点、直线、平面的投影

1、点、直线、平面的投影点、直线和平面是构成形体的基本几何元素，其中点是最基本的几何元素，因此首先学习点的投影。若仅有点的一面投影是不能确定点在空间位置的，因此表达空间一个点的位置，就需建立三投影面体系来确定。 一、 点的三面投影1.点的三面投影形成空间一点在一个平面上的投影仍为一个点，将点A置于三投影面体系之中，过A点分别向三个投影面作垂线(即投射线)，相交得到3个垂足，A点的H面投影为a、V面投影为a、W面投影为a，如图1a所示。在机械制图中规定：空间点用大写字母A、B、C表示；空间点在H面上的投影用其相应的小写字母a、b、c表示；在V面上的投影用a、b、c表示；在W面上的投影用a、b、c表示

2、。移出空间点A，将投影面展开如图1b所示，便得到如图1c所示的点的三面投影图。(a) (b) （c）图1点的三面投影图2点的投影规律由于投影面相互垂直，所以点的三条投影线也相互垂直，8个顶点构成正六面体，根据正六面体的性质，可以得出点在三投影面体系中的投影规律： (1) 点的水平投影与正面投影的连线垂直于OX轴,即aaOX。 (2) 点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴，即aaOZ。（3）点的水平投影到OX轴的距离等于侧面投影到OZ轴的距离，即aax= aaz。3. 点的投影与空间直角坐标的关系点的空间位置也可由直角坐标来确定。把三投影面体系看成空间直角坐标系，把投影面当做坐标面，投影轴当

3、作坐标轴，O即为坐标原点。 如图2所示，空间点A（x，y，z)到三个投影面的距离可以用直角坐标来表示，即：点A到W面的距离=OaX=x坐标；点A到V面的距离=aax=y坐标；点A到H面的距离=aax=z坐标。由此可见，若已知点的直角坐标，可作出点的三面投影。而点的任何一面投影都反映了点的两个坐标，点的两面投影即可反映点的三个坐标，也就是确定了点的空间位置。因而，若已知点的任意两个投影，就可作出点的第三面投影。【例题1】已知点A(30，10，10)，求作点A的三面投影图。作图步骤：(1)自原点O沿OX轴向左量取x=30，得点ax，过ax作OX轴的垂线，在垂线上自ax向上量取z=10，得点A的正面

4、投影a，自ax向下量取y=10，得点A的水平投影a。(2)过a作OZ轴的垂线，得交点aZ。过aZ在垂线上沿0Yw方向量取aza=10，定出点a。也可以过O向右下方作45°辅助线，并过a作OYH轴的垂线与45°线相交，然后再由此交点作0Yw轴的垂线，与过点a且垂直于OZ轴的投影线相交，交点即为a，如图2-1-9所示。图2 根据坐标求点的投影4.两点的相对位置在投影图上判断空间两点的相对位置，就是分析两点之间的上、下，左、右和前、后的关系，可由两点的坐标差值来确定。图3 两点的相对位置比较两点的X坐标，可以确定两点的左、右位置关系，X值大的在左；比较两点的y坐标，可以确定两点的

5、前、后位置关系，Y值大的在前；比较两点的z坐标，可以确定两点的上、下位置关系，z值大的在上。如图3所示，由于xA>xB，因此点A在左，点B在右；由于yA<yB，因此点A在后，点B在前；由于zA>zB。，因此点A在上，点B在下。也就是说，A点在B点的左、后、上方。 5.重影点的投影 当空间两点处于某一投影面的同一条投射线上时，两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的一对重影点，如图4所示。 (a) (b)图4重影点的投影关于重影点的表达，规定如下：两点在V面的重影，从前向后投影,在前的点(y值大)先看到，在后的(y值小)后看到。两点在H面的重影，在上的点(z值大)先看到

