历年概率论与数理统计试题分章整理

1、历年概率论与数理统计试题分章整理第1章一、选择与填空11级1、设，则 。1、设为随机事件，则下列选项中一定正确的是 D 。(A) 若，则为不可能事件(B) 若与相互独立，则与互不相容(C) 若与互不相容，则(D) 若，则10级1. 若为两个随机事件，则下列选项中正确的是C 。(A) (B) (C) (D) 1. 某人向同一目标独立重复进行射击，每次射击命中的概率为，则此人第4次射击恰好是第2次命中目标的概率为 。2. 在中随机取数，在中随机取数，则事件的概率为 。09级1. 10件产品中有8件正品，2件次品，任选两件产品，则恰有一件为次品的概率为 .2. 在区间中随机地取两个数，则事件两数之和

2、大于的概率为 .1. 设为两个随机事件，若事件的概率满足，且有等式成立，则事件 C .(A) 互斥(B) 对立(C) 相互独立(D) 不独立08级1、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意拨号，则拨号不超过三次而接通电话的概率为 B 。(A) (B) (C) (D) 1、在区间之间随机地投两点，则两点间距离小于的概率为 。07级1、10把钥匙中有3把能打开门锁，今任取两把钥匙，则打不开门锁的概率为 。2、在区间之间随机地取两个数，则事件两数的最大值大于发生的概率为。二、计算与应用11级有两个盒子，第一个盒子装有2个红球1个黑球，第二个盒子装有2个红球2个黑球，现从这两个盒子中各任取一球放在

3、一起，再从中任取一球。（1）求这个球是红球的概率；（2）重复上述过程10次，记表示出现取出的球为红球的次数，求。解答：（1）令事件取得一个红球，事件从第i个盒子中取得一个红球，于是，由全概率公式有 .4分（2） .4分10级1. 已知为两个随机事件，且，求：（1）；（2）；（3）。解答：（1） 2分 2分（2） 2分（3）方法1： 2分方法2： 2分09级1. 设为两个随机事件，且有，计算：（1）； （2）； （3）.解答：（1）； 1分（2），故； 2分（3） . 3分08级1、 设为两个事件，求：（1）； （2）； （3）.解答： 07级2、 设为三个事件，且，求：（1）； （2）； （3

4、）至少有一个发生的概率。解答：（1）；（2）；（3） P至少有一个发生。第2章一、选择与填空11级2、设随机变量服从正态分布，为其分布函数，则对任意实数，有 1 。10级3. 设随机变量与相互独立且服从同一分布： ，则概率的值为 。08级2、设相互独立的两个随机变量，的分布函数分别为，则的分布函数是 C 。(A) (B) (C) (D) 3、设随机变量，且与相互独立，则 A 。(A) (B) (C) (D) 07级1、已知随机变量X服从参数，的二项分布，为X的分布函数，则 D 。(A) (B) (C) (D) 二、计算与应用11级1、已知随机变量的概率密度函数为求：（1）的分布函数； （2）概

5、率。解答：（1） 当时， .1分当时， .2分当时， .1分综上，（2） .3分2、设连续型随机变量的概率密度函数为求随机变量的概率密度函数。解法1：由于所以， .1分 .6分解法2： 当时： 1分当时：.5分当时： .1分故 10级2. 已知连续型随机变量的概率密度函数，求：（1）常数C； （2）的分布函数；（3）概率。解答：（1） 1分 1分（2）当时，当时，故的分布函数 4分（3） 2分3. 设随机变量在区间上服从均匀分布，求随机变量的概率密度函数。答： 2分方法1：的反函数为，故 2分 4分方法2： 2分当时：当时： 2分当时：故 2分09级2. 设有三个盒子，第一个盒装有4个红球，1

6、个黑球；第二个盒装有3个红球，2个黑球；第三个盒装有2个红球，3个黑球. 若任取一盒，从中任取3个球。（1）已知取出的3个球中有2个红球，计算此3个球是取自第一箱的概率；（2）以表示所取到的红球数，求的分布律；（3）若，求的分布律.解答：（1）设“取第箱”，“取出的个球中有个红球”，则. 2分（2），因此，的分布律为2分（3），因此，的分布律为 2分3. 设连续型随机变量的分布函数为（1）求系数的值及的概率密度函数；（2）若随机变量，求的概率密度函数.解答：（1）由于连续型随机变量的分布函数是连续函数，因此：，即得 ， 3分（2）（方法1）对任意实数，随机变量的分布函数为：当时：，当时：，当时

