出曲线C的普诩方程和直线/的耳角坐标方理；(2)求的筐C卜的点到直线I的最大距窝.23 .(选修4-5,不等式选讲)L1 知函数/(x)=|2r-l|K2K+

10、a|, g(x) = x+3.(1)当妙-2时，求不等式/(x)Vg(x)的解集,(11)设心-1,是当xe-3，：M，/(*)«&(*),求。的取值范围.东北师大附中2018级高三年级第二次摸底考试(数学)学科试题详解理科数学L【答案】C【分析】本题考查集合交集的计算，涉及到指数函数的性炭以及一位二次不等式的求解，属于基础题.光化箭集合P Q,再根据交集的定义即可得到答案.髀答解:4(1,3),十。所以 PC0HI2)故选C.2 .【答案】Dt分析】木题考杳了复数代数形式的乘除运算以及奥数的法木概念，是其川期.利用弼代数形式的乘除运算化简，再由实部为0IL虚部不为0求解.【

11、解答】 舒默瑟=得+言，为加题2”1 = 0 -2 - a 工 0即 a=-.2故选D.3 .【答案】C【分析】木主要题考查利用定相分求封闭图形的面积，拈基础题. 可先把所求面积用定积分表示，再求解即可.【解答】 解;由31所以封闭图形的面积为£(JJ 一9冲二弓/一 ；/ 故选C.4 .【答案】C【分析】本题考查全称后同命题的否定，属于基潮题.全称为同命题的否定为存在量询命邈，改盘词再否定结论即可.【解答】解：俞题“VxWRMVxr是余称量词命如它的否定为：WRJ却十 m4<V 故答窠选C.5 .【答案】B【分析】本题考注大小比较，方在指数函数，对数的数，以及三角前数性质，属

12、于基础题,解题时依次判 断】<a<2. b?2 c<l【解答】门=1.6% =1.6°8<2,b = log? 10 >log>9-2f 0<c = sinl-cosl<h:b>0c.故答案选：B.6 .【答案】B【分析】本题考查三角形的余弦定理，与查方程思想和运算能力，属于基础题.求得/ADBT20。，在4 ABD+，运用余弦定理，求得AB,以及DE,根据三角形的而积与边长之间的关系即可求解.【解答】解：丫4股炉180 -60'=1207在4ABD 中，可得 /Hg8A2Q8D，884DB,即为/龙斗35乂5父3乂(-1

13、2)=49,解得48-7,与如_(2y_ 4 =3, "49蝇：B.7 .恪案】C1分析】本题考青简单线性规划及利用拓本不等式求救值，考杳了学生的讦算能力，属于中档题.由线性规划得a. b的关系,然后利用基本不等式求解即可.【解答】"3工-歹-6<0解：作出不等式组;x-y+20表亦的平面区域如下图, 工之0,)之010-B得到如图的四边形。仍C及其内部，其中/(2,0)，8(4,6), C&2)，。为坐标原点, 设护3的卜2勿<3。>0),将TI战/： 30n2如H进行平移，观察y轴上的碾里变化， 可得当1经过点B时，目标函数n达到最大值， ，z

14、m,L12+12Z>H2, UPo+6R.所以工+ g = (a + bX+?) = 5十2十字25 + 2、口乂学二9 a oa b a b a o4当2l6时取等号,所以一十1的最小位为9.a b故选c.8.1答案】C【分析】本题考查双前线的离心率.考查导数知识的运用，考查学生分析解决时题的能力，考查学生的 计算能力，属于小档题.%h设切点£用小 则h加，I+tam+ln2,求导箱 利用渐近统与的散产1+11焊1112的图象相切，求出一=2» aa即可求出双曲线的再心率.【解答】解：设切点(也叫 则MH=l+ltv»+h2,a.尸1 十InrHnZ,“r

15、=LX 1 bJ. 二- 9m aAw=L wr >故选：C.9 .【答案】B【分析】本题考查等比数列性质，根据药,攻7>1,空口。，可知a<1",所以o<g 然后判断选项 6一1属于中档题，【解答解：<0,可知.5生一个比1大，一个比I小，又0>1,所以可知仍<1”所以。<4<1,故B对.其他选项，A选项无法判断，C选项为M, Sn无最大值，D选项，由宝<1<"6知， Tn的最大值为故答案选B10 .【答案】C【分析】本题考查抛物线的他单几何性质及直线与抛物线的位置关系，考查推理能力和计算能力，属于中衿题.

