1.1.3导数的几何意义

1、导数的几何意义练习题1.设f'(X0)= 0,则曲线y = f(x)在点(X0, f(X0)处的切线()A .不存在B .与x轴垂直C.与x轴平行D 与x轴平行或重合1 22. 一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离 s与时间t之间的函数关系为s=8t2,则当t= 2时，此木块在水平方向的瞬时速度为()A. 2B. 1C.2D-43.若曲线y= h(x)在点P(a, h(a)处切线方程为 2x+y+ 1 = 0,则()A. h' (a)<0B. h' (a)>0C. h' (a) = 0D. h' (a)的符号不定4.曲线y= 9在点(

2、3,3)处的切线方程的倾斜角a等于()xA. 45 °60°-中C. 1351205.在曲线y= x2上切线倾斜角为4的点是()A. (0,0)(2,4)1 1C (1, 16)6.已知曲线y= 2x2上一点A(2,8)，则过点A的切线的斜率为7.若函数f(x)在X0处的切线的斜率为k,则极限lim f(x0 AXAX 0Ax&已知函数f(x)在区间0,3上图像如图所示，记ki = f' (1),k2, k3之间的大小关系为 .(请用“连接)k2= f'(2), k3= f' (3)，贝y ki,能力提升9.已知曲线y= 2x2上的点(1,2

3、)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程.1310.已知点M(0, 1), F(0,1)，过点M的直线I与曲线y = 3X3 4x+ 4在x= 2处的切线平行.(1)求直线I的方程;(2)求以点F为焦点，I为准线的抛物线 C的方程.11.设曲线y= ax2在点(1, a)处的切线与直线2x y 6 = 0平行，则a等于()C.12.曲线y=X3 2x+ 4在点(1,3)处的切线的倾斜角为()B. 45A. 30C. 60D. 12013.如图是函数f(x)及f (X)在点P处切线的图像，则f(2) + f'=AS014.已知曲线y = 2x2上的点(1,2),求过该点且与过该点的切线

4、垂直的直线方程.15.设f(x)为可导函数，且满足limff(1 刃=1，则过曲线y二f(x)上点2x(1 , f(1)处的切线斜率为(A. 2B. 1 C16 .已知函数f (x) = x2 +D. 217.18.f(x)在(2 , f (2)处的切线方程为求过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线 方程若曲线f (x)=ax 3+3x2+2在x=-1处的切线斜率为4,求a的值。已知曲线C: y=x3在点P(1,1)处的切线为直线I，问：I和曲线C有几个-交点? 求出交点坐标。19.一、解答题1、函数f(x)= iT?-忑2-X+1的图象上有两点A (

5、 0，(1) 在区间(0，1)内，求实数a使得函数f(x) 线AB;(2) 设m>Q记M (m f(m)，求证在区间(0， 图象在x=b处的切线平行于直线AM.2、已知函数 f (x) =lnx+x2.(I)(n) 小值；(rn)m内至少有一实数b,使得函数< RK n)时，f (X)=x2，当 x > 1 时，f(X)的图象恰有5个不同的公导数的几何意义-解答题1)和 B (1, 0)的图象在x=a处的切线平行于直若函数g (x) =f (x) -ax在其定义域内为增函数，求实数 a的取值范围； (I)的条件下，若 a> 1，h (x) =e3x-3aexx 0，l

6、n2，求 h (x)的极F (x) =2f (x) -3x2-kx (k R),若函数 F (x)存在两个零点 m n (0 ，且2xo=m+n问：函数F (x)在点(Xo，F (Xo)处的切线能否平行于x 轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由.3、设函数fx=ax，曲线y=f (x)在点(2, f (2)处的切线方程为7x-4y-12=0 .(1) 求y=f (X)的解析式；x=0和直线y=x所围成的三角(2) 证明：曲线y=f (X)上任一点处的切线与直线 形面积为定值，并求此定值.4、已知f (X)是定义在R上的奇函数，当0WXW1 (X+1) =f (X) +f (1)，且若直

