二元一次方程组典型应用题分类赏析

1、实际问题与二元一次方程组题型归纳知识点一：列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题是把 朱知”转化为 它知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等 关系.一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系1.行程问题：(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行.这类问题比较直观，画线段，用图便于理解与分析其等量关系式是：两者的行程差=开始时两者相距的路程；路程二速度乂时间；速度二2菩；B寸间=?需时间 速度

2、(2)相遇问题：相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行.这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析.这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和=总路程(3)航行问题：船在静水中的速度十水速=船的顺水速度；船在静水中的速度-水速=船的逆水速度；顺水速度逆水速度=2 XZK速.注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似2 .工程问题：工作效率 *工作时间=工作量.3 .商品销售利润问题：售价讲价利润=售价成本(进价)；(2)利润率=二片 Xi。%；利润=成本(进价)剂润率；(4)标价=成本(进价)*1+利润率)；(5)实际售价=标价

3、对丁折率；(5) 注意：商品利润=售价-成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售.(例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十)(6) 4.储蓄问题：(7) (1)基本概念(8) 本金：顾客存入银行的钱叫做本金.利息：银行付给顾客的酬金叫做利息.(9) 本息和：本金与利息的和叫做本息和.期数：存入银行的时间叫做期数.(10) 利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率.利息税：利息的税款叫做利息税.(11) (2)基本关系式(12) 利息=本金 项J率 现数(13) 本息和=本金+利息=本金十本金汨率糊数=本金X (1十利率加数)(14

4、) 利息税=利息 冰U息税率=本金 瘠U率瑾数期U息税率.1(15) 税后利息=利息 X(1利息税率)年利率=月利率 X2月利率=年利率 .12注意：免税利息=利息5 .配套问题：解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例6 .增长率问题：解这类问题的基本等量关系式是：原量1+增长率)=增长后的量；原量1 减少率)=减少后的量.7 .和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系是：较大量=较小量十多余量，总量=倍数4W量.8 .数字问题：解决这类问题，首先要正确掌握自然数、 奇数、偶数等有关概念、特征及其表示.如当n为整数时，奇数可表示为2n+1(或 2n-1),偶数可

5、表示为2n等，有关两位数的基本等量关系式为：两位数=十位数字10+个位数字9 .浓度问题：溶液质量 父农度=溶质质量.10 .几何问题：解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式11 .年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的12 .优化方案问题：在解决问题时，常常需合理安排 .需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要 运用方程解答，得出最佳方案.注意：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点，比较几种方案得出最佳方案.知识点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤利用二元一次方程

6、组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：1 .审题：弄清题意及题目中的数量关系；2.设未知数：可直接设元，也可间接设元；3.找出题目中的等量关系；4.列出方程组：根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组成方程组；5.解所列的方程组，并检验解的正确性；6.写出答案.要点诠释：(1)解实际应用问题必须写 答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；(2)设“、答两步，都要写清单位名称；(3)一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组(4)列方程组解应用题应注意的问题弄清各种题型中基本量之间的关系；审题时，注意从文字，图表中获得有关

7、信息；注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列方程组与解方程组时，不要带单位；正确书写速度单位，避免与路程单位混淆；在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件；列方程组解应用题一定要注意检验.类型一：列二元一次方程组解决一一行程问题1 .甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留 1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？思路点拨：画直线型示意图理解题意:汽车行破小时的痛衽2乙准ifc(1)这里有两个未知数：汽车的行程；拖拉

8、机的行程(2)有两个等量关系:相向而行：汽车行驶11小时的路程十拖拉机行驶31 ,三,1小时的路程=160千米;同向而行：汽车行驶1一，工一小时的路程=拖拉机行驶21 一一小时的路程.2解：设汽车的速度为每小时行工千米,拖拉机的速度为每小时万千米.根据题意，列方程组90113答：汽车行驶了165千米,拖拉机行驶了总结升华:160,解这个方程组，得：1165, 30285千米.90,30111185.32根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系,是行程问题的常用的解决策略【变式11甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发 2.5小时后相遇；如果

9、乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发 3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米?【变式2】两地相距280千米，一艘船在其(航行，顺流用 14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度类型二：列二元一次方程组解决一一工程问题家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲商店应各付多少元?8天可以完成，需组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共 3480元，问：(1)甲、乙两组工作一天, (2)已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需 24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少?思路点拨：本题有两层含义，各自隐含两个等式，第一

10、层含义：若请甲、乙两个装修组同时施工,付两组费用共3520元；第二层含义：若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做 12天可完成，需付两组费用共3480元.设甲组单独做一天商店应付 x元，乙组单独做一天商店应付y元，由第一层含义可得方程 8 (x+y) =3520，由第二层含义可得方程 6x+12y=3480.解：（1）设甲组单独做一天商店应付 x元，乙组单独做一天商店应付 y元，依题意得:代工+步尸充也= l6x+12=3480,Ly-14Q答：甲组单独做一天商店应付 300元，乙组单独做一天商店应付140元.（2）单独请甲组做，需付款 300X12 = 3600元，单独请乙组做，需付款24X1