16、 利用己知条件求出M的坐标，求出N的坐标，进一步利用立线的点斜式方程得出直线NF的方程，再利用 点到口线的矩离公式求解即可.【解答】解：过抛物线C： 丁二4%的焦立如,0),且斜率为6的直线为： > =右。一】)，J3厂或2白尸一亍过抛物线G / = 4x的底点F,且斜率为百的直城交C 丁点软“在x轴上方)，r = 3厂L贝忆做3,2®. y = 243v2 = 4x由彳 ，解得卜=限兀-1) 又点N在准缄37上，旦MNL故呼得MT, 2代)，所以当线NF的斜率网广到二1=M11则NF的方程为，y = J?(x-l),即6x+j-JJ = 0,则历到直线W尸的距离为:B3+2后

17、-码=2瓦故选C11 .【答案】D【分析】 本题看看了由y = 4sin(r十的的部分图象确定解析式，也考查了叁数的应用以及命题真假的判断问题, 9 / 21属于难题.根据函数式）的图彖求出乩八°利中的值,匕出为）的解析式，求出式,瑞写出ga）=/a）+/a）的 解析式再判断题目中的选项是否正确.【解答】 解：根据的数/（m）=小必如+夕）的图象知.T 2n n n卬 4=-1 = T二片加,=根据五点法西图知，当工=工时.5:+口 =三+尹='+ 2开> kEZ, 662叫竹，A /(x) = 2sin(x+y),» /x) = 2cos(x+令，*(x)

18、= /(x)+/Xx) = 2sin(x+y)+2cos(x + y)2>/2sin(x+y+-)2 式 sifl(K 疝 INA7万二/, r令x+-=Tk* kGZ,12 27T 解得x =十斤乃，南wz.12yr7/T 7C二函数对力的对称辅方程为工二一不+化r, kez, B错识；当jc+石=彳+28r, 4&Z时，函数4）取 14J 4 /得最大值2式，A错误：gQ） = 2夜COS（X4-y）， I Nr暇设函数如r）的图象上存在点P（XqJ，Q, 使在在尸点处的切线与直触h尸371邛行, 则k = g'«） = 2应8网+停=3解得cos®

19、; +=赤显然不成立,所以假设错误，GHC错误方程 j?(x><2,则 2& sin(+等)=2,1乙. / 7几、衣sin(x+)= >12274 尸” 7/r 3加，一Ax+ =+2左力或x+=+24江，A£Z： 12 4124，方程的两个不同的解分别为的，检时，厮-刈的最小值为"I，DE确.故选D.12 .【答案】A【分析】本麹考查的知识点是利用导函数判断函数单调性时，函数零点存在定义，利用导数求出最值是关城，属于 中档题.分离常数，构造函数，利用导致求山函数的城值，问愿得以解决，【解答】M： V/(x) = -, + 2jv-log2 =

20、0,log2 a = + 2在（0工）内右两解, x令 y=J+2,则 y'=-4".,.y在(0,1)为减的数，在。,2)上为增的数, 二当X-1时，取得最小ft,尸3,当 x-0 时，y+°°,当行2时，y二与上工3V】脸等，£*4 :.8 Vg2k,故选A,13 .【咎案】, 3【分析】木遨考查向量的夹柏，难度较易.先求卅2与B的数量积，再套向量的央角公式即可.【解答】解：设。与b的夹角为的坤+2*26可用 +4商+45 =12,: a =2,|1=1, p + 26| = 2>/3二4+4 3 3+4=12.A cosa =i 一a

21、b 1VO<tt<JEt <i= 315 / 2114【答案】4、6 + 4【分析】本题考直解三角形，需要熟练的掌握余弦定理与三角形的面积公式,中档题.先要有题所给条件求出角。为-，在利用余弦定理和基本不等式即可得到答案.4【解答】解：因为。=4 ,人卫滔+卢 16 片+庐- c241 滔十庐一点/. absinC =,2 4八2 l2八2a 十。-c. sin。=,2ab所以幺BC的面积为=.2 +群_潜又由余弦定理可得cos。=-2ab/. sinC = cosC , 即 tanC = 1 r 又 0 < C < 7T ,.c=, 4又因为庐，2="

22、2ab得浸 + 理=16 + y/2ab根据®本不等式可得16 + y/2ab22ah ,等号成立时，a = 6 ,得而&16,2-/2所以=一。碗口。2所以三角形工3C面积的最大值为4禽+ 4 . 故答案为4反+4 .15【答案】0【分析】本题考亘了命题真假的判定，涉及了函数的零点，利用基本不等式求最值，三角区数的5）像变涣,以及函数的中 m,属于中格牌.考刍了函数的窑点问国,利用函数与方程思想将其转化成函数图像交点句题，利用笈本不式求最值.注意“一正二定三相等的条件，老瓷了图像的变换，利用“左加石常 的平移规律（针对的是切；考查了利用导数研究座数的单调性及单调区间【解答】

