二项式分布及其应用(教师版)

1、实用标准考点梳理1条件概率及其性质(1) 对于任何两个事件A和 ，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条BPA B件概率，用符号 P( B| A) 来表示，其公式为P(B|A) PA.在古典概型中，若用() 表示事件A中基本事件的个数，则( |) nA B.n AP B AnA(2) 条件概率具有的性质：0P( B| A) 1； 如果 B 和 C是两互斥事件，则P( BC| A) P( B| A) P( C| A) 2相互独立事件(1) 对于事件 A、 B，若 A的发生与 B的发生互不影响，则称 A、 B是相互独立事件(2) 若 A与 B相互独立，则P( B| A) P( B) ，P

2、( AB) P( B| A)·P( A) P( A) ·P(B) (3) 若 A与 B相互独立，则 A与 B ， A 与 B， A 与 B 也都相互独立(4) 若 P( AB) P( A) P( B) ，则 A与 B相互独立3独立重复试验与二项分布(1) 独立重复试验独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的， 各次之间相互独立的一种试验， 在这种试验中每一次试验只有两种结果， 即要么发生， 要么不发生， 且任何一次试验中发生的概率都是一样的(2) 二项分布在 n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为k，在每次试验中事件A发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生

3、次的概率为( kk)nknAk) Cp(1 (kpP X kpn0,1,2 ， ，n) ，此时称随机变量X 服从二项分布，记作 X B( n，p) ，并称 p 为成功概率考点自测1甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为() 3231A. 4B.3C.5D.2解析问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率12 局，P 2；第二类，需比赛1第一局甲负，第二局甲赢，其概率2111123P2×24. 故甲队获得冠军的概率为PP4.答案A12小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3 次，那么其中恰

4、有1 次获得通过的3概率是 ()4242A. 9B.9C.27D.2731113 1411解析所求概率 P C· 3·3 9.答案A文档实用标准3如图，用 K、A1、A2 三类不同的元件连接成一个系统，当K 正常工作且 A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、 A 、 A 正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则12系统正常工作的概率为() A 0.960 B 0.864 C 0.720 D 0.576解析 0.9 ×1 (1 0.8)2 0.864.P答案B4如果 B1( ) 取最大值的k值为 () 15，则使X4P X kA 3B 4C 5

5、D3或 4解析采取特殊值法31 33 1241 43 1151 53 10P( X 3) C15 44，P( X4) C15 4· 4，P( X5)C15 44，从而易知 P( X3) P( X4)> P( X5) 答案D5把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件 B，则 P(B|A)等于() 1111A. 2B.4C.6D.81P AB41解析 法一 P(B|A)P A1 2.2法二A 包括的基本事件为 正，正 ， 正，反 ，AB包括的基本事件为 正，正 ，因此1P( B| A) 2.答案A考向一条件概率【例 1】从 1,2,3,4,5中任

6、取 2 个不同的数，事件A“取到的 2 个数之和为偶数” ，事件 B“取到的2 个数均为偶数” ，则 P( B| A) 等于 () 1121A. 8B.4C.5D.222221CC 4C322解析 P(A) 2 ，P(AB) 2 .C105C10551PA B101由条件概率计算公式，得P(B|A) P A 44.10答案B【训练 1】如图， EFGH是以 O为圆心，半径为1 的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件 “豆子落在扇形OHE(阴文档实用标准影部分 ) 内”，则(1) P( A) _； (2) P( B| A) _.2，扇形

7、的面积是解析 圆的面积是，正方形的面积是4 ，根据几何概型的概率计算122PAB1公式得 P( A) ，根据条件概率的公式得P(B|A) PA 2 4.21答案4考向二独立事件的概率【例 2】根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5 ，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3. 设各车主购买保险相互独立(1) 求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率；(2) 求该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率解 (1) 设“购买甲种保险”事件为 A，“购买乙种保险”事件为 B 由已知条件 P( A) 0.5 ，P( BA) 0.3 ， ( )(A)0

8、.3， ( )0.30.6 ，P B PP BAP因此，1位车主至少购买甲、 乙两种保险中的一种的概率为1 (B) 1 (A) ( B)P AP P 1 (1 0.5)(1 0.6) 0.8.(2) 一位车主两种保险都不购买的概率为PP( A B ) 0.2 ，因此 3 位车主中恰有1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为C31× 0.2 ×0.8 2 0.384.【训练 2】红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、 B、 C进行围棋比赛，甲对A、乙对 B，丙对C各一盘已知甲胜、乙胜、丙胜C的概率分别为 0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结AB果相互独立(1) 求红队至少两名队员

