A全等三角形之手拉手模型、倍长中线截长补短法

1、手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：（ 1） ABD AEC （ 2） + BOC=180°（ 3）OA平分 BOC变形：例 1. 如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD 与BCE ，连结 AE 与 CD ，证明（ 1） ABEDBC(2) AE DC(3) AE 与 DC 之间的夹角为 60(4) AGBDFB(5) EGBCFB(6) BH 平分 AHC(7) GF / AC变式精练1：如图两个等边三角形ABD 与BCE ，连结 AE 与CD ，证明（ 1）ABEDBC（ 2） AE DC（ 3） AE 与 D

2、C 之间的夹角为 60（4） AE 与 DC 的交点设为H , BH 平分AHC变式精练2：如图两个等边三角形ABD 与BCE ，连结 AE 与 CD ，证明（ 1）ABEDBC(2） AEDC(3 ） AE 与 DC 之间的夹角为60(4 ） AE 与 DC 的交点设为H , BH 平分AHC例 2：如图，两个正方形ABCD 与 DEFG , 连结 AG,CE , 二者相交于点H问：（ 1）ADGCDE 是否成立？（ 2） AG 是否与 CE 相等？（ 3） AG 与 CE 之间的夹角为多少度？（4） HD 是否平分AHE ？例 3：如图两个等腰直角三角形ADC 与 EDG ，连结 AG,

3、CE , 二者相交于点H问：（ 1）ADGCDE 是否成立？（ 2） AG 是否与 CE 相等？（ 3） AG 与 CE 之间的夹角为多少度？（4） HD 是否平分AHE ？例 4：两个等腰三角形ABD 与BCE ，其中 ABBD , CBEB,ABDCBE, 连结 AE 与 CD ，问：（ 1）ABEDBC 是否成立？（ 2） AE 是否与 CD 相等？（ 3） AE 与 CD 之间的夹角为多少度？（4） HB 是否平分AHC ？例 5：如图，点 A. B.连接 AE、DC， AE与论。C在同一条直线上， 分别以 AB、BC为边在直线 AC的同侧作等边三角形 ABD、BCE. DC所在直线相

4、交于 F，连接 FB. 判断线段 FB、 FE 与 FC 之间的数量关系，并证明你的结【练 1】如图，三角形ABC和三角形CDE都是等边三角形，点A,E,D, 同在一条直线上，且角EBD=62°，求角 AEB的度数倍长与中点有关的线段倍长中线类? 考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的：将题中已知和未知条件集中在一对三角形中、构造全等三角形、平移线段。【方法精讲 】常用辅助线添加方法倍长中线AA ABC中方式 1： 延长 AD到 E，AD 是 BC边中线使 DE=AD，BCBC连接 BEDDE方式

5、 2：间接倍长AA作 CF AD于 F，延长 MD到 N，F作 BE AD的延长线于 EM使 DN=MD，B连接 BE连接 CDDCBDCEN【例 1】 已知：ABC 中， AM 是中线求证：1AM(AB AC) 2ABMC【练 1】在 ABC 中， AB5 ，AC9 ，则 BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？【练 2】如图所示，在ABC 的 AB 边上取两点E 、F ，使 AEBF ，连接 CE 、CF ，求证：ACBCECFC CAEFB【练 3】如图，在等腰三角形ABC中， AB=AC，D是交 BC于 E求证： DE=EF(倍长中线、截长补短)AB上一点，F 是AC延长线上的一点

6、，且BD=CF，连结DF【例 2】 如图，已知在ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， E 是 AD 上一点， 延长 BE 交 AC 于 F ， AFEF ，求证： ACBE AEFBDC【练 1】如图，已知在 ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， E 是 AD 上一点，且 BE AC ，延长 BE 交 AC 于 F ，求证： AF EFCDFEAB【练 2】如图，在 ABC中， AB>AC， E 为 BC 边的中点， AD 为 BAC的平分线，过E 作 AD的平行线，交AB于 F，交 CA的延长线于 G. 求证： BF=CG.【练 3】如图，在ABC 中， AD 交 BC 于

7、点 D ，点 E 是 BC 中点， EF AD 交 CA 的延长线于点F，交AB于点G，若BGCF ，求证： AD 为ABC 的角平分线CDEAGBF【练 4】如图所示，已知ABC 中， AD 平分BAC， E、F 分别在 BD、 AD上 DECD，EF AC求证： EF ABAFBEDC【例 3】已知 AM 为ABC 的中线，AMB ，AMC 的平分线分别交AB 于 E 、交 AC 于 F 求证：BECFEFCFMAEB【练 BE1】在 RtABC 中， F 是斜边 AB 的中点，4 ，则线段 DE 的长度为 _D、E分别在边CA 、 CB 上，满足DFE90 若AD3 ，ADFCEB【练