23、解：函数/（才）- biuz - 1g才有三个零点y - sin=与y 1g工有三个交点:作图如下：日圈可知：正确;因为 /（x） =，/十 6 十一： > 2 t 42 + 6- = 2,x/z2 + 6，*2 6当，箝7 =1. = / = -5 ,因此等号取不到，故错误；2 + 6> =sin7纵坐标不交帙坐标缩小为原米的LlZ= “in 2工向左平移三个单位2> ®故正确；/ （工）=sinh + TCOSN：当，6 - ju ,/ （了）。，/华调递减;当工£ 0, »/ （工）。/（力单调递增 122.;故旧削故填.16 .【答案】6

24、5万【分析】本题考查三核维a湘关性质，主要考有三棱卷的夕底球的相关性质，首先可以遒过题意限出图象，然后通过三棱性质以及三棱锥的夕峻集的相关性质来确定圆心的位置，最后根据各边所满足的几何关系列出算式，即可得出结果.【解答】解：如图所示，作48中点D ,连接PD. CD .在CD上作三角形ABC的中心E ,过点E作平面4BC的垂 线，在垂位取一点。，使得PO = OC.因为三棱镇底面是一个边长为28的等边三角形,E为三角形的中<>,所以三棱锥的外接球的球心在过点E的平面?18c的垂虹,因为PO -。，P.。两点在三窗隹的外接球的球面上，所以。点即为球心， 因为平面P43,平面ABC ,

25、 PA = PB t。为48中点,所以PD_L平面ABC ,CD = /CX2 - AD2 = /123 = 3 ,2CE = -CD = 2 , DE CD- CE3PD= VPB2- BD2= 2 ,设球的半径为r ,则右尸。一。一丁，OE- "-4 . PD - O£)2 + DE2 = PO2 ,即(2 Q77司2 +5=卫，解得，2651665?故表面枳为S - 4xr2 -4故答案为65万17 .【解析】本题考查等差数列的通项公式及等比数列的性质，同时名查裂项相消法求和.(I)由等差数列的通】次公式和等比数列的性质求出公差4即可求解；(2)裂项相消法求和即可求解

26、，然后解不等式即可.【答案】解：由越歌，(。2 -1)2 二(n -。(。4 -1)，即(01 + 1)2 =(町一1两 + 5),躺寻町=3 由册=(2n + l)(2n + 3) 2 2n + l 2n+ 3).2n +1 2n+ 3 I11 1 / 2 3 2n + 3 - 3(2n + 3)me1J 1 1 1得 Sn =。1 +。2 +。3+。口 =h+2 3 5 5 7由一解得n<9, 3 伽 + 3) 7故所求酿龙陞瓢为8 .1918.【解析】本题号含了频率分布直方图，茎川图，扇散型随机变录的分布列，屈丁中档题.(1根据面积之和等于1计算(1班成绩在80, 90)的频率：直

27、角根据公式计算(2)班成绩在80, 90) 的频率；(2)利用组合数公式计算概率.解：(1)(1)班的同学成绩在80,90)的频率为：1 - (0.005 + 0.015 + 0.005 + 0.02 + 0.015) x 10 = 0.4, 4(2)班的同学成绩在80,90)的频率为：=0.2.补全频率分布直方察如下：19 / 21P(X = 0)=P(X =1)=P(X = 2)=(1)班20名同学成筑箱率分布立方图(2)(1)班成绩在80,90)上的人数有20 x 0.4 = 8人，(2)班成绩在80,90)上的人数有4人, 1.X的可能取值为0, 1, 2.* _ 12砥0。- 25&

28、#39;.卜盘+盘.0 _ 11CJo，CJo 25C-0 _ 2GL , GJo 如，丫的分布列为;X012P12251125225楣援%查了阚方程，以姓钻桐的位1繇,是较朝,利用确图的定义求解a.然后树雕圆中a , b . c的关系求解b ,从而得翎噩1C的标准方程;（2）显港圉1 ,圆啜率存在且不为0，设直阳1的方程为：二my+ 2 ,则直饯卜的方程为:1- 2m2 + 8 -4ni工=-一心2 ,联立邯包与幡圆方程,利用韦达定理可求出Af（一,）,同理可得 m宗 + 4 m2 + 42二一-），当m /土1时，直励”的方程4nj2 + 1 4拒 +1y=工+ = -（I-），所以直域M

