《高等数学(上)》教学教案—03微分中值定理与导数的应用

1、第3章微分中值定理与导数的应用梭律本号打教学基本指标教学课题第3章第1节微分中值定理课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的 应用教学难点如何选取适当函数，利用罗尔定 理、拉格朗日中值定理、柯西中 值定理证明有关问题参考教材同济七版高等数学作业布置课后习题大纲要求理解并会用罗尔定理和拉格朗日中值定理，了解并会用柯西中值定理°教学基 本 内 容一.罗尔定理1 .定理：（罗尔定理）设函数/（X）满足：（1）在闭区间兄们上连续；（2）在开区间（a,b）内可导;（3） f（a） = f（b）,则至少存在一

2、点交（”，。），使得/0） = 0.2 .几何意义：在两端高度相同的一段连续曲线上，若除两端点外，处处都存在不垂直于轴的切线，则其 中至少存在一条水平切线.3 .代数意义：当/"）可导时，在函数/3）的两个等值点之间至少存在方程:&） = 0的一个根.注（1）定理中的彳不唯一，定理只表明自的存在性：（2）定理的条件是结论成立的充分条件而非必要条件.即条件满足时结论一定成立，若条件不满足，结论 可能成立也可能不成立.二.拉格朗日中值定理1 .定理：（拉格朗日中值定理）设函数/（%）满足：（1）在闭区间出，包上连续：（2）在开区间（a,力内可 导，则至少存在一点£（”,

3、），使得广信）二二）一”"b-a注：（D 拉格朗日中值公式=（a<<b）.（2）证明中辅助函数的构造是不唯一的，比如取尸（幻=/（幻一,）一（x；b-a（3）拉格朗日中值定理的几何意义：在一段连续曲线上，若除两端点外处处都存在不垂直于x轴的切线， 则其中至少有一条切线平行于端点连线；（4）拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的一种推广，而罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特例：2 .两个推论（1）设/3）在区间5力）内可导，且八刈三0,则/3）在（4）内是常值函数.（2）若在区间（。/）上广（x）三屋（X）,则在伍力）上有/（幻-g（x） = C （C是常数）.3 .有限增量

4、公式:Ay = f（x + Ax） - f（x） = f .三.柯西中值定理1.定理：（柯西中值定理）设函数/（x）、/W满足（1）在闭区间出,句上连续；（2）在开区间5/）内可导,且尸（外工0,则在（。/）内至少存在一点使得/（“）、/（）=gl.F-F尸2,柯西中值定理的几何意义：设曲线由参数方程' = ："）'表示，过点A（尸（0, /（.）与 U = /（）B（F（b）, /S）的弦A3的斜率为J（"） /“）,又于（x）,尸（,v）在开区间（。,）内可导，且 9"）力0,则 F（b） - F（a）参数方程所确定的函数的导数为%=篇，因此，

5、定理的结论是说在开区间（/）内至少存在一点自，使曲线上对应，=4处的。点的切线与割线A8平行.3.拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例.四.例题饼解例1. tS/(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4),不求导数证明方程/'") = 0有三个实根.例2.证明：方程x5-5a+3 = 0有且仅有一个小于1的正实根.例3.已知函数/(幻在0,。上连续，在(0,。)内可导,且f(0) = f(a) = 0,证明至少存在一点Je(0, “)， 使得/信)2/q) = 0.例4.设f(x) = 3x2+2x + 5,求f(x)在a,h上满足拉格朗日中值定理的§值.

6、例 5.对任意的,证明arctanx + arccotx = g.例6.利用拉格朗日中值定理证明：当XW0时，er>l + x.例7.(区间测速)交通管理中测汽车的车速是否超速，一般采用区间测速的方法，假设时间点。采集到汽车 的位移为/()，时间点采集到汽车的位移为/S)，可以据此算出平均速度为b-a比如算出来平均速度为70km/h，平均速度是由瞬时速度叠加的结果，那么路程中的瞬时速度可能为：匀速前进：那么整个路程的瞬时速度必然全为70km/h：变速前进：整个路程的瞬时速度必然有大于、等于、小于70km/h的情况.如果这段路限速60km/h ,那么根据汽车的平均速度为70km/h ,就可