9、获胜的概率；(2) 用 表示红队队员获胜的总盘数，求 的分布列和数学期望 E( ) 解 (1) 设甲胜 A 的事件为 D，乙胜 B 的事件为 E，丙胜 C的事件为 F，则 D ， E ， F 分别表示甲不胜A、乙不胜 B、丙不胜 C的事件因为 P( D) 0.6 ，P( E) 0.5 ，P( F) 0.5 ，由对立事件的概率公式知P( D) 0.4 ，P( E)0.5 ，P(F) 0.5.红队至少两人获胜的事件有：DEF， DEF， DEF，DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为 P P( DEF) P( DEF) P( DEF) P( DEF)

10、 0.6 × 0.5 × 0.5 0.6 × 0.5 × 0.5 0.4 × 0.5 ×0.5 0.6 ×0.5 × 0.5 0.55.(2) 由题意知 可能的取值为 0,1,2,3.又由(1)FE DP( 知DE ，D F，EF是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此0) (DEF) 0.4 ×0.5 × 0.5 0.1 ，PDED FEFP( 1) P(F) P(E )P(D ) 0.4 × 0.5 × 0.5 0.4 ×0.5 × 0.5 0.

11、6 ×0.5 × 0.5 0.35 ， P( 3) P( DEF) 0.6 × 0.5 × 0.5 0.15.由对立事件的概率公式得P( 2) 1 P( 0) P( 1) P( 3) 0.4.文档实用标准所以 的分布列为：0123P0.10.350.40.15因此 () 0× 0.1 1×0.35 2× 0.4 3× 0.151.6.E考向三独立重复试验与二项分布【例 3】? 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6 个交通岗，假设他在各个1交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是3.(1) 设 X 为这

12、名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的分布列；(2) 设 Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y 的分布列；(3) 求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率1解(1) 将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为3，且每次试验结果是相1互独立的，故X B 6， 3 .所以 X的分布列为k1 k2 6 kP( X k) C63· 3， k0,1,2,3,4,5,6.(2) 由于 Y 表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y 是随机变量，其取值为0,1,2,3,4,5,6.其中： (k 0,1,2,3,4,5)表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k 1 个路口遇Y k上红灯，故各

13、概率应按独立事件同时发生计算2k1，P( Y k) · ( k 0,1,2,3,4,5)33而 Y6 表示一路没有遇上红灯2 6故其概率为 P( Y 6) 3，因此 Y的分布列为：Y0123P11212 212 333· 33· 33· 3Y456P124125263·33· 33(3) 这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为 X1 X 1或 X 2 或 或 X6 ，所以其概率为6P( X 1) P( X k) 1 P( X0)k 1 1 2 6 665.3729【训练3】 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再

14、就业能力， 每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有 60%，参加过计算机培训的有 75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响(1) 任选 1 名下岗人员，求该人参加过培训的概率；文档实用标准(2) 任选 3 名下岗人员，记X 为 3 人中参加过培训的人数，求X 的分布列解 (1)任选 1 名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题设知，事件 A与 B相互独立，且 P( A) 0.6， P( B) 0.75.所以，该下岗人员没有参加过培训的概率是P( AB )P(A )

15、3;P(B ) (1 0.6)(10.75) 0.1.该人参加过培训的概率为1 0.1 0.9.(2) 因为每个人的选择是相互独立的，所以 3 人中参加过培训的人数X服从二项分布XB(3,0.9) ，kk3 k，k 0,1,2,3 ，× 0.1P( X k) C30.9 X 的分布列是X0123P0.0010.0270.2430.729课堂练习一、选择题1两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为233和4，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为() 1511A.2 B.12 C.4D.6记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，则PAPA1 P

16、A2)2解析( )( )(3113543×412.答案B2甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6 ，乙被录取的概率为 0.7 ，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为() A0.12 B 0.42 C 0.46 D 0.88解析由题意知，甲、乙都不被录取的概率为(1 0.6)(1 0.7) 0.12.至少有一人被录取的概率为1 0.12 0.88.答案D3在 4 次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是 () A0.4,1 B(0,0.4C(0,0.6 D0.6,1文

17、档实用标准解析设事件A发生的概率为p41pp 342 p2p 2，解得p，故，则 C(1 ) C(1 )0.4选 A.答案A4一位国王的铸币大臣在每箱100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测方法一：在10 箱中各任意抽查一枚；方法二：在 5 箱中各任意抽查两枚 国王用方法一、 二能发现至少一枚劣币的概率分别记为 p1 和 p2 . 则 () Ap1 p2 B p1<p2Cp1>p2 D 以上三种情况都有可能解析p1 1110 9910110011009 8015 1 10 000，298 5C 599 p2 21C1001100则 p1<p2.