6、，在下的(z值小)后看到。两点在W面的重影，在左的点(x值大)先看到，在右的(x值小)后看到。注意：标记时，应将不可见的点的投影用圆括号括起来。二、直线的投影直线的投影一般仍为直线，特殊情况下积聚为点。求直线的投影，实际上就是求作直线上两个点的投影，然后连接同名投影即可。图2-1-12所示即为图5连接同面投影所得。图5 直线的投影1.各种位置直线的投影特性按照空间直线对投影面的相对位置，可将直线分为特殊位置直线和一般位置直线。特殊位置直线又可分为投影面平行线和投影面垂直线。一般位置直线：直线不平行于任何一个投影面。投影面平行线：直线仅与一个投影面平行，与另两个投影面倾斜。投影面垂直线：直线和一

7、个投影面垂直，与另外两个投影面平行。这里将直线与投影面的夹角称为直线的倾角，分别用、表示直线与H、V、W投影面的夹角，如图6所示。下面讨论这几类直线的投影特性。图6一般位置直线投影图（1）一般位置直线由正投影的基本特性中的类似性可知，一般位置直线的三面投影均不反映实长，而且小于实长。其投影与投影轴的夹角也不反映空间直线与投影面的倾角。如图6所示的直线AB即为一般位置直线。（2）投影面平行线平行于一个投影面，且倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面平行线。投影面的平行线分为三种：平行于V面的正平线、平行于H面的水平线、平行于W面的侧平线，见表1。表1 投影面平行线的立体图、投影图投影面平行线投影特

8、性：（1）投影面平行线的三个投影都是直线，在所平行的投影面上的投影反映实长，且投影与投影轴的夹角反映直线对另外两个投影面的实际倾角。（2）另两个投影比实长短，分别平行于相应的投影轴，其与所平行的投影轴的距离是空间线段与所平行的投影面之间的实际距离。（3）投影面垂直线垂直于一个投影面(必然平行于另外两投影面)的直线，称为投影面垂直线。垂直于H面(必然平行于V、W面)的直线称为铅垂线，垂直于V面(必然平行于H、W面)的直线称为正垂线，垂直于W面(必然平行于H、V面)的直线称为侧垂线。其立体图和投影图如表2-1-2所示。投影面垂直线投影特性：（1）投影面垂直线在所垂直的投影面上的投影积聚为一点。（2

9、）其他两个投影都反映线段实长，且都垂直于相应的投影轴。（3）反映实长的投影到投影轴的距离是空间线段与所平行的投影面之间的实际距离。表2 投影面垂直线的立体图、投影图2. 直线上的点（1）从属性如果点在直线上，则点的三面投影必在直线的同面投影之上，且符合点的投影规律，这种性质为从属性。图7 直线上点的投影如果点的三面投影中有一个投影不在直线的同面投影上，则该点不在直线上。图7所示，点C在直线AB上，则点C的三面投影都在直线AB的三面投影上。（2）定比性点分割线段成定比，则分割线段的各个同面投影之比等于其线段之比。如图7所示，点C将AB分为AC和CB两段，则AC：CB=ac:cb，即点分线段成定比

10、。3. 两直线的相对位置两直线在空间的相对位置有平行、相交、交叉(即立体几何中的异面)三种。平行和相交的两直线都是位于同一平面上的直线，而交叉的直线则不在同一平面上。（1）平行两直线空间平行的两直线的所有同面投影也一定互相平行；反之，若两直线的三面投影都对应平行，则空间两直线也互相平行。如图8所示，空间两直线ABCD，则abcd、abcd， abcb。图8平行两直线的投影（2）相交两直线如果空间两直线相交，则其所有同面投影必定相交，且交点符合点的投影规律；反之，如果两直线的所有同面投影相交，且交点符合点的投影规律，则该两直线在空间也一定相交。如图9所示，空间两直线AB与CD相交于点K，点K即为

11、两直线的共有点。因此k既在ab上，也在cd上，即k为ab与cd的交点；同理k为ab与cd的交点；k为ab与cd的交点。由于k、k、k为点K的投影，因此k、k、k必定符合点的投影规律。图9 相交两直线的投影（3）交叉两直线如果空间两直线既不平行也不相交，则称为交叉两直线。如图10所示，由于AB、CD不平行，它们在三个投影面中不可能都平行(特殊情况下可能有一个或两个投影面的投影平行)；又因为AB、CD不相交，投影的交点不符合点的投影规律；反之，如果两直线的投影既不符合平行两直线的投影特性，也不符合相交两直线的投影特性，则该两直线在空间为交叉两直线。图10交叉两直线的投影*4. 直角三角形法求线段实

