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文档简介

1、随机变量的数字特征 一、【重点】1数学期望，方差的定义，性质和计算.2常用随机变量的数学期望和方差.3协方差、相关系数和矩的定义，性质和计算.二、【难点】1随机变量函数的数学期望, 方差.2独立与不相关的关系.三、【基本概念与定理】1. 数学期望定义（1）离散型: 设离散型随机变量X的分布律为 ,若级数绝对收敛,则称级数的和为随机变量X的数学期望.记为.（2）连续型: 设连续型随机变量X的概率密度为,若积分绝对收敛,则称积分的值为随机变量X的数学期望,记为.2随机变量函数的数学期望：定理1.设离散随机变量X的分布律为 , 是实值连续函数,且级数绝对收敛,则随机变量函数的数学期望为.定理2.设连

2、续随机变量X的概率密度为,是实值连续函数,且广义积分绝对收敛, 则随机变量函数的数学期望为定理3.设二维离散随机变量(X,Y)的联合分布律为 ,是实值连续函数,且级数绝对收敛 ,则随机变量函数的数学期望为.定理4. 设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为,是实值连续函数, 且广义积分绝对收敛 ,则随机变量函数的数学期望为3. 数学期望的性质:（1）.(是常数)（2）.(是常数)（3）（4）设相互独立,则4方差定义：设是一个随机变量,若存在,则称为的方差,记为或,即=.称为标准差或均方差.5方差的性质：（1）.(是常数)（2）.(是常数)（3）设相互独立,则6切比雪夫(Chebyshe

3、v)不等式：设随机变量具有数学期望 则对于,不等式成立.7协方差定义：称为随机变量与的协方差，记为 .8协方差的性质： （1）.（2）.（3）(为任意常数).（4）.9相关系数定义：设随机变量的数学期望,方差都存在,称 为随机变量的相关系数.10相关系数性质：（1）.（2） 常数且,使得.当时,称与不相关;当时,称与完全相关.11矩定义: 设和是随机变量,若; 存在,称它为的 阶原点矩.若 ; 存在,称它为的 阶中心矩.若 ; 存在,称它为和的 阶混合原点矩. 若 ; 存在,称它为和的 阶混合中心矩.12. 协方差矩阵定义:的协方差矩阵 其中 四、【基本公式与法则】1.方差的计算公式:2协方差的计算公式：3.几种重要的数学期望与方差：（加粗）（1）(0-1)分布 则

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