7、线 y=kx 与函数 y=f共点，则实数k的值为.-X5、若存在过点(1, 0)的直线与曲线y=x3和y=ax2冲X-9都相切，求实数a的值. 6已知函数f (X) J J妆nxVl)，的图象过点(-1 , 2),且在点(-1 , f(-1 )处的切线与直线x-5y+1=0垂直.(1) 求实数b, c的值；(2) 若P, Q是曲线y=f (X)上的两点，且 PO(是以0为直角顶点的直角三角形， 此三角形斜边的中点在y轴上，则对任意给定的正实数 a,满足上述要求的三角形 有几个？7、已知函数心尸卜，其中a是实数，设A (X1，f (X1) )，B (X2，fiTtXf X>0(n)小值;(

8、rn)为该函数图象上的点，且 Xl< X2. 指出函数f (X)的单调区间； 若函数f ( X)的图象在点A, B处的切线互相垂直，且 X2<0,求X2-Xi的最若函数f (X)的图象在点8、已知函数 f (x) x3-2x 2+3x(1) 求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；(2) 若曲线C上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C的切点的横 坐标取值范围；(3) 试问：是否存在一条直线与曲线 C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合 条件的所有直线方程；若不存在，说明理由.9、已知函数 f (X) =blnx，g (X) =ax2-x (a R).(1) 若曲线

9、f (X) 与 g (X)在公共点A( 1，0)处有相同的切线，求实数a、b的 值；(2) 当b=1时，若曲线f (X)与 g (X)在公共点P处有相同的切线，求证：点P 唯一；(3) 若 a>0，b=1，且曲线 f (X) 与 g (X)10、已知函数 f (X) =mX+ (ax-1 )(x-2 ) x+y=0平行.(I)求m的值；(n)当a>0时，解关于X的不等式f (X)2xA, B处的切线重合，求a的取值范围.(x R的图象为曲线C总存在公切线，求正实数a的最小值. (x R的图象在X=1处的切线与直线< 0.11、求曲线y=L在点(1，1)处的切线方程是12求曲线

10、尸百在点詡处的切线方程.3213、已知函数 f (X) =-X +ax+b (a，b R).(1) 若函数y=f (X)的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于(2) 若x 0，1，则函数y=f (X)的图象上的任意一点的切线的斜率为 k，求证: 1玄邙是比E1成立的充要条件.1，求证:导数的几何意义-解答题的答案和解析、解答题1、答案：2(1) a=l(2) 证明过程见解析 试题分析：(a),求得直线AB的斜率，令( a)x=b处的切线斜率为( b),由切线平(1) 求出导数，求出切线的斜率f' =-1 (0V av 1)解方程即可得到a；(2) 求出直线AM斜率，求出直线在行于AM可

11、令f'( b)勿-m-1，考察3此2b-+m=0在区间(0，m)求得g (0)，内的根的情况，令g (b) =32-2b-E2+mg (m) ，g (3)，对m讨论：当点存在定理，解：( 10-1 =kAB口 即可得证。1 1Ov mKP时，当2 w m< 1时，当时，由零)解 ：-1, ®数了(H)的导数AB-2x-1，第14页共16页f (x)的图象在x=a处的切线平行于直线AB, 令 f'( a) =-1 (0V av 1)即 卩 3 口 -2a-1=-1，2解得a= ;2 2(2)证明：f (m =E -E -m+1，则直线AM斜率kAM亦石'm

12、1-1牛尹-m-1，直线在x=b处的切线斜率为f'( b) =3b2b-1，2由切线平行于AM可令f ( b) 尹-m-1 即'-2b+m=0在区间(0，m内的根的情况,令g( b)=3衣1-2b- E+m则此二次函数图象的对称轴为b，而g (3)二-亦+口占=-如一勿-吕V 0，2g (0 ) =-m +m=( 1-m),2g (m =2m -m=m(2m-1 ), 则(1)当 0VRKl 时，g (0) >0, g (m < 0,方程 g (b ) =0 在区间(0, m 内有一实根；g (可)v 0,方程g (b) =0在区间(0,3)(2)当省 wn<

13、 1 时，g (0) >0, 内有一实根；(3)当 m>1 时，g G)V 0, g 有一实根，综上，方程g (b) =0在区间(0, 故在区间(0, m内至少有一实数AM(m >0,方程g (b) =0在区间(予，m内mb，内至少有一实根，使得函数图象在x=b处的切线平行于直线2、答案:2(I) g (x) =f (x) -ax=In x+x -ax ,由题意知，g'( x) >0,对任意的x( 0,)恒成立，即- 工曜如又 x>0,返，当且仅当时等号成立弓加2返可得处2返(n)由(I)知，1V处2返，令t=ex，则t 1 , 2，则=t 3-3at ,