7、以判定路程中必然至少有一个点超 速.显然是用拉格朗日中值定理解决的一个实际问题.例8.对函数/(x) = d及/(x) =+ l在区间1,2上验证柯西中值定理的正确性.例9.设函数/*)在0,1上连续，在区间(0,1)内可导，证明：至少存在一点§£(0,1),使得 /) = 2/(1)-/(0).渡作图号02教学基本指标教学课题第3章第2节洛必达法则课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点用洛必达法则求未定式极限的方法教学难点用洛必达法则求未定式极限参考教材同济七版高等数学上册作业布置课后习题大纲要求掌握用洛必达法则求未定式极限

8、的方法教学基 本 内 容1 .“9”型未定式 01 .定理：(洛必达法则I)设/")、g(x)在X。的某一去心邻域内有定义，如果(1) lim f(x) = 0 , lim g(x) = 0 ：(2) /3)、g(x)在X。的某邻域内可导，且g'(x)WO：(3) lim存在(或无穷大)，那么华2.(4) g MJ。g(x) J”。g (x)2 .如果lim还是“-”型未定式，且函数/'(X)与g(t)满足洛必达法则I中应满足的条件，则可继 J" g (x)0续使用洛必达法则，即有=依此类推，直到求出所要求的极限.g(x) *f"。g(X) “一。

9、g(X)3 .洛必达法则I中，极限过程X -> X。若换成X f X(J , X -> /-以及X T oo , X >-KX> , X f YQ情形的9型未定式，结论仍然成立.02 .型未定式O01 .定理：(洛必达法则II)设/(X)、g(x)在X。的某一去心邻域内有定义，如果(1) lim f(x) = oo, lim g(x) = s ； JTAbKT%(2) f(x) . g(x)在x0的某邻域内可导，且g'(x)WO：(3) lim 存在(或无穷大)，那么if闻 g (x)I/ g(x) if *。g (x)2 .如果lim(±2还是&qu

10、ot;：”型未定式，且函数/'(X)与g'(x)满足洛必达法则H中应满足的条件，则可 闻g(X)8继续使用洛必达法则，即有依此类推，直到求出所要求的极限. g(x) XT/ g (X) 10 g (x)3 .洛必达法则II中，极限过程Xf /若换成X %+, Xf X。-以及X 8, X.48, X 8情形 的“-”型未定式，结论仍然成立.三.其它类型的未定式L “0。”型未定式设 lim f(x) = 0 , lim g(x) = 8 ,贝I lim f (x) . g(x)= lim( 9 型)，或 lim f (x) - g(x)= lim( £ 型).XTqX

11、f"XT."NT/) 10XT3 XT& 1 X而7o)2 .“ 8-8 ”型未定式：可以通过通分化简等方式转化为“9 ”型或“-”型未定式. 0x3 . “0° ,广，s° ”型未定式：可以通过取对数进行转化，lim"*)产)=limegc. =8皿d” 无论 "(x)F，是上述三种类型中的哪一种，limg(x)】n/(x)均为“0a”型未定式.四.小结利用洛必达法则求未定式的极限，总结如下：1 .洛必达法则只能适用于“ ° ”和“-”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“ ° ”或“艺”型才 080

12、co能运用该法则.2 .只要条件具备，可以连续使用洛必达法则.3 .洛必达法则可以和其它求未定式的方法结合使用.4 .洛必达法则的条件是充分的，但不必要.在某些特殊情况下洛必达法则可能失效，此时应寻求其他解法. 五.例题讲解例1.计算lim上一-.3° V-A例2.计算理二七二例3.计算叫tan x-xx1 sinx例4.设/"(x)在x =。点附近连续，求极限lim/(" + ")十 ,”" 一 )-2/9)n xt"例 5,计算 lim (« > 0); (2) lim (n > 0).、. In cot x