11、40=3360元，故请乙组单独做费用最少.答：请乙组单独做费用最少.总结升华：工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一，一般地，将工作总量设为1,也可设为a,需根据题目的特点合理选用；工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做 4周后,剩下的由乙公司来做，还需 9周完成，需工钱4.8万元若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲 公司还是乙公司？请你说明理由.类型三：列二元一次方程组解决 商品销售利润问题.有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4

12、%,共可获利46元.价格调整后，甲商品的利润率为4%,乙商品的利润率为 5%,共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元?思路点拨：做此题的关键要知道：利润=进价格U润率解：甲商品的进价为 x元，乙商品的进价为 y元，由题意得:5% 氏十 4%第=46工=600,解得：14% 工+ 5%丁 = 44= 400答：两件商品的进价分别为 600元和400元.【变式1】（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利 18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利 1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？【变式2】某商场用36万元购进A、B两种商品

13、，销售完后共获利 6万元，其进价和售价如下表:AB进价（元/件）12001000售价（元/件）13801200（注：获利=售价一进价）求该商场购进 A、B两种商品各多少件;类型四：列二元一次方程组解决 一一银行储蓄问题.小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25%的教育储蓄，另一种是年利率为2.25%的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利 息所得税=利息金额X20%,教育储蓄没有利息所得税）工二 1500 ”500思路点拨：设教育储蓄存了 x元，一年定期存了 y元，我们可以根据题意可列出表格：教

14、育储蓄一年定期合计现在xy一年后x x 2.25%y y 2.25% 80%2042.75解：设存一年教育储蓄的钱为 x元，存一年定期存款的钱为 y元，则列方程:y - 2000 -工(1 + 0 0225)z +疝* 0.0225(1 - 0.2) = 2042.75答：存教育储蓄的钱为 1500元，存一年定期的钱为 500元.总结升华：我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来【变式1】李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可

15、得利息43.92元.已知两种储蓄年利率的和为 3.24%,问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：公民应缴利息所得税=利息金额及0%）【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了 3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%;第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息 303.75元（不计利息税），问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？类型五：列二元一次方程组解决一一生产中的配套问题5.某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每 2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.现计

16、划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？思路点拨：本题的第一个相等关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2彳（注意：别把2倍的关系写反了 ）.解：设用胃米布料做衣身，用丁米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根据题意，得：k +p -132a 60J = 72答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套总结升华：生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等.各种配套

17、都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键 【变式11现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做 8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？【变式2】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套【变式3】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做桌面 50个，或做桌腿300条.现有5立方米的木料，那么用多

18、少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少张方桌？类型六：列二元一次方程组解决 一一增长率问题某工厂去年的利润（总产值一总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了 20%,总支出比去年减少了 10%,今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？思路点拨：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则有总产值（万元）总支出（万元）利润（万元）去年xy200今年120%x90%y780根据题意知道去年的利润和今年的利润，由利润=总产值一总支出和表格里的已知量和未知量，可以列出两个等式解：设去年的总产值为 x万元，总支出为y万元，根据题意得：k

19、- 2000v = 1300卜一* 二 200120%x-?0% = 780答：去年的总产值为 2000万元，总支出为1800万元总结升华：当题的条件较多时，可以借助图表或图形进行分析【变式1】若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？【变式2】某城市现有人口 42万，估计一年后城镇人口增加 0.8%,农村人口增加1.1%,这样全市人口增加1%,求这个城市的城镇人口与农村人口 .类型七：列二元一次方程组解决一一和差倍分问题 7. （2011年北京丰台区中考一摸试题）爱心”帐篷厂和 温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷 14千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷.为此

20、，全体职工加班加点，爱心”帐篷厂和 温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务.求在赶制帐篷的一周内，爱心”帐篷厂和 温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？L_J思路点拨：找出已知量和未知量，根据题意知未知量有两个，所以列两个方程，根据计划前后，倍数关系由已知量和未知量列出两个等式，即是两个方程组成的方程组解：设原计划 爱心”帐篷厂生产帐篷x千顶，温暖”帐篷厂生产帐篷y千顶，由题意得:X1.6xy 9,口,解得:1.5y 14x 5,y 4所以：1.6x=1.6；： 5=8, 1.5y=1.5 4=6答：爱心”帐篷厂生产帐篷8千顶，温暖”帐篷厂生产帐篷6