14、 X(n=3-3盘=3(l运)(L皈)由h'(t) =0,得C帀或1=帀(舍去), 1V处2返，.“】 若1 Vf引T，则h'( t) < 0, h (t)单调递减；若阪V芒2,则h'( t) > 0, h(t)单调递增当尸叼时，h (t)取得极小值，极小值为闪(&尸胡不加叼=-2口&(m)设 F (x)在(X。，F (X。)的切线平行于 x 轴，其中 F (x) =2Inx-x 2-kx2=0 2lnrt-n-kri=Q m-刃=%2 C匸-%-k=0结合题意，有“-得"厝-(刊)(1)=帥-町 卜=2心_2上_- %k=-2x所

15、以叶H，由得 °宀心土77-所以U E(0 7 1)_ ,、，0(y£(0 ? 1)设旳，式变为I旳_n* 1 沁片沁)31 i _ (i-irucu-ir设疔加%】)»匸岔用打疋_2甘1)所以函数沙1在(0, 1) 上单调递增,2(-1)泌< «空-I牯 此式与矛盾因此，y< y| u=i=0,即 hl，也就是所以F (X)在(X0，F (X0)的切线不能平行于X轴3、答案：试题分析：(1)已知曲线上的点，并且知道过此点的切线方程，容易求出斜率, 又知点(2, f (2)在曲线上，利用方程联立解出 a, b(2)可以设P(Xo, yo)为曲

16、线上任一点，得到切线方程，再利用切线方程分别 与直线X=0和直线y=x联立，得到交点坐标，接着利用三角形面积公式即可.试题解析：解析：(1)方程7x-4y-12=0可化为 4 ，当x=2时， 2 ,、令弓，解得；二，故讣rh b f(xy-a+ 又T,于是3> =1*(2)设P (X0, y。)为曲线上任一点，由h知曲线在点P (X0, y。)处的切_23 _±p-y =(1 + 2)x-x )0一 2)(x-x )线方程为°力°，即Q 0%0_ _6 _6令x=0，得L %，从而得切线与直线x=0的交点坐标为卩 >；令y=x，得y=x=2xo，从而得

17、切线与直线y=x的交点坐标为(2xo，2xo);勺半|加1 = 6 所以点P(xo,yo)处的切线与直线x=O,y=x所围成的三角形面积为"Q故曲线y=f (x)上任一点处的切线与直线x=o, y=x所围成的三角形面积为定值， 此定值为6.4、答案：试题分析：求出函数在x 1，2的函数的解析式，通过函数的奇偶性，求出函 k的值.2(1) = (x-1 ) +1,1 时，f (x) =X2,当 x> 1当 Kx<2 时，f (x) =f (x-1 ) +fT f (x)是定义在R上的奇函数，直线y=kx与函数y=f (x)的图象恰有5个不 同的公共点， x>0时，两个

18、函数的图象，只有2个交点，如图： 设切点为(a，f (a).f ( x) =2x-2 .心旦=加-2L则：卫，解得a=2. k=2 炉 2.此时有两个交点，XV 0时，也有两个交点，x=0也是交点, k=2返"2时有5个交点.故答案为：2辽-25、答案:试题分析：设出所求切线方程的切点坐标和斜率， 把切点坐标代入曲线方程得到 一个等式，根据切点坐标和斜率写出切线的方程， 把切点坐标代入又得到一个等 式，联立方程组即可求出切点的横坐标， 进而得到切线的斜率，根据已知点的坐15标和求出的斜率写出切线方程，再根据与y=ax2+忑X-9都相切，联立方程组， =0 可求出所求.试题解析：设直线

19、与曲线y=x3的切点坐标为（X0，y。），_3>0-0" = 3x 2辽则戶 Q，则切线的斜率k=3x02=0或k=，若k=0,此时切线的方程为y=0，y-0尸4沖15消去y，可得ax2+斗x-9=0，15 其中=0,即（丁）2+36a=0,竺解可得a二苗;27兰若k=，其切线方程为y= （X-1 ）,27 尸丁d_2 15 Dyax-X-94消去y可得ax2-3x-匚0,又由=0,即 9+9a=0, 解可得a=-1 故 a=-2或-1 .&答案：（1）由题意可得，当X< 1时，f'(X) =-3x2+2x+b, f'( -1 ) =-3-2+b=