12、长 一般位置直线的三面投影均为倾斜于投影轴的直线，不反映实长且小于实长；投影与投影轴的夹角也不反映直线对投影面的倾角。因此，对于一般位置直线，需要通过一定的图解方法才能求得直线的实长及对投影面的倾角。 如图11a所示，一般位置直线AB的水平投影为ab，直线AB与H面的倾角为。在垂直于H面的平面ABba中，过点A做直线AB0ab，则BB0A为一直角三角形。在此直角三角形中，直角边AB0=ab，即等于直线AB的水平投影；另一直角边BB0=ZB-ZA=Z，即等于直线AB两端点的Z坐标差；而直角三角形的斜边AB则为直线的实长，且BAB0=，即等于直线AB对H面的倾角。 这种利用直角三角形求做直线实长和

13、倾角的方法称为直角三角形法。同理，利用直线的正面投影和Y坐标差能够求出实长及角；利用直线的侧面投影和X坐标差能够求出实长及角，如图11b、c所示。（a）方法分析 (b)立体图（C)投影图图11直角三角形法求直线实长与倾角 在用直角三角形法解题时，需要注意以下几点： （1)在直角三角形中，包含有实长、倾角、投影和坐标差四个要素。已知直角三角形中的任意两个要素，则此直角三角形完全确定，可求出另外两个要素。 （2)在使用直角三角形法时，需要注意四个要素之间的配对关系。对于直线的水平投影，直角三角形中的Z需要从直线另外的一面投影中找出，水平投影和斜边的夹角为；同理，对于直线的正面投影，直角三角形中需要

14、的Y需要从另外的一面投影中求得，正面投影和斜边的夹角为；对于直线的侧面投影，直角三角形中需要的X也可从另外一面投影中求得，侧面投影和斜边的夹角为。直角三角形的斜边为直线的实长。【例题2】如图12所示，已知直线AB的正面投影ab，直线的实长为30mm，求作直线的水平投影。（a）求投影 (b)解题方法图12 求直线AB的水平投影 分析：已知条件为直线的实长和ab,可利用直角三角形法，通过实长和Z建立直角三角形， 求解水平投影ab的长度。 作图步骤：过b作aa的垂线bB0，以a为圆心，30mm为半径画圆弧与bB0交于点B0。由此可得出水平投影ab的长度，如图2-1-19所示。以a为圆心，ab为半径画

15、圆弧与投影连线相交于b，连接ab，即为所求。注意，通过作图可以看出本题有两解。三、平面的投影1. 平面的表示方法在投影图上，可以用下列任何一组几何元素的投影表示平面：不在同一直线上的三个点；一直线和直线外一点；相交两直线，如图13a所示；平行两直线，如图13b所示；任意平面图形，如图13c所示。其中几种情况是可以相互转换的。(a) (b) (c)图13平面的表示法2.平面的投影特性（1） 平面的正投影特性平面对单一投影面的投影特性取决于平面对投影面的相对位置。平面垂直于投影面。平面垂直于投影面时，其投影积聚为一直线，表现出积聚性，如图14a所示。平面平行于投影面。平面平行于投影面时，其投影仍为

16、平面，且平面的投影反映实形，表现出真实性，如图14b所示。平面倾斜于投影面。平面倾斜（既不平行，也不垂直）于投影面时，其投影仍为平面，且平面的投影是原图形的类似形（与原图形边数相同，平行线段其投影仍然平行），表现出类似性，如图14c所示 （a） (b) (c)图14平面对一个投影面的投影特性2各种位置平面的投影特性根据空间平面相对于投影面的位置，可将平面分为一般位置平面、特殊位置平面两大类。特殊位置平面又分为投影面平行面和投影面垂直面。平面与投影面的夹角称为平面的倾角，分别、，表示平面与H、V、W投影面的倾角。(1)一般位置平面在三投影面体系中，与三个投影面均倾斜的平面，称为一般位置平面。如图

