二次函数与相似三角形综合题20160203(word文档良心出品)

1、二次函数与相似三角形1例1如图1,已知抛物线y= x2+x的顶点为A,且经过原，与 x轴交于点O、Bo 4(1)若点C在抛物线的对称轴上，点 D在抛物线上，且以 0、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求 D点的坐标；(2)连接OA、AB,如图2,在x轴下方的抛物线上是否存在点 P,使得 OBP与 OAB相似？若存在，求出 P点的坐标；若不存在，说明理由。分析:1 .当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以0、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论：按0B为边和对角线两种情况2.函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 求相似三角形

2、的第三个顶点时，先要分析已知三角形 的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长廛，之后利用相似来列方程求解。解:如图1,当0B为边即四边形 OCDB是平行四边形时，CD幺0B, r12由 0 =_(x -2)2 +1 得 x1 =0,x2 =4 , 4.B(4,0),OB =4.D点的横坐标为61将 x=6 代入 y =_(x -2)2 +1,得 y = _

3、 3,4 D(6, 3);根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB是平行四边形，此时D点的坐标为(2, 3),D点的坐标为(2,1)当OB为对角线即四边形 OCBD是平行四边形时，D点即为A点，此时 如图2 ,由抛物线的对称性可知 :AO = AB, / AOB = / ABO.若 BOP 与 AOB 相似，必须有/ POB = / BOA = / BPO设OP交抛物线的对称轴于 A点，显然A (2-1),直线OP的解析式为y由x=-1x2 x 24. P(6, -3)过 P 作 PEx 轴，在 RtABEP 中,BE = 2,PE=3, ，PB=屈 W4.P

4、B OB, BO由 ZBPO,. PBO与 BAO不相似，同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点.例2 (2013凉山州压轴题) 如图，抛物线y= x2+x+4交x轴于AB两点，与y轴交于点C,所以在该抛物线上不存在点P,使得 BOP与 AOB相似.以OC OA为边作矩形OAD改抛物线于点G.(1)抛物线的对称轴l在边OA (不包括。A两点)上平行移动，分别交 x轴于点E,交 CD于点F,交AC于点M,交抛物线于点P,若点M的横坐标为 m请用含m的代数式表示 PM 的长；(2)在(1)的条件下，连结 PC则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点 P,使得以 P、C、F为顶点的三

5、角形和 AEM相似？若存在，求出此时 m的值，并直接判断 PCM的形 状；若不存在，请说明理由.CB考点:分析:二次函数综合题.(1)将A (3, 0), C (0, 4)代入y=ax2- 2ax+c,运用待定系数法即可求出抛物线的解析式;(2)先根据A C的坐标，用待定系数法求出直线 AC的解析式，进而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点 P、点M的坐标，即可得到 PM的长；(3)由于/ PFC和/ AEMB是直角，F和E对应，则若以 P、C F为顶点的三角形和 AEM 相似时，分两种情况进行讨论： PFSAAEMCFS4AEM可分别用含 m的代数式 表示出AE EM CR PF的长，根

6、据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出 m的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出PCM 的形状.A (3, 0),点 C (0, 4),解答：解：(1) ,抛物线 y=ax2- 2ax+c (aw0)经过点6a+c=0，抛物线的解析式为解得.瓦y= - x2+x+4;(2)设直线AC的解析式为y=kx+b , . A (3, 0),点 C (0, 4),3k+b二。,解得3,直线AC的解析式为y= - - x+4.3,一点M的横坐标为m点M在AC上，.M点的坐标为(m - 4 m+4), 3,一点P的横坐标为 m点P在抛物线y=-x2+x+4上,，点P的坐标为(m

7、 - m2+m+4 ,1. PM=PE ME=( n2+m+4 ( m+41 =- ni+ m 33即 PM=-吊+ m (0 v m, mo 且 m3,m=1. CFSAEM ./CPF4AME . /AME=CMFCPF=/ CMF.CP=CM .PCM为等腰三角形.综上所述，存在这样的点 P使4PFC与4AEM相似.此时m的值为21或1, 4PCM为直角三角形或等腰三角形.点评：此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质， 直角三角形、等腰三角形的判定，难度适中.要 注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类