20、b-5 .故 f (X) =-x3+x2+c.由（b-5 ）（5） =-1，可得 b=0, 把点（-1 , 2）代入求得c=0 .综上可得b=0, c=0.(2)设点P的横坐标为m (不妨设m> 0),则由题意可得点Q的横坐标为-m, 且-m< 0.当 0< m< 1 时，点 P (m -m3+m),点 Q (-m, m+m),由 K0p?Koq=-1，可得(-m2+m (-m2-m) =-1 , m无解.当 m>1 时，点 P (m alnm),点 Q (-m, m+m),abvn1由 K0p?Koq=-1，可得用? (-m2-m) =-1，即 alnml .由

21、于a为正实数，故存在大于1的实数m满足方程alnmrnl .故曲线y=f (X)上存在两点P, Q使得 POQ是以0为直角顶点的直角三角形, 且此三角形斜边中点在y轴上.7、答案：试题分析：(I )禾1用二次函数的单调性和对数函数的单调性即可得出；(II )利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，因为切线互相垂直，可得，(工-1 阳=|-(2jc.+2)(2x.+2)1 八 2,即 (2x1+2)(2x2+2) =-1 .可得 21 2L “1 八 2 丿，再利用基本不等式的性质即可得出；(III )当 X1< X2< 0 或 0<X1< X2 时，/(卞1)"

22、"2),故不成立，.X1< 0<X2.分 别写出切线的方程，根据两条直线重合的充要条件即可得出，再利用导数即可得出.试题解析：(I )当 x<0 时，f (X) = (X+1) 2+a, f (X)在(-X, -1 )上单调递减，在-1 , 0)上单调递增；当X>0时，f (X) =lnx，在(0, +x)单调递增.(II ) Vx1< X2 < 0,. f (X) =x+2x+a,. f'( X) =2x+2,函数f (X)在点A, B处的切线的斜率分别为f'( X1), f'( X2),函数f (X)的图象在点A, B处

23、的切线互相垂直，( 2x1+2)( 2x2+2) =-1 . 2x1+2<0, 2x2+2>0,.匕3弓严)+(2込切护斤丽尹=1，当且仅当-(2x1+2)X = X =2x2+2=1，即12,22时等号成立.函数f (X)的图象在点A, B处的切线互相垂直，且X2<0,求X2-X1的最小值 为1.(III )当 X1 <X2< 0 或 0< X1 <X2时,12丿，故不成立，.x 1< 0<X2.当X1< 0时，函数f (X)在点A (X1, f (X1)，处的切线方程为 p-(艾；十2工1十£0 = (2工厂2)(工)

24、即 =当X2>0时，函数f (X)在点B (X2, f (X2)处的切线方程为 2匕 2即七 2函数f (X)的图象在点A, B处的切线重合的充要条件是1加厂1=蓋严 由及X1 < Ov X2可得-1 < XiV 0,2牛由得宀严帀严心严)-1一 2 ,函数I , y=-ln (2x1+2)在区间(-1 , 0) 上单调递减，a (X1)=】加2)'在(-1 , 0)上单调递减，且 xc-1 时，In(2x1+2)T-00,1 卩-In (2x1+2) +X,也即 a (X1)f +x.X170, a (X1) -1-In2 .a的取值范围是(-1-In2 , +0)

25、.8、答案：试题分析：(1)先求导函数，然后根据导函数求出其取值范围，从而可求出曲 线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；(2) 根据(1)可知k与-纭的取值范围，从而可求出k的取值范围，然后解不 等式可求出曲线C的切点的横坐标取值范围；(3) 设存在过点A (X1, y1)的切线曲线C同时切于两点，另一切点为 B (X2, y2), x1Mx2，分别求出切线，由于两切线是同一直线，建立等式关系，根据方 程的解的情况可得是符合条件的所有直线方程.试题解析：(1) f (X) =x2-4x+3，则 f'( X) = (X-2 ) 2-1>-1 ,即曲线C上任意一点处的切线的斜率的