18、答案B5位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动1的方向为向上或向右， 并且向上、向右移动的概率都是 2. 质点 P 移动五次后位于点 (2,3)的概率是 () 1521 5A. 2BC5 2313231 5CC5 2DC5C5 2解析由于质点每次移动一个单位， 移动的方向为向上或向右， 移动五次后位于点 (2,3)P必须向右移动两次， 向上移动三次， 故其概率为31 31，所以质点5· 2C 2231 521 5，故选 B.C2C255答案B6袋中有 5 个小球 (3 白 2 黑 ) ，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，文档实用标准则在第一次取到白

19、球的条件下，第二次取到白球的概率是() 33A. 5B. 413C. 2D.10解析在第一次取到白球的条件下， 在第二次取球时， 袋中有 2 个白球和 2 个黑21球共 4 个球，所以取到白球的概率P42，故选 C.答案C7一个电路如图所示， A、B、C、D、E、F1为 6 个开关，其闭合的概率都是2，且是相互独立的，则灯亮的概率是 () 1 55 A. 64 B. 641 1 C.8 D. 16解析设 A 与 B 中至少有一个不闭合的事件为T，E 与 F 至少有一个不闭合的事件为R，113则 P( T) P( R) 12×24，55所以灯亮的概率P 1 P( T) P( R) P(

20、 C) P( D) 64.答案B二、填空题8某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次16的概率为 25，则该队员每次罚球的命中率为_169解析由题意得该篮球运动员两次罚球都命中的概率为125 25，该队员每3次罚球的命中率为 5.文档实用标准答案359有一批种子的发芽率为0.9 ，出芽后的幼苗成活率为0.8 ，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为_解析设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件B( 发芽，又成活为幼苗 ) 出芽后的幼苗成活率为： P( B| A) 0.8 ，P( A) 0.9.根据条件概率公式P( AB) P( B| A) 

21、3;P( A) 0.9 ×0.8 0.72 ，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.答案0.7210明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己假设甲闹钟准时响的概率为 0.80 ，乙闹钟准时响的概率是 0.90 ，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是 _解析设 A“两个闹钟至少有一个准时响” P( A) 1 P( A ) 1(1 0.80)(1 0.90) 1 0.2 ×0.1 0.98.答案0.9811将一枚硬币抛掷6 次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为_解析由题意知，正面可以出现6 次， 5 次， 4 次，所求概率616516

22、416P 6 6 6C 2C 2C 21 6 1511 64 32.11答案3212某次知识竞赛规则如下： 在主办方预设的 5 个问题中， 选手若能连续正确回答出两个问题， 即停止答题， 晋级下一轮 假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8 ，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4 个问题就晋级下一轮的概率等于 _解析由已知条件第 2 个问题答错，第3、4 个问题答对，记“问题回答正确”事件为 A，则 P( A) 0.8 ，文档实用标准PPA AA AAP AP AP A0.128.(1 ( )( )( )答案0.128三、解答题13某篮球队与其他6 支篮球队依次进行6 场比赛

23、，每场均决出胜负， 设这支篮1球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是3.(1) 求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率；(2) 求这支篮球队在 6 场比赛中恰好胜了 3 场的概率；(3) 求这支篮球队在 6 场比赛中胜场数的期望和方差1214解(1) P 13 ×327.4所以这支篮球队首次胜场前已负两场的概率为27；(2)6 场胜33 场的情况有 C6种，31313 ×18160P 6127× 729.C332027160所以这支篮球队在6 场比赛中恰胜 3 场的概率为 729；1(3) 由于 服从二项分布，即 B 6，3 ，E 1114 &

24、#215; ，D ××133. ( )632()6 34所以在 6 场比赛中这支篮球队胜场的期望为2，方差为 3.14某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定，他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张，投票时，每人必须且只能投一张1票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为3，他们的投票相互没有影响，规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目的投资(1) 求该公司决定对该项目投资的概率；文档实用标准(2) 求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率解 (1) 该公司决定对该项目投资的概率为21 2231 37P 33333 27.CC(2