8、2】如图， ABC中， AB=2AC， AD平分 BC且 AD AC，则 BAC=_.【练 3】在ABC 中，点 D 为 BC 的中点，点M 、 N 分别为 AB 、 AC 上的点，且MDND （ 1）若 A 90 ，以线段 BM 、 MN 、 CN 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？（ 2）如果 BM 2CN 2DM 2DN 2 ，求证 AD2 1AB 2AC2 4AMNBCD【例 4】如图，等腰直角ABC 与等腰直角BDE ， P 为 CE 中点，连接PA 、 PD .探究 PA 、 PD 的关系 . （证角相等方法）【练 1】如图，两个正方形AB

9、DE 和 ACGF ，点 P 为 BC 的中点，连接PA交 EF 于点 Q .探究 AP 与 EF 的数量关系和位置关系. （证角相等方法）【练 2】如图，在ABC 中， CDAB ，BADBDA ， AE 是 BD 边的中线 . 求证： AC2 AE【例 5】如图所示， 在 ABC 中， AB AC ，延长 AB 到 D ，使 BD AB ， E 为 AB 的中点， 连接 CE 、 CD ，求证 CD 2EC AEBCAC ， BD 为 AB 的延长线，且 BDAB，CE 为D【练 1】已知 ABC 中， ABABC 的 AB 边上的中线求证： CD 2CECAEBD【练 2】如图 ,CB、

10、 CD分别是钝角AEC和锐角 ABC中线 , 且 AC=AB, ACB= ABC.求证 CE=2CD.【例 16】如图，两个正方形 ABDE 和 ACGF ，点 P 为 BC 的中点，连接PA交 EF于点 Q.探究 AP 与 EF 的数量关系和位置关系 . （倍长中线与手拉手模型综合应用）【练 1】已知：如图，正方形ABCD 和正方形 EBGF ，点 M 是线段 DF 的中点 .试说明线段ME 与 MC 数量关系和关系 .如图，若将上题中正方形EBGF 绕点 B 顺时针旋转度数（90 ），其他条件不变，上述结论还正确吗？若正确，请你证明；若不正确，请说明理由.全等之截长补短： 人教八年级上册课

11、本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用 . 而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法 ( 把长边截成两个短边或把两个短边放到一起； 出现角平分线进行翻折 ；有具体角的度数说明要求角的度数，进而得到角相等，全等 )【例 10】如图所示，ABC中，00C90,B45，平分BAC交BC于 。求证：。ADDAB=AC+CDACBD【练 1】如图所示，在ABC 中，B 600，ABC 的角平分线 AD、ACE相交于点O。求证： AE+CD=AC。EOBDC【练 2】已知 ABC 中， A 60 ， BD 、 CE 分别平分ABC 和ACB ， BD 、

12、 CE 交于点 O ，试判断BE 、 CD 、 BC 的数量关系，并加以证明AEODBC【练 2】如图 , 在四边形ABCD中,AD BC，AE平分 BAD交 DC于点 E，连接 BE，且 AE BE，求证： AB=AD+BC.【练 3】已知：如图 , 在 ABC中 , A=90° ， AB=AC， BD是 ABC的平分线。求证：BC=AB+AD.【练 4】点 M，N在等边三角形ABC的 AB 边上运动， BD=DC， BDC=120°，MDN=60°，求证 MN=MB+NCANMBCD【例 11】已知如图所示，在 ABC中 ,AD 是角平分线 , 且 AC=AB

13、+BD,试说明 B=2 C（不只是边，倍角也适用）【练 1】如图，在ABC中， ABAC， BDAC交 AC于点 D求证： DBC 1 BAC2【 例12】如图所示，已知 12，P 为 BN上一点，且PDBC 于 D， AB+BC=2BD， 求 证 ：BAPBCP 1800。MPNA1C2BDC【练 1】如图，在四边形ABCD中， BCBA, AD CD， BD平分ABC ，A求证：AC1800DBC【例 13】如图所示，在 RtABC 中， AB=AC， BAC900， ABDCBD ，CE垂直于 BD的延长线于E。求证： BD=2CE。AEDCB【练 1】已知：如图示，在 Rt ABC中，

