华东理工大学高数第14章

1、第 14 章 （之1）（总第75次）教学内容：§14.1第二型曲线积分*1设则 （ ）（A）；（B）；（C）；（D）答：(B).2计算下列曲线积分：*（1）计算，其中是圆周的逆时针方向解：令则： =*（2） 计算 ，其中是曲线的一段弧*(3)计算，其中L是从O(0，0)沿曲线，到B(0，2)*(4)，其中是由与构成的简单闭曲线解： *(5)，其中是圆在第一象限中自点到点的弧段解： *3. 分别计算质点在力作用下，沿下列各种路径自点移动到 时，所作的功： （1）；（2）； (3) 解：力， （1） （2） (3) *4. 计算曲线积分，其中自点 沿直线到点，在沿双曲线到点，又沿直线到点

2、解： *5. 质点在力场的作用下，从点沿椭圆在第一象限内运动到点 ，试求力场所作的功假定在任一点处的大小等于 而方向指向原点解：*6计算曲线积分 ，其中是曲线+自点到点，而向量场为：+解： *7计算曲线积分：，其中为曲线，（）解：原式第 14 章（之2）（总第76次）教学内容：§14.2格林公式1.选择*(1) 设L是圆周 x2+y2=a2 (a>0)负向一周，则曲线积分 （ ） 答：(A) *(2) 设L是 |y|=1x2表示的围线的正向，则 （ ） (A) 0. (B) 2. (C) . (D) . 答：(A) 2求下列曲线积分：*(1)计算曲线积分 ，式中L是由x2+y2

3、x, x2+y2y 所确定的公共闭区域的正向边界 *(2) 计算曲线积分 ，式中L是由y=|x| 及y = x22所围成的有 界闭区域的正向边界 *(3) 计算曲线积分 ，其中L是以A(1，0)，B(0，1)及E (1，0)为顶 点的三角形正向周界解：原式3利用曲线积分计算下列曲线所围成平面图形的面积：*（1）用曲线积分计算由闭曲线所围成的图形的面积，其中解： *（2）笛卡尔叶形线 解：面积 4在下列各题中适当补上一条曲线，使积分路径成闭曲线，再考虑用格林公式：*（1），其中自点出发，沿曲线 至点；解：补上直线AO：从点（，）沿轴到点（，）， 于是 而， *（2） 计算曲线积分 ，式中L是从沿

4、曲线到 的有向弧段*5. 计算曲线积分 ，式中L是从原点沿摆线 到达的一拱有向弧段(a>0)解：，点除外故在不包括点的单连通区域内积分与路径无关取L1为曲线 t从 p 到0则=1*6. 把第二型（对坐标的）曲线积分化为第一型（对弧长的）曲线积分 ，式中L是从 沿上半 圆周到的有向弧段 第 14 章 （之3）（总第77次）教学内容：§14.2 格林公式（续）1 选择题*（1） 曲线积分的值 （ ）(A) 与曲线L及起点、终点均有关；(B) 与曲线L无关，仅与其起点及终点有关；(C) 与曲线L及起点无关，仅与终点无关；(D) 与曲线L及起点终点都无关答：（B） *（2） 设C是从A

5、(1，1)到B(2，3)的直线，则（ ） 答：（D）（3）若可微函数的全微分为，则 （ ）（A）； （B）；（C）； （D）答：（A）*2验证下列曲线积分的积分路径无关性，并据此而另取一特殊路径以计算其值： ，其中是圆周在第一象限自至的一段圆弧解：， 则，所以积分在区域或内与路径无关 *3. 验证：存在使，并求。*4试用求原函数增量的方法，计算下述与路径无关的曲线积分： 解： 5求下列全微分方程得通解*（1） ；解：， 故通解为 *（2） 解： ， 故通解为*6. 试确定l的值，使得 的值与路径无关，其中C为与X轴不相交(或不相接触)；并计算 解：， 由，推出，即 即当时，曲线积分与路径无关*