8、讨论，以免漏解.练习1、已知抛物线y =2x2+3x经过P(63) E 153,0 j及原点0(0,0) . 332(1)过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上，任取一点Q ,过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点，交直线PC于 B点，直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形 0ABC.是否存在点Q,使得40PC与 PQB相似？若存在，求出 Q点的坐标；若不存在，说明理由.(2)如果符合(2)中的Q点在x轴的上方，连结 0Q ,矩形0ABC内的四个三角形 0PC, PQB, 0QP, 0QA之间存在怎样的关系？为什么？22设Q点的坐标为(m, n)

9、,则n = 一一 m 3一,，BQ PB要使zOCP s、PBQ,=，则有CP OC3-n m:/3，即53 一解之得，m1 =2再m2 =72 .当叫=2。3时，n=2,即为Q点，所以得Q(2JW2)一八BQ PB要使zOCP szqbp,一=，则有OC CP3-n吟号即,33 -m23解之得，m1 =3，3, m2=J3,当m = J3时，即为P点,当 N=3j3 时，n=3,所以得 0(373, -3).故存在两个 Q点使得 OCP与 PBQ相似.Q点的坐标为(2依2)(3*-3).(2)在 RtzXOCP 中，因为 tan/COP =SP =Y3 .所以 /COP =30 .OC 3当

10、 Q点的坐标为(2J3(2)时，NBPQ =NCOP =30，.所以. OPQ =/OCP =，B =/QAO =90；.因此，OPC.A PQB,AOPQ,AOAQ都是直角三角形.又在 RtOAQ 中，因为 tan/QOA=QA = 3 所以/qoa = 30 .AO 3即有 POQ =/QOA =/QPB -/COP =30 .所以 AOPC sA pqb sA OQP sOQA ,又因为 QP OP, QA OA POQ =/ AOQ = 30C ,所以 zOQA zOQP .22.在平面直角坐标系 xOy中，已知二次函数 y = -x +2x + 3的图象与x轴交于A, B两点(点A在

11、点B的左边)，与y轴交于点C .(1)若直线l : y =kx(k=0)与线段BC交于点D (不与点B, C重合)，则是否存在这样的直线l ,使得以B, O, D为顶点的三角形与 ABAC相似？若存在，求出该直线的函数(1)假设存在直线l : y =kx(k #0)与线段BC交于点D(不与点B, C重合)，使得以表达式及点 D的坐标；若不存在，请说明理由；A(1,0) B(3Q),C(0,3)B, O, D为顶点的三角形与zBAC相似.,.22解得 xi = -1, x2 = 3在 y=x +2x+3 中，令 y=0,则由x +2x + 3 = 0 ,.A(-1Q), B(3,0).令 x=0

12、,得 y=3.，C(0,3).设过点O的直线l交BC于点D ,过点D作DE，x轴于点E .丁点B的坐标为（3,0），点C的坐标为（0,3），点A的坐标为（1,0）., AB =4,OB =OC =3, NOBC =45.二 BC =J32 +32 =3夜.要使 /XBODs bac或BDOsZbac,|BD BO已有/B=NB,则只需!_l=!_l,BC BA或 BO BD耿 二 .BC BA成立.若是，则有|BDB0口BCL且-述.|BA|44而/OBC =45,j.|bE =|DE .，在RtABDE中，由勾股定理，得2be222+ DE =2 be = BD-9解得 BE = DE =一

13、（负值舍去）49 3二 OE =OB BE =3=.4 4二点D的坐标为 将点D的坐标代入 y = kx（k#0）中，求得k=3.,满足条件的直线l的函数表达式为 y = 3x .或求出直线 AC的函数表达式为y=3x+3,则与直线 AC平行的直线l的函数表达式为y=3x.此时易知/XBODs bac,再求出直线 BC的函数表达式为y = x + 3 .联立y =3x, y = x +3求得点D的坐标为任91.4 4若是，则有BD =BO|LBA 3 4BC 3； 2而/OBC =45：,，|BE =|DE二在 RtABDE 中，由勾股定理，得 BE2 + DE2 =2 BE2 = BD2 =