29、Y过定点（鼻0），当m 二 土 1时,亘线M,V 4（宗 _ ° 4储 -1）1（睨2 -1）55的方程为：. = ",直她过点（3。），故直线MN过定点占0） .555【答案】解：（1）由椭国的定义可得2a = |工巧| + AF2 = J（2、）2 + （：）2 +彳=4,解闻a = 2 .又庐二/ - "J尸=, 72所以椭区。的标准方程为+ y24由显然直浅人,小的斜率存在且不为0 ,设A :工= my+2/2：, = -一I/ + 2 , rn(-2m2 + 8 -4m ,th2 + 4 m2 + 4同理可得N-2+ 8 J 4m4m2 + 1 4m2

30、+ 1当m / ±1时，kMN =,所以直线MN的方程为y + *-=(工一二1_L 4 (m2 - 1)" + 4 4(m2-l)l m? + 4整理得y = / +=(X-y,所以直设4,2-1)4 (m2 - 1)4"-1) '5)当m = ±1时，直线MN的方程为上=g ,直送也过点（三0 所以直歧MN过定点（右0）20蟀析本题考杳了用空间向母判断线线乖直.求线面角求一面角，是一道难题.(I)根据向信的数是积等于。可以证明；求出平面4汨心的法向量，设小心平面出8c所成角为a, sina=cos(4瓦司 可以得出答案;(3H戈出平面由历时和

31、平面小G的法向量，恨捌法向员夹角可以表示出一面角，从而求出结论.【会】证明：(I)方法一：作。E一4c交4B于点E，分别以DE,OC,O由所在宜设为地建系，4 0一1,0,。(0,1,0),0(2,1,0),41(0,0,8),。1(0,2,遮)f所以不5= (2,1,通),混=(0,3,4)，江届,= 0 + 3- 3 = 0 ,所以ARMCi ,因为平面为为。1平面”K ,所以平面为"1G的一个法向量为言=(0,0,1), 因为五治=(2,1,-通)，所以五丁,肃=一通.|而| = W+l + 3 =2g ,> T -，5>/6eg < A1B, m >=

32、,1 x2x/24设线工1B与平面4为3所成角为c , sin a = |cos < AjB, rn > | = 4(3)的，设 CN-ACCi - (0,入6入),(0 < A C 1 )= (2,2,0) ,= zjc+CW = (0,A* hVA- /i),设平面MAi"i的一个法向量为n = Q,y,z)堂二Fd)y , z -/3X - y/3AU； 喘=0 r 2x + 2y = 0 n -0 I (+1)"+(四-W)z=。r ， A + l 、 n =-) ,V。-6rn -= 0 .得人=-1.所以时在CC1的延长虹且|CM = |CQ|

33、 .21.【和后先求出/）,分析出当工w。斤）时，/为增函数，且/X工）- 1 一1一-三< o .34 k & 仃广k）二士 - L >。，得乳/在（。）上有唯一零点，又因为当t w优+8）时，2 Mr（T）=】-9M& -所以r（力在吊-8）上没有零点，从而得出r在2£222 打（0t +8）上有唯一零点；不妨设0 <町（工2，由/（町）=/12）得一 L加町/ivrj + 1 =也'iru*2 -巴*2 + 1 即 2222一（lnT2 -. 2 七1 一 一（§"于2 - s,ni'）.22设g（»

34、; =sinz ,利用导数得到g（z）在（0, I 8）为中更数.从而m > 产二町一,再让朗：lnx2 - Inxi>，甲2从而得出m > J町即町22 <.Inx2 lni本翦主要考旨了利用分数研究用数的零卓，利用导数研究函数的单调性，是中档题.【答案】证明：(1)当 m = 2时，/(工)=* - ain« - Mb + 1 t 尸(z)当工c（0#时，八工）为塔由敌，且八Z）=1 " 34/（工）在。力上有唯一库点，当 £ W 氏 +8）时 9 / '（£）= 1CC321222尸（工）在卜,+刈±；殳有

35、零点.综上知,尸在（0. I 8）上看唯一零点；337T 41C08 牙,2 x3 31一 <o ,r 一一o ,TT2”11c 一 >0 ,2 万(2)56设。<< 2 9 由/(") = /(工2)得工1 - Ls，8 Inxi + 1 =72 一 上§碗了2 一 + 1，2222工(/nr2 - nN)=12 一 11 一 一(sinz:2 >tnj£).22设g) = 6 -sinx ,则，=1 - com > 0 ,牧火工)在(0,+8)为增函数，/,工2 式口，2 > X1 $沦口 , 从而12 X1 > 而12 $沁町 :.(Mtj 一 历町)=益一到 (sin2 一 sMs。一 人)