13、例6.计算hm.f In x例 7.计算 lim-+ sin A-.f 1 + X例 8.计算 lim.vlnx .T)+例 9,计算 lim (sec x-tan x).ig例10.计算lim xx .xr例IL计算liinN37.XT】例 12. i| limtann f + -f 4 n梭锦泽号3教学基本指标教学课题第3章第3节泰勒中值定理课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点将函数展开成泰勒展式，利用泰勒公式求极限教学难点利用泰勒公式求极限参考教材同济七版高等数学上册作业布置课后习题大纲要求理解并会用泰勒定理.教学基 本 内 容泰勒中值定

14、理1 .定理：(泰勒中值定理)如果/(X)在含有X。的某(3。)内具有直到+ 1阶导数，则对任意xe(aS),有f(x) = f(xo) + f ()(A- xo)+ 、 (X A-o) +.+(X xo) +R“(x),尺(幻一。一"0)，其2!n(h + 1)!中f介于与与X之间.2 .泰勒多项式：次多项式“(幻=/(与)+.广(%)*,¥0)+(冬0-巾)2+ +小；皿(工一.")“称为函数/3)在/处的阶泰勒多项式，其系数q =23伏=0.12)称为外外在与处泰勒系数. n!3 .泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.4 .称 f(x) = f(xQ) +

15、 fx0)(x-x0) + -Z"-(x-x0)2 + . . . + -一沙(x 一 ,7)"+d(x Xo)"为阶带有佩亚 2!nl诺型余项的泰勒公式.二.麦克劳林公式1 .定理：如果函数/(x)在含有文=0的某个开区间(。力)内具有直到，+ 1阶的导数，则对任意工£(。,份，称/(.r) = /(0) + /(0)x+厂+为函数“X)的阶带有拉格朗乙. r 1 1 1 7 日型余项的麦克劳林公式.2 .带有佩亚诺型余项的阶麦克劳林公式为/(x) = /(0) + /'(0)x + 2!n!三.几个重要初等函数的麦克劳林公式例1 .求函数/(

16、x)=炉的阶麦克劳林公式.例2,求函数f（x） = sinx的阶麦克劳林公式.另外几个常用函数的麦克劳林公式:(1)/ v4COSX = 1- + - + (-1)"12! 4!y2m(W+&川贯），其中cosex + (? + l)7r 2M (2? + 2)!=（一1 严cos 6x(2? + 2)!(2)呻+幻7一乎.+5= +*），其中山）=（ + ：£.（°"。）.(3)“ 、a 1C(C-1)、(1 + x) = + ax+-k + +2!a(a n +1)八 、a +RQ)，其中Rn(x) =a(a - 1) (a - + l)(a

17、 - )5 + 1)!(l + )a-;MZ+I (0<6><1);1（一1 尸(4)而».+（-心网），其中，X.-1, & 四.泰勒公式的应用L泰勒公式间接展开法：利用已知函数的麦克劳林公式，可以间接的写出某些复杂函数的泰勒公式或麦克 劳林公式.2 .利用泰勒公式求极限：带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式应用于求极限运算中，可以简化运算，它是求 某些未定式极限的重要工具.3 .求高阶导数值：若函数/（外在点/处的泰勒公式可以使用间接展开法得到，则根据泰勒公式的唯一性, 可以确定函数fix）在点小处的各阶导数值.4 .近似计算.五.例题讲解例3,求函数/6）=

18、依-"的带有佩亚诺型余项的阶麦克劳林公式.例4.求函数J 在x = 1处的带有佩亚诺型余项的阶泰勒公式. 3 + x一 er +2cosx-3例5.求极限hni5.D X例 6.设 /（A） = A-2 sin x ,试求 /（99（0）.例7,求无理数e的近似值，使误差不超过10«.毅薛本号04教学基本指标教学课题第3章第4节函数的单调性、极值与最值课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点函数的单调性判别、极值与最值的求法教学难点极值与最值的求法参考教材同济七版高等数学上册作业布置课后习题大纲要求理解函数的极值概念，掌握用导数