7、：，当时：于是，. 3分(方法2) 3分08级2、已知连续型随机变量的分布函数为，求：（1）常数c； （2）的概率密度函数； （3）概率。解答：（1）连续型随机变量的分布函数为连续函数，故；（2）；（3）。3、设随机变量服从标准正态分布，求随机变量的概率密度函数。解答：，的反函数为和，因此 07级2、已知连续型随机变量的分布函数为，求（1）常数和；（2）的概率密度；（3）概率。解答：（1）由于连续型随机变量的分布函数是连续函数，将和代入，得到关于和的方程：，解得：，；（2）对求导，得的概率密度为（3）=。3、设随机变量在区间上服从均匀分布，求的概率密度。解答：（解法一）由题设知，的概率密度为。

8、对任意实数，随机变量的分布函数为：当时：；当时：；当时：，故于是，。(解法二) 第3章一、选择与填空11级3、设随机变量与相互独立，在区间上服从均匀分布，服从参数为2的指数分布，则概率 。2、设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，、分别为、的概率密度，则在条件下，的条件概率密度为 A 。(A) (B) (C) (D) 10级3. 设随机变量与相互独立且都服从参数为的指数分布，则服从B 。(A) 参数为的指数分布(B) 参数为的指数分布(C) 参数为的指数分布(D) 上的均匀分布二、计算与应用11级3、设二维随机变量的联合分布律为Y X（1）求概率； （2）求与的相关系数，并讨论与的相关性，独

9、立性。解答：（1）.3分（2），故。因，故与不相关。 2分由联合分布律显然，所以与不独立。 2分1、设二维随机变量的联合概率密度函数为求：（1）常数； （2）的边缘概率密度函数；（3）在的条件下，的条件概率密度函数； （4）条件概率。解答：（1） .1分 .2分（2） .3分（3）当时， 2分（4） .2分10级1. 设二维随机变量的联合概率密度函数为求：（1）常数；（2）的边缘概率密度函数；（3）在的条件下，的条件概率密度函数；（4）条件概率。解答：（1） 1分 2分（2） 3分（3）当时， 2分（4） 2分09级1. 设二维随机变量的联合概率密度函数为（1）求关于的边缘密度函数； （2）试

10、判断与是否相互独立？（3）计算.解答：（1）=； 4分（2）与（1）类似，易知，满足，因此与相互独立； 4分（3）=. 2分某次抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布，并且分数在60分至84分之间的考生人数占考生总数的68.2%，试求考生的外语成绩在96分以上的概率.01.02.03.00.5000.8410.9770.999解答：根据题意有，=68.2%， 4分故，因此， 2分. 2分08级1、设二维随机变量的联合概率密度函数为求：（1）（X，Y）的边缘概率密度函数和条件概率密度；（2）概率； （3）随机变量的概率密度函数。1、解答：（1）= ，当时： ；（2）；（3）当

11、时：；当时：；当时：。因此，。07级1、设二维随机变量的联合概率密度函数为求（1）常数； （2）（X，Y）的边缘概率密度函数和条件概率密度函数； （3）概率。1. 解答：（1）由于，即，推得。 （2）= ，当时： ；（3）=。第4章一、选择与填空11级3、将一枚质量均匀对称的硬币独立地重复掷次，以和分别表示正面向上和反面向上的次数，则和的相关系数为 B 。(A) (B) (C) (D) 10级2. 设随机变量服从参数为的泊松分布，且，则的值为A。(A) 2(B) 3(C) (D) 09级2. 设和为独立同分布的随机变量，的分布律为，令随机变量，则数学期望 D .(A) (B) (C) (D)