6、7. 试检验下列向量场 是否为梯度场？若是，则求出函数，使解：，是梯度场而且 第 14 章 （之4）（总第78次）教学内容：§14.3第二型曲面积分*1设为柱面被平面及所截得的第一卦限部分的前侧，则 ( ) （A）； （B）； （C）； （D）答：（B）*2计算曲面积分：，其中为马鞍面上 部分，积分沿的上侧解： ，其中 *3计算曲面积分：，其中 为球面 在第一、四卦限（，）的部分，积分沿的上侧；解：的单位正法向为 ， 原式*4 若 ijk，其中，为常数，为单位闭球面试证 证：利用第一型与第二型曲面积分的联系及的方程，的单位正法为 可得 由于关于为奇函数，且关于坐标面对称，故同理 从而

7、有 *5计算下列闭曲面上的曲面积分（积分沿区域 之边界曲面 的外侧）： ，其中 ；解： *6用两种方法（按14.3.3中的公式化为二重积分,或先化为第一型曲面积分后再计算）计算下列曲面积分：，其中为双叶双曲面（）上部分，积分沿的下侧解法一： 解法二：的单位正法向为 原式 ， 原式 *7计算下列闭曲面上的曲面积分（积分沿区域 之边界曲面 的外侧）：，其中 ；解：在曲面上及部分的上，所以在曲面上及部分的上，所以在曲面上及部分的上，所以，原式 第 14 章 （之5）（总第79次）教学内容：§14.4 奥-高公式1 解下列各题：*（1）向量场+的散度=_ 解：， *（2）设A,B ,则div

8、()=_解： =3yz22xyz,2x2z4xyz,4xy23xyz. div(A×B)=2yz4xz3xy. *（3）设函数f (u, v, w)对各变元具有二阶连续偏导数，则divgradf (x,xy,z)=_.答：f11+2yf12+(x2+y2)f22+f33*2计算曲面积分，其中由圆柱面 及平面围成，而 为立体 的边界曲面，积分沿的外侧解：由奥高公式，原式 *3计算，其中是球体：x2+y2+z22z的表 面的外侧解：由高斯公式 *4计算，其中是平面x+z=1曲面y= 及坐标面y=0,z=0所围成立体的外表面解：由高斯公式 *5计算其中是由x2+y2+z2a2 , x2+y

9、2+z24a2及所确定的立体的表面的外侧，a为正数解： *6计算曲面积分：，其中为曲面在的部分，积分沿的上侧解：记方向取下侧，则 *7计算，其中是球面满足 的那部分曲面的上侧解：补平面块1：z=1,x2+y21，下侧 和1围成半球体，由高斯公式 *8计算通量： ，其中为半径等于4的球面，为曲面上点的径向量解： *9求流速为+的不可压缩流体（流体密度常数）在单位时间内，流经上半单位球面上侧的流量解：记方向取下侧，则 其中为所围的立体区域第14章 （之6）（总第80次）教学内容：§14.5 斯托克斯公式1解下列各题：*（1）设r，r=|r|,则下列表达式中有意义的是 （ ）（A）； （B

10、）grad(rot r)；（C）div(div r)； （D）rot(div r)答：（A）*（2）向量场）的旋度为_解：*（3）设向量场F=x2+ln(1+y2)izsinxj+(exy2xz)k, G=(z2+xcosx2)i+y2eyj+(2xz+arctgz)k, 则 （ ）(A) F , G 都是无旋场 (B) F是无旋场，G是无源场(C) F是无源场，G是无旋场 (D) F，G都是无源场答：(C)*（4）设函数具有二阶连续偏导数，则_ . 答： *2验证曲线积分满足与路径无关的条件，求出其值解： ， ， ， ， 且都是类函数曲线积分与积分路径无关.*3向量场是否为无旋场？为什么？

11、解：因为连续且，所以给定向量场是无旋场*4验证向量场为无旋场并求，使（），（）解：因为连续且rot，所以A为无旋场*5计算，其中为从原点出发的在圆锥面上的任意一条到点的有向光滑曲线解：， ， ， 曲线积分与路径无关 .*6计算 (y2z2) dx+(z2x2) dy+(x2y2) dz，其中 为球面 x2+y2+z2=a2 的外侧的位于 x0,y0,z0部分的正向边界，.解：P=y2z2,Q=z2x2,R=x2y2, 取为：x2+y2+z2=a2,x0,y0,z0.上侧由斯托克斯公式 因在xoy面上的投影域为D：x2+y2a2,x0,y0. *7试证： 其中是平面曲线， ，其正向使确定出所在平面的正法向指向上解：*