26、取值范围是 -1 , +X);(4分)( 2(6 分)解得-K k< 0 或 k> 1,由-1Wx2-4x+3 < 0 或 x2- 4x+3>1得:x (- O, 2-返U (1,3) U2+返, +o);(9分)(3)设存在过点A(X1, y1)的切线曲线C同时切于两点，另一切点为 y2), X1X2,B (X2,1322则切线方程是：y- (* 1-2兀1+3刘)=(兀 l-4x1+3)(X-X1),2± 32y=(丈 1-4x 1+3) x+ (-3兀1+2忙 1),化简得: 分)(11而过B(X2, y2)的切线方程是y= (,2(x2-4x1+3)X

27、+(-訂;+2由于两切线是同一直线，2 2TTT则有：1-4x 1+3= 2_4x1+3,得 X1+X2=4,2 32 2 32又由-3 1+2 l=-3 2+2 2,2(13 分)即-3 (X1-X 2)(1+X1X2+ 2) +2 (X1-X2)( X1+X2) =01_J-3 (兀 1+X1X2+X 2) +4=0,即 X1 (X1+X2) + 2-12=02 2X"X"即(4-X2)X 4+ 2-12=0,2-4x 2+4=0得X2=2,但当X2=2时，由X1+X2=4得X1=2，这与X1x2矛盾. 所以不存在一条直线与曲线 C 点. (16分)9、答案：时切于两试

28、题分析：(1)因为曲线f (X)与 g (x)在公共点A (1,/(1) = 0现1)=0所以Ai)=gV)，解出即可；(2)设 P (Xo, yo)，由题设得 f (Xo) =g (Xo), f'( Xo)0)处有相同的切线,=g (Xo)，转化为关于Xo的方程只有一解，进而构造函数转化为函数只有一个零点，利用导数即可 证明；lT加=-(玄一)(3)设曲线f (X)在点(t , Int )处的切线方程为 f ,则只需使该_ 2切线与g (X)相切即可，也即方程组 yF P 只有一解即可，所以消y后 =0,问题转化关于t的方程总有解，分情况借助导数进行讨论即可求得 a值;r(x)=-试

29、题解析：(1)工，g' (x) =2ax-1 .曲线f (X) 与 g (X)在公共点A (1, 0)处有相同的切线，/U=引/71 = 0g(l)- a-L=Oa = l片加T ，解得，b = /hy = ax 4工(2)设P (X0, y。)，则由题设有00 0,又在点P有共同的切线，二SEgfJkJC'TC代入得0 2 2% ,、(町=厲尤弋七兀hx)=-+ (x>0) 冲，设2 2 ,则兀2 '丿，则h'(x)> 0, h (x)在(0, +7 上单调递增，所以 h (x) =0最多只有1个实根, 从而，结合(1)可知，满足题设的点P只能是P

30、 (1, 0).(3)当 a>0, b=1 时，f (x) =lnx ,伦)=7Af) V-x+ZMf1曲线f (x)在点(t , Int )处的切线方程为八，即丫 =-X+htLl -t_ 2由 y oxp曲线 f ( x )A=(l+)+4dCZMf-l) = 0,ax 2(1卡)艾_!冷 f+1 = 0g ( x )总存在公切线，关于t ( t=0> 0)的方程第22页共16页从而，方程(*)可化为城尸尸一令孑(1-加)(0< t < e),则Ovt <e,h (t )在(0,即 解.若t >e,则1-lnt <0,而 Y ，显然(*)不成立，所

31、以斗片严一卩(1-加).当 0<t < 1 时，h' (t )< 0;当 1<t <e 时，h' (t )>0,即 1) 上单调递减，在(1, e)上单调递增. h (t )在(0, e) 上的最小值为h (1) =4, 所以，要使方程(*)有解，只须4a4,即a> 1. 所以正实数a的最小值为1.10、答案：试题分析：(I )先对函数f (X)进行求导，又根据f (1) =3m-1,可得到关于 m的值；(II )由(1)知f (X) = (ax-1 )(x-2 ).下面对字母a的取值情况进行分 类讨论：当a=0时，f (X)=- (X-2 ) >0，当a>0时，再分：若 <2;若口 =2;若口 >2,分别求出原不等式的解集即可.试题解析：(I) vf(x)=mX+ax2-(2a+1)x+2，二 f (x)=3mX+2ax- (2a+1). f (1) =3m-1，即函数f(X)的图象在x=1处的切线斜率为3m-1.由题知 3m-1=-1，解得 m=0 ( 5分)(II )由(I )知 f(X) = (ax-1 )( x-2 ).当 a=0 时，f(X) =- (x-2 )> 0,