14、 （2企）2 .解得 BE = DE =2 （负值舍去） , OE =OB BE =32=1 .二点D的坐标为（1,2）.将点D的坐标代入y = kx（k # 0）中，求得k = 2 .满足条件的直线l的函数表达式为 y = 2x .二存在直线l : y = 3x或y =2x与线段BC交于点D （不与点B, C重合），使得以B, O, D为顶点的三角形与 ABAC相似，且点D的坐标分别为 3 ,9 i或（1,2）. 4 4（2）设过点C（0,3）, E（1,0）的直线y =4+3*0）与该二次函数的图象交于点P .将点E（1,0）的坐标代入y = kx +3中，求得k = 3 .二此直线的函数

15、表达式为 y = -3x +3.22设点P的坐标为（x, -3x +3）,并代入y = -x + 2x + 3 ,得x -5x = 0 .解得x1 =5, x2 =0 （不合题意，舍去）.: x =5, y = -12 .点P的坐标为（5,12） .此时，锐角/PCO=/ACO.又二次函数的对称轴为 x =1 ,点C关于对称轴对称的点 C的坐标为（2,3）.二当 xd5时，锐角 /PCO/ACO； p当 x0=5时，锐角 /PCO=/ACO； p当 2xp/2设M点的横坐标为m,则M (m,m2 -1).M (-2,3)点M在y轴右侧时，则m 1.AG MG(i )当AaMG s Apca时有

16、=PA CA. AG= m+1, MG= m2 -1图3点M在y轴左侧时，则m -12m 1 m -1解得mi = -1 (舍去)4 m2 = 2 3(ii )当 A MAG s &PCA时有AGnMGCA PA/2,m 1 m -132解得：mi = -1 (舍去)m2 =4 .M (4,15)，存在点 M,使以A、M、G三点为顶点的三角形与 APCA相似 4 7M 点的坐标为(-2,3) , (-,-), (4,15)3 94. (2013?曲靖压轴题)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于 A、B两点，过 A、B两点的抛物线 y=-x2-3x+4.点D为线段 AB

17、上一动点，过点 D作CDLx 轴于点C,交抛物线于点E.(1)当DE=4时，求四边形 CAEB勺面积.(2)连接BE,是否存在点D,使得4DBE和ADAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在,说明理由.考点：二次函数综合题.分析：(1)首先求出点 A、B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；(2)设点C坐标为(m, 0) (m 0),根据已知条件求出点 E坐标为(m, 8+m);由于点E在抛物线上，则可以列出方程求出m的值.在计算四边形 CAEE0积时，利用S四边形cae=SaACE+S梯形OCEB- SaBCO,可以简化计算；(3)由于4ACD为等腰直角三角形，而 DBE和ADAC相

18、似，则4DBE必为等腰直角 三角形.分两种情况讨论，要点是求出点 E的坐标，由于点E在抛物线上，则可以由 此列出方程求出未知数.解答：解：(1)在直线解析式 y=x+4中，令x=0 ,得y=4;令y=0,得x= - 4, .A (-4, 0), B (0, 4).丁点 A (-4, 0), B (0, 4)在抛物线 y=-x2+bx+c 上，.-16- 4b+c=0二 4解得：b= - 3, c=4,，抛物线的解析式为：y= - x2 - 3x+4 .(2)设点 C坐标为(m, 0) (m 0),则 OC=- m AC=4+m,. OA=OB=4.Z BAC=45 , .ACD为等腰直角三角形

19、，. CD=AC=4+m . CE=CD+DE=4+m+4=8+m，点E坐标为(m 8+m). 点 E在抛物线 y=-x2-3x+4,21- 8+m=- m - 3m+4,解得 m=-2.C (- 2, 0), AC=OC=2 CE=6,S 四边形 CAEE=Skace+S 梯形 OCEB Sabco=1x2X6+- (6+4) X 2-1X2X4=12.222(3)设点 C 坐标为(m, 0) (m45 ,而抛物线左侧任意一点K,都有/ KCNC 45 ,所以点 M不存在.解答：解：(1)二.抛物线y= (x-3) (x+1)与x轴交于A, B两点(点A在点B左侧)， ，当 y=0 时，(x