12、08级2、设随机变量服从参数为1的泊松分布，则。3、设随机变量和的相关系数为0.5，则6。07级2、下面四个随机变量的分布中，期望最大，方差最小的是 B 。(A) 服从正态分布(B) 服从均匀分布(C) 服从参数为指数分布(D) 服从参数为3的泊松分布3、若二维随机变量的相关系数，则以下结论正确的是 B 。(A)与相互独立(B) (C)与互不相容(D)3、设随机变量X服从参数为的指数分布，则= 。二、计算与应用10级将2封信随机地投入2个邮筒，设随机变量分别表示投入第1个和第2个邮筒的信的数目，试求：（1）的联合分布； （2）的数学期望及方差；（3）的相关系数； （4）判断是否不相关. 是否相

13、互独立。解答：（1）Y X0120001002004分（2）X与Y同分布，且X的分布为：X012P因此 ， 2分（3）方法1：，故 2分方法2：由于，即，与存在线性关系，因此。 2分（4）相关，不独立 2分09级4. 设随机变量与的相关系数，令， ，且与不相关，求常数.方法1）由于与不相关，因此， 4分于是. 2分(方法2) 则由于与不相关，因此， 4分于是. 2分08级2、设随机变量和的分布律为0101并且。（1）求，的数学期望以及方差；（2）求的联合分布律；（3）求，的协方差；（4）判断，是否不相关，是否独立。解答：（1）； （2）X2 X1-10100100（3）；（4）由知故不相关；又

14、()联合分布律中不满足，所以不独立。设某企业生产线上产品的合格率为，不合格品中只有的产品可进行再加工，且再加工的合格率为，其余均为废品。已知每件合格品可获利元，每件废品亏损元，为保证该企业每天平均利润不低于万元，问该企业每天至少应生产多少产品？解答：每件产品的合格率为，不合格率为0.016，设随机变量表示生产每件产品的利润，则的分布律为：80-200.9840.016每件产品的平均利润即，有，因此企业每天至少应生产256件产品。07级2、设二维随机变量（）的概率分布为X Y01-10.6400.040.81（1）请将上表空格处填全；（2）求，的数学期望以及方差、；（3）求，的协方差以及相关系数

15、，并判断是否不相关，是否独立；（4）记，求的概率分布，并求。2. 解答：（1）X Y01-10.160.640.800.040.160.20.20.81（2），；（3）， ，故不相关，又()联合分布律中满足，所以也相互独立；Z-101P0.160.680.16（4）=。07级已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取2件产品放入乙箱后，求：(1) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率；(2) 乙箱中次品件数的数学期望。解答：（1）设A0，A1，A2为从甲箱中取到了0，1，2个次品；设B为从乙箱中任取一件次品，则；（2）设X表示乙箱中次品

16、件数，则X可能取0，1，2， ；X012P故X分布率为 因此：。三、证明10级1. 设随机变量与的相关系数为，且满足，令，证明：与不相关。证明： 2分即 ，故 与不相关 2分08级证明在一次试验中，事件发生的次数的方差。证明：在一次试验中，事件发生的次数为1或0，设的概率为， 的概率为，则的方差。07级1、 设为连续型随机变量，且数学期望存在，证明：对于任意正数，有。证明：。第5章一、选择与填空11级4、设随机变量服从参数为2的泊松分布，用契比雪夫不等式估计 。10级4. 设随机变量的数学期望为，方差为，则由契比雪夫不等式可知概率 。09级3. 设随机变量的方差为25，则根据契比雪夫不等式 .

17、3. 设是独立同分布的随机变量序列，且服从参数为的泊松分布，记为标准正态分布的分布函数，则必成立 B .(A) (B)(C) (D)08级4、设为来自总体X的简单随机样本，且，利用契比雪夫不等式估计 。07级4、已知随机变量X的数学期望，方差，则由契比雪夫不等式可知概率 C 。 (A) (B) (C) (D) 第6章一、选择与填空11级5、设是来自正态总体的容量为的简单随机样本，为样本方差，则 。10级4. 设是来自正态总体的简单随机样本，表示样本均值，表示样本方差，则下列选项中错误的是B 。(A) (B) (C) (D) 与相互独立09级4. 设总体服从二项分布，是来自总体的简单随机样本，为