14、 A=90°， ABC=2 C， BD是 ABC的平分线求证： CD=2AD【练 2】如图所示，在ABC 中，ABC900 ，AD为BAC 的平分线，C =30 0 ， BEAD 于 E 点，求证： AC-AB=2BE。AECBD【练 3】正方形 ABCD,E是 BC上一点 ,AEEF, 交 DCH的平分线于点F，求证 AE=EF【练 4】已知在 ABC中， AB=AC， D在 AB上， E在 AC的延长线上， DE交 BC于 F，且 DF=EF，求证： BD=CEADBCFE【例14】如图所示，已知AB /CD ，ABC ,BCD的平分线恰好交于AD上一点E，求证：BC=AB+CD

15、。BAECD【练 1】如图，已知 AD BC， PAB的平分线与CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于 D求证：AD+BC=ABPCEDAB【练 2】如图，在正方形 ABCD中， F 是 CD的中点， E 是 BC边上的一点，且 AF平分 DAE，求证： AE=EC+CD【练 3】在 ABC中， AD是 BC边上的高， B=2C求证： CD=AB+BD【练 4】如图所示 , 在三角形ABC中 , ACB=90°,AC=BC,D 为三角形ABC外一点 , 且 AD BD,DE AC交 AC的延长线于点E. 试探求 ED、 AE和 BC之间有何数量关系【练 5】在四边形 ABCD中，

16、 AB DC， E 为 BC边的中点， BAE= EAF， AF与 DC的延长线相交于点 F。试探究线段 AB与 AF、 CF之间的数量关系，并证明你的结论ADBECF【例 15】如图在 ABC中， ABAC， 1 2， P 为 AD上任意一点，求证：AB-AC PB-PCA12PBCD【练 1】已知 AM 为ABC 的中线，AMB ，AMC 的平分线分别交AB 于 E 、交 AC 于 F 求证： BECFEF AEFBCM如图， E 是 AOB 的平分线上一点， ECOA ，EDOB ，垂足为AC、 D。求证：（ 1） OC=OD； （ 2） DF=CF。CFEODB构造等边三角形1、如图

17、, 已知 ABC中 ,AB=AC,D是 CB延长线上一点 , ADB=60° ，E 是 AD上一点，且有 DE=DB.求证： AE=BE+BC.2、在等腰ABC 中， ABAC ，顶角A20 ，在边 AB 上取点 D ，使 ADBC ，求BDC .ADBC练习 1、如图 , 在 ABC中 , ACB=90°,BE 平分 ABC,DEAB 于 D,如果 AC=3cm,那么 AE+DE等于A、 2cmB、 3cmC、 4cmD、 5cm练习2、在 ABC 和 A'B'C'中 ,AB=A'B',AC=A'C',点D,D

18、9; 分别是BC,B'C' 的中点 , 且 AD=A'D', 证眀：ABCA'B'C' .AA '（倍长中线）BCB 'C'D'D练习 3、如图，在 ABC中， BE是 ABC的角平分线，AD BE，垂足为D，求证： 2=1+ C练习 4、如图（ 1），已知 ABC中， BAC=90°， AB=AC， AE是过 A 的一条直线，且B、 C在 A、 E 的异侧，BD AE于 D， CE AE于 E（1）试说明： BD=DE+CE（2）若直线AE绕 A 点旋转到图（2）位置时（ BDCE），其余条件不

19、变，问BD与 DE、CE的关系如何？请直接写出结果；（3）若直线 AE绕 A 点旋转到图（ 3）位置时（ BDCE），其余条件不变，问 BD与 DE、CE的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由如图所示，在 Rt ABC中， AB AC， BAC 90°，有过 A的任一条直线 AN，BD AN于 D，CE AN于 E，求证： DE BD CE（思路：截长补短法）如图 , 在 ABC中 ,AB=AC,D 是三角形外一点, 且 ABD=60°,BD+DC=AB.求证： ACD=60° . （截长补短）1、如图，等腰直角ABC 与等腰直角BDE ， P 为 CE 中点，连接 PA 、 PD .探究 PA 、 PD 的关系 . （辅助线的连法都一样）2、已知：如图，正方形ABCD 和正方形 EBGF ，点 M 是线段 DF 的中点 .试说明线段ME 与 MC 数量关系和关系 . （辅助线的连法都一样）如图，若将上题中正方形EBGF 绕点 B 顺时针旋转度数（90 ），其他条件不变，上述结论还正确吗？若正确，请你证明；若不正确，请说明理由.3、已知 AM 为