20、-3) (x+1) =0,解得x=3或-1, 点B的坐标为(3, 0). y= (x-3) (x+1) =x2 - 2x - 3= (x-1) 2 - 4,(2)如右图.抛物线y= (x-3) (x+1) =x2-2x-3与与y轴交于点 C, 二.C点坐标为(0, -3). 对称轴为直线 x=1,.点E的坐标为(1,0).连接BC,过点C作CHLDE于H,则H点坐标为(1, - 3), .CH=DH=1 / CDHC BCOC BCH=45 ,.CD=/2, CB=3d2 BCD为直角三角形.分别延长PC DC与x轴相交于点 Q R. / BDEW DCPW QCR/CDB= CDE+ BDE

21、=45 +/DCP/ QCO = RCO + QCR=45 +/ DCP/ CDB= QCO.-.BCIDAQ OC.=：,OQ CB 3 .OQ=3OC=9即 Q ( 9, 0). 直线CQ的解析式为y=-lx- 3,3直线BD的解析式为y=2x-6.fy=_ -k - 3x-7由方程组*3，解得，-24y=2x - 6|-.点p的坐标为（2 -驾；77（I）当点 M在对称轴右侧时.若点N在射线CD上，如备用图1,延长M眩y轴于点F,过点M作MG_y轴于点G . /CMN =BDE /CNM = BED=90 , .MC帖 ADBE. H=：=-一 一,MN DE 2.MN=2CN设 CN=

22、a 则 MN=2a / CDEW DCF=45 ,. .CNF 4MGF均为等腰直角三角形， .NF=CN= a CF=/2a, .MF=MN+NF=3a .MG=FG=a,2 .CG=FG FC=a,2 .M (-pa, 3+弓a).代入抛物线y= (x-3) (x+1),解得a=?6,920若点N在射线DC上，如备 用图2, MN交y轴于点F, 过点M作MGLy轴于点G./CMN = BDE /CNM=BED=90 , .MC帖 ADBE0逛.MN DE 2.MN=2CN设 CN=a 则 MN=2a / CDE=45 , .CNF 4MGF均为等腰直角三角形，_ .NF=CNa, CF=

23、la, .MF=MN NF=a,.MG=FG=-a,点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数图象上点的坐标特征， 二次函数的性质，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理，等腰 直角三角形、相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度.(2)中第问进行分类讨论及运用数形结合的思想是解题的关键.6. (2013?恩施州压轴题)如图所示，直线 l: y=3x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B.把 AOBgy轴翻折，点 A落到点C,抛物线y=x2-4x+3过点B、C和D (3, 0).(1)若BD与抛物线的对称轴交于点M点N在坐标轴上，以点 N、B、D为顶点的三角形

24、与 MCN目似，求所有满足条件的点N的坐标.(2)在抛物线上是否存在点 巳 使Sapbd=6?若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由.考点：二次函数综合题.分析：(1)由待定系数法求出直线 BD和抛物线的解析式；(2)首先确定 MCD为等腰直角三角形，因为 BND与MCDK似，所以 BND也是等腰直角三角形.如答图 1所示，符合条件的点 N有3个；(3)如答图2、答图3所示，解题关键是求出 PBD面积的表达式，然后根据 Sapbd=6 的已知条件，列出一元二次方程求解.解答：(1)抛物线的解析式为：y=x2 - 4x+3= (x-2) 2-1,，抛物线的对称轴为直线 x=2,顶点坐标为(2, - 1).直线BD y= - x+3与抛物线的对称轴交于点 M令x=2,得y=1 , .M (2, 1).设对称轴与 x轴交点为点F,则CF=FD=MN=1 MCM等腰直角三角形. 以点N B、D为顶点的三角形与 MCD相似， .BND为等腰直角三角形.如答图1所