17、15所示，ABC即为一般位置平面。图15一般位置平面 一般位置平面的投影特性为三个投影均为小于实形的类似形，且投影均不反映倾角的真实大小。(2)投影的平行面在三投影面体系中，平行于一个投影面(则必然垂直于另外两个投影面)的平面，称为投影面平行面。平行于H面(则必然垂直于V、W形面)的平面，称为水平面，平行于V（则必然垂直于H、W形面)的平面，称为正平面，平行于W面(则必然垂直于H、V面)的平面，称为侧平面。由表3可知，投影面平行面的投影特性为：在所平行的投影面上的投影反映实形，其余两个投影积聚为平行于相应投影轴的直线。平面与投影面的夹角可以由判断而得，其中一个夹角为0°，另两个夹角为

18、90°。例如水平面=0°，=90°。表3 投影面平行面的立体图和投影图(3)投影面垂直面在三投影面体系中，垂直于一个投影面并且倾斜于另外两个投影面的平面称为投影垂直面。垂直H面并且倾斜于V面、W面的平面，称为铅垂面，垂直于V面并且倾斜于H面、W面的平面，称为正垂面，垂直于W面并且倾斜于H面、V面的平面，称为侧垂面。由表4可知，投影面垂直面的投影特性为：在所垂直的投影面上的投影积聚为一倾斜于投影轴的直线，该直线与投影轴的夹角分别反映了平面与另两个投影面的倾角的真实大小，平面与所垂直投影面的夹角为90°，其余两个投影均为小于实形的类似形。表4 投影面垂直面的

19、立体图和投影图 3. 平面上的点和直线(1)平面上的点 点在平面上的条件为：若点在平面内的任一已知直线上，则点必在该平面上。所以一般情况下，先在平面内绘制一条辅助直线，然后利用点在直线上求点的投影。如图16所示，直线MN在平面ABC上，而点K在直线MN上，所以点K必在平面ABC上。图16 平面上的点 (2)平面上的直线 直线在平面上的条件为：若一条直线经过平面上的两点，或经过一点且平行于该平面上的另一直线，则此直线必定在该平面上。【例题3】 ABC上有一点M，已知它的水平投影m,求作点M的正面投影m，如图17所示。在平面上求作点的投影，必须先在平面上做辅助线，再在根据“点在直线上，则点的投影必

20、在直线的同面投影上”，在辅助线的投影上作出点的投影。 （a） (b) (c)图17 平面上的点、直线方法一：过点M做辅助线AD的水平投影ad,并作出其正面投影ad，在ad上求m，如图17b所示。方法二：过点M做辅助线MNAB，即过m作mn，使mnab，则mnab，就可以在ab上求m，如图17c所示。*4.换面法通过对直线和平面的投影分析可知，当直线或平面的投影相对应投影面处于特殊位置时（平行或垂直），它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其与投影面的倾角，当直线或平面和投影面位于一般位置时，则他们的投影就不具备上述特点，投影变换就是将直线或平面从一般位置变换为和投影面平行或垂直的位置，以便解决

21、它们的度量和定位问题。为达到投影变换的目的，可采取变换投影面法，即保持空间的几何元素不动，变动投影面，用新的投影面代替旧的投影面，使得新的投影面与被保留的投影面构成新的投影体系，空间几何元素在新的投影面处于有利于解题的位置，从而达到解题的目的。新投影面选择必须符合以下两个基本条件：新投影面必须垂直于所保留的投影面；新投影面必须处于有利于解答空间几何元素的位置。(1)点的投影变换新旧投影面之间的关系为：点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直于新投影轴；点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。作图规律：由点的不变投影向新投影轴做垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。点的一次变换，如图18a所示，用V1面代替V面后建立新的V1/H体系，V1面与H面的交线即是新的投影轴，用X1表示，仍用正投影方法，可得空间点A在新的二面投影体系中的投影a和a