19、判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最 小值的求法及其简单应用。教 学 基 本 内 容一.函数的单调性1 .定理：设函数/(X)在区间/上可导，对一切XW/有(1)fx) > 0,则函数/(x)在/上单调增加；2 2) fx) < 0,则函数/(x)在/上单调减少.3 .讨论函数单调性的步骤如下：(1)确定了)的定义域:(2)求/'(X),并求出/*)单调区间所有可能的分界点(包括/'*) = 0的驻点、/'(X)不存在的点、/(a) 的间断点)，并根据分界点把定义域分成相应的区间；(3)判断一阶导数/'(X)在各区间内的符号，从而判

20、断函数在各区间中的单调性.二.函数的极值1 .极值的定义定义：设/(幻在点质的某邻域U"o)内有定义，若对于U(%»)内异于见的点x都满足：(1)/*)</(%),则称/(%)为函数的极大值，/称作极大值点：2 2) /(x)>/(x0),则称/(见)为函数的极小值，与称作极小值点.函数的极大值和极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称作极值点.2.极值的判别法定理：（极值的必要条件）若可导函数y = /（x）在点/取得极值，则点/一定是其驻点，即r（x0） = O.对于定理3.9,需要说明两点：定理：（极值存在的第一充分条件）设函数f（x）在公处连续，在X

21、。的某邻域U（Xo,5）内可导，如果满足:（1）当xo6xvx。时，.广（工）0：当a0cxx0+3时，/V）0,则/"）在/处取得极大值：（2）当%-bvxvx。时，r（力0：当时,r（x）0,则f（x）在处取得极小值：（3）当x在.%点左右邻近取值时，/（X）的符号不发生改变，则/*）在点/处不取得极值.注：求函数极值的步骤：（1）确定函数的连续区间（初等函数即为定义域）：（2）求导数广。）并求出函数的驻点和导数不存在的点：（3）利用极值存在的第一充分条件依次判断这些点是否是函数的极值点；（4）求出各极值点处的函数值，即得f（x）的全部极值.定理：（极值存在的第二充分条件）设函数

22、/（X）在/点处二阶可导，且广&。）= 0,则（1）若fYxjvO,则/（%）是/。）的极大值；（2）若/（不）0,则八%）是f（x）的极小值;（3）当尸"。）= 0时，/（.%）有可能是极值也有可能不是极值.三.函数的最值1 .闭区间上函数的最值（1）设函数f（x）在闭区间瓜上连续，根据闭区间上连续函数的性质（最值定理），/（X）在d加上一定 存在最值.而且，如果函数的最值是在区间内部取得的话，那么其最值点也一定是函数的极值点：当然，函数 的最值点也可能取在区间的端点上.（2）步骤来求给定闭区间上函数的最值：（i）在给定区间上求出函数所有可能极值点：驻点和导数不存在的点；（

23、ii）求出函数在所有驻点、导数不存在的点和区间端点的函数值：（iii）比较这些函数值的大小，最大者即函数在该区间的最大值，最小者即最小值.2 .实际应用中的最值(1)在生产实践和工程技术中，经常会遇到求在一定条件下，怎样才能使“成本最低”、“利润最高”、“原 材料最省”等问题.这类问题在数学上可以归结为建立一个目标函数，求这个函数的最大值或最小值问题.(2)对于实际问题，往往根据问题的性质就可以断定函数f(x)在定义区间内部存在着最大值或最小值.理 论上可以证明这样一个结论：在实际问题中，若函数/")的定义域是开区间，且在此开区间内只有一个驻点小, 而最值又存在，则可以直接确定该驻点

24、.%就是最值点，/(%)即为相应的最值.四.例题讲解例1 .讨论函数/*) = 2/ 9/ +12x - 3的单调增减区间.例2.判断函数/(x) =的单调性.例3.设/(幻=(一' '确定/(x)的单调区间.xarctanx ,x>0.例4.证明：当x0时，ev>x + l.例5.求函数/(x) = (x 1) "的极值.例6.求函数/(x) = 丁 - In f的极值.3三1例7,求函数f(x) = x + -x3在区间-8,-上的最大值与最小值.28例8.水槽设计问题有一块宽为24的长方形铁皮如图3.8所示,将宽所在的两个2a边缘向上折起，做成一个开