21、千顶.【变式1】（2011年北京门头沟区中考一模试题）地球一小时”是世界自然基金会在 2007年提 出的一项倡议.号召个人、社区、企业和政府在每年3月最后一个星期六 20时30分一21时30分熄灯一小时，旨在通过一个人人可为的活动，让全球民众共同携手关注气候变化，倡导低碳生活.中国内地去年和今年共有119个城市参加了此项活动，且今年参加活动的城市个数比去年的3倍少13个，问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动.【变式2】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽.如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有

22、多少人吗？类型八：列二元一次方程组解决一一数字问题.两个两位数的和是68,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大 思路点拨：设较大的两位数为 x,较小的两位数为y.问题1：在较大的两位数的右边写上较小的两位数，所写的数可表示为:问题2：在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示为：2178,求这两个两位数.100x + y100y + x解：设较大的两位数为 x,较小的两位数为y.依题意可得:x + y - 68= 45,解得：QOO 工+力-。口0/+力=217Wf=23答：这两个两位数

23、分别为 45, 23.【变式11 一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23;这个两位数除以它的各位数字之和，商是 5,余数是1,这个两位数是多少？【变式2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5,如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少 9,求这个两位数？【变式3】某三位数，中间数字为 0,其余两个数位上数字之和是 9,如果百位数字减1,个位数字加1,则所得新三 位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数类型九：列二元一次方程组解决 一一浓度问题.现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是3 ： 7,乙种酒精溶液的酒精与水的比

24、是要得到酒精与水的比为 3 : 2的酒精溶液50kg,问甲、乙两种酒精溶液应各取多少?思路点拨：本题欲求两个未知量，可直接设出两个未知数，然后列出二元一次方程组解决，题中有以下几个相等关系：（1）甲种酒精溶液与乙种酒精溶液的质量之和=50； （2）混合前两种溶液所含纯酒精质量之和=混合后的溶液所含纯酒精的质量；（3）混合前两种溶液所含水的质量之和=混合后溶液所含水的质量；（4）混合前两种溶液所含纯酒精之和与水之和的比=混合后溶液所含纯酒精与水的比解：法一：设甲、乙两种酒精溶液分别取x kg , y kg.依题意得：解得:二十沙二50343三工十y =，50L1055答：甲取20kg,乙取30k

25、g法二：设甲、乙两种酒精溶液分别取10x kg和5y kg,则甲种酒精溶液含水 7x kg,乙种酒精溶液含水 y kg,根据题意得:1。父+ 5y = 50解得仁6所以 10x=20,5y=30.答：甲取20kg,乙取30kg总结升华：此题的第（1）个相等关系比较明显，关键是正确找到另外一个相等关系，解这类问题常用的相等关系是：混合前后所含溶质相等或混合前后所含溶剂相等.用它们来联系各量之间的关系，列方程组时就显得容易多了 .列方程组解应用题，首先要设未知数，多数题目可以直接设未知数，但并不是千篇一律的，问什么就设什么.有时候需要设间接未知数，有时候需要设辅助未知数. 举一反三：【变式1】要配

26、浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少？【变式2】一种35%的新农药，如稀释到 1.75%时，治虫最有效.用多少千克浓度为 35%的农药加水多少千克，才能配 成1.75%的农药800千克？类型十：列二元一次方程组解决 一一几何问题 10.如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？思路点拨：初看这道题目中没有提供任何相等关系，但是题目提供的图形隐含着矩形两条宽相等，两条长相等, 我们设每个小长方形的长为 x,宽为v,就可以列出关于 x、y的二元一次方程组.解：设长方形地砖的长 xcm,宽ycm,由题意得：五十卫二60解得

27、， 2x =x - 2yx= 45方=15答：每块长方形地砖的长为 45cm、宽为15cm.总结升华：几何应用题的相等关系一般隐藏在某些图形的性质中，解答这类问题时应注意认真分析图形特点，找 出图形的位置关系和数量关系，再列出方程求解.举一反三：【变式11用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉3厘米，补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？【变式2】一块矩形草坪的长比宽的 2倍多10m,它的周长是132m,则长和宽分别为多少?类型十一：列二元一次方程组解决一一年龄问题1.今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多少?思路点拨：解本题的关键是理解 “年后”这几个字的含义，即6年后父子俩都长了 6岁.今年父亲的年龄是儿子的 5倍，6年后父亲的年龄是儿子的 3倍，根据这两个相等关系列方程解：设现在父亲x岁，儿子y岁，根据题意得:解得二答：父亲现在30岁，儿子6岁.总结升华：解决年龄问题，要注意一点：一个人的年龄变化（增大、减小）了，其他人也一样增大或减小，并且增大（或减小）的岁数是相同的（相同的时间内） 【变式11今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.类型十二：列二元一次方程组解决 一一优化方案问题