18、样本均值，则为 .08级4、设（）为来自总体的简单随机样本，为样本均值，为样本方差，则 D 。(A)(B) (C) (D) 07级4、设是来自正态总体的简单随机样本，若统计量服从分布，则常数 2 。三、证明11级 设是来自正态总体的简单随机样本，若表示样本均值，表示样本方差，记，证明：。证明：由于，所以。 .2分又由于，且与独立。 .2分与是独立的两个分布故。10级2. 设是来自总体的简单随机样本且,，表示样本均值，表示样本方差，记，证明：。证明： 2分 2分09级1. 设和为分别来自两个正态分布总体及的简单随机样本，且相互独立，与分别为两个样本方差，试证明：统计量服从分布.证明：由于，故，

19、2分因此：，整理即得. 2分08级1、设随机变量服从分布，求证：服从分布。证明：设，其中，因此有， ，故 第7章一、选择与填空11级4、设总体服从正态分布，其中已知，若已知样本容量和置信度均不变，则对于不同的样本观测值，总体均值的置信区间的长度 C 。(A) 变长(B) 变短(C) 不变(D) 不能确定10级5. 设是来自正态总体的简单随机样本，建立总体的数学期望的置信度为0.95的置信区间，则当样本容量为16时，置信区间的长度 0.98 。(已知，)09级5. 设总体服从参数为的泊松分布，是来自总体的简单随机样本，且统计量是的一个无偏估计量，则常数 .4. 设是来自正态总体的简单随机样本，其

20、中已知，为未知参数，记，则的置信度为0.95的置信区间是 A . (A) (B) (C) (D) （其中为标准正态分布的分布函数，）08级5、设总体服从正态分布，从中随机地抽取25个样本，则的置信度为0.95的置信区间的长度 0.784 。 (已知，其中为标准正态分布的分布函数)07级5、已知一批零件的长度(单位：cm)服从正态分布，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则的置信度为0.95的置信区间为 （39.51，40.49） 。(已知，其中为标准正态分布的分布函数)二、计算与应用11级2、设总体服从分布，分布律为其中为未知参数，是取自的简单随机样本。求：（1）的矩估

21、计量；（2）的极大似然估计量；（3）判断、是否为的无偏估计。解答：（1），故 。 4分（2）由于总体分布律还可以表示为所以 .2分 .1分 故极大似然估计量为 .1分（3）由于，所以、都是的无偏估计。 .2分10级4. 设总体X的概率分布为 X0123P其中是未知参数，利用总体X的如下样本值：3, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 3, 求：（1）的矩估计值；（2）极大似然估计值。解答：(1) 2分故 2分(2) 2分 故 2分09级2. 已知总体的概率密度函数为其中为未知参数，设是来自总体的简单随机样本，试求：（1）的矩估计量； （2）的极大似然估计量.解答：（1），令， 解得，即参数的矩

22、估计量为； 5分（2）极大似然函数为当时，取对数得，对求导数，得 ，解得，于是的极大似然估计量为 . 5分08级3、已知总体的概率密度函数为 其中为未知参数，为来自总体的简单随机样本。求：（1） 当时，的矩估计量；（2） 当时，的极大似然估计量。解答：（1）当时，总体的概率密度函数为，令， 解得参数的矩估计量为；（2）当时，总体的概率密度函数为极大似然函数为为使取最大值，只需在时，使取最大值，即取最大值，因此，的极大似然估计量为。07级3、设随机变量的概率密度函数为 其中为未知参数. 设为来自总体的简单随机样本，求的矩估计量以及极大似然估计量。解答：（1）当时，的概率密度为，令， 解得，即参数

23、的矩估计量为；（2）似然函数为 当时，取对数得，对求导数，得 ，解得，于是的极大似然估计量为 。07级2、设随机变量的数学期望为，方差为，是来自总体的简单随机样本，证明：是的无偏估计。3. 证明：因此： 是的无偏估计。第8章一、选择与填空11级5、设是来自正态总体的简单随机样本，样本容量，样本均值为,则在显著性水平下检验假设的拒绝域为 A 。(已知，其中为标准正态分布的分布函数) (A) (B) (C) (D) 10级5. 设是来自正态总体的简单随机样本，若进行假设检验，当 D 时，一般采用统计量。(A) 已知，检验(B) 未知，检验(C) 已知，检验(D) 未知，检验09级5. 设为来自正态总体