25、口水槽，其横截面为矩形，问横截面的高取何值时水槽的流量最大(流量与横截而积成正比).图3£例9.用料最省问题要做一圆柱形无盖铁桶，要求铁桶的容积丫是一定值，问怎样设计才能使制造铁桶的用料最省?例10.面积最大问题将一长为2L的铁丝折成一个长方形，问如何折才能使长方形的面积最大.毅僻本号05教学基本指标教学课题第3章第5节函数的凹凸性及函数作图课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点函数的凹凸性、拐点，函数作图教学难点函数的凹凸性的判别与拐点的 求法参考教材同济七版高等数学上册作业布置课后习题大纲要求会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图

26、形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数 的图形。教学基 本 内 容一.曲线的凹凸性与拐点1.定义：设函数/3）在区间/上连续，如果对/上任意两点须和Z，总有/（.'1一/”?,则称在区间/上的图形是凹的（或下凸的）；如果总有了 土口 乜）+ 0,则称在区间/上的图形V 2 ；2是凸的（或下凸的）.2 .定义：设函数/（X）在开区间（*）内可导，如果在该区间内/3）的曲线位于其上任何一点切线的上方， 则称该曲线在（“,）内是凹的，区间（,）称为凹区间：反之，如果/a）的曲线位于其上任一点切线的下方， 则称该曲线在（",）内是凸的，区间（,）称为凸区间.曲线上凹凸区间的分界

27、点称为曲线的拐点.注：拐点是位于曲线上而不是坐标轴上的点，因此应表示为（%,/（4）,而x = x0仅是拐点的横坐标，若 要表示拐点，必须算出相应的纵坐标了（小）.3 .定理：设函数/（X）在4句上连续，在（。口）内二阶可导,那么（1）若对/7x）0,则/（x）在a,切上的图形是凹的；（2）若对Vxe（a,），/*（x）0,则:在。向上的图形是凸的.4 .求函数的凹凸区间和拐点的步骤：（1）确定函数的连续区间（初等函数即为定义域）：（2）求出函数二阶导数，并解出二阶导数为零的点和二阶导数不存在的点，划分连续区间：(3)依次判断每个区间上二阶导数的符号，确定每个区间的凹凸性，并进一步求出拐点坐标

28、.2 .曲线的渐近线1 .定义：如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某条直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的 渐近线.2 .水平渐近线如果曲线y = /(x)的定义域是无限区间，且有lim/(x) = 8或lim/(x) = ，则直线 > =匕为曲线.1+3C.V->-xy = /(x)的渐近线，称为水平渐近线.3 .铅直渐近线设曲线y = /(x)在点x = ”的一个去心邻域(或左邻域，或右邻域)中有定义，如果lim /(x) = oc或lin1/(x) = s,则直线x = ”称为曲线)，=/(x)的铅直渐近线.4 .斜渐近线如果lim"(x) (6+/力=0

29、,则称直线)，=心:+是曲线y = /(x)的斜渐近线，其中lim/LD = k, XfXx->oc Ximf(x)-kx = b.3 .函数作图利用导数描绘函数图形的一般步骤如下：1 .求出函数y = /(x)的定义域，确定图形的范围；2 .讨论函数的奇偶性和周期性，确定图形的对称性和周期性；3 .计算函数的一阶导数 广。)和二阶导数/"(x)：4 .求函数的间断点、驻点、不可导点和拐点，将这些点由小到大，从左到右插入定义域内，得到若干个 子区间；5 .列表讨论函数在各个子区间内的单调性、凹凸性、极值点和拐点；6 .确定函数图形的水平、铅直渐近线，确定图形的变化趋势；7 .求曲线上的一些特殊点，如与坐标轴的交点等，有时还要求出一些辅助点的函数值，然后根据(5)中的 表格指点绘图.8 .例题讲解例1.判定曲线y = x arctanx的凹凸性.例2.讨论曲线y =/41+2x 5的凹凸区间和拐点.例3.求曲线)，=。7的拐点.例4.问曲线)，= /是否有拐点？例5.求反正切曲线y = arctan x的水平渐近线.例