求变力做功地几种方法

1、求变力做功的几种方法功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=FScosa只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可 用，本文对变力做功问题进行归纳总结如下：、等值法等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以同过计算该恒力的 功，求出该变力的功。而恒力做功又可以用 W=FScos计算，从而使问题变得简 单。A| B i例1如图1,定滑轮至滑块的高度为h，已 知细绳的拉力为F牛（恒定），滑块沿水平面由 A点前进s米至B点，滑块在初、末位置时细绳 与水平方向夹角分别为a和B。求滑块由 A点运 动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。分析：设绳对物

2、体的拉力为 T,显然人对绳 的拉力F等于ToT在对物体做功的过程中大小虽 然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。而拉力 F的大小和方向都不变，所以F做的功可以用公式 W=FScosa直接计算。由图可知，在绳与水平 面的夹角由a变到B的过程中，拉力F的作用点的位移大小为：h hsin a sin:.Wr=WFFtS=Fh ；sin a sin ；、微元法当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之 间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元

3、 段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。例2、如图2所示，某力F=10牛作用于半径R=1米的转盘的边缘上,力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向 个力F做的总功应为：A 0焦耳 B 20 n焦耳C 10焦耳 D 20焦耳分析：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可 认为与力在同一直线上，故厶W=B S，则转一周中各个小 元段做功的代数和为 W=F< 2n R=10X 2n J=20n J，故B 正确。三、平均力法如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的算术平均 值(恒力)代替变力，利用功的定义式求功。例3、一辆汽车质量为105千克，从

4、静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。 其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为F=1(tx+f0, fo是车所受的阻力。当车前进100米时，牵引力做的功是多少？分析：由于车的牵引力和位移的关系为 F=103x+f°，是线性关系，故前进100 米过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力 所做的功。由题意可知f0 = 0.05 X 105X 10N= 5X 104N,所以前进100米过程中的平均牵引力5x104+(103x100 + 5x104)：=1N= 1X 105N, W= F S= 1X 105X 100J= 1 X 107J。四、图象法如果力F随位移的变化关系明确，始末位置清楚

5、，可在平面直角坐标系内画出Fx图象，图象下方与坐标轴所围的“面积”即表示功例如：对于例3除可用平均力法计算外也可 用图象法。由F=103x+f°可知，当x变化时，F也 随着变化，故本题是属于变力做功问题，下面用 图象求解。牵引力表达式为F=103x+0.5 X 105,其 函数表达图象如图3。根据F-x图象所围的面积表示牵引力所 做的功，故牵引力所做的功等于梯形 OABD勺“面 积”。所以FfXlD5S3炉二(O.5+1.5)xlOJxlxlOa2J = lxlO7Jtxi02rn)五、能量转化法求变力做功功是能量转化的量度，已知外力做功情况可计算能量的转化，同样根据能量 的转化也可

6、求外力所做功的多少。因此根据动能定理、机械能守恒定律、功能关 系等可从能量改变的角度求功。1、用动能定理求变力做功动能定理的内容是：外力对物体所做的功等于物体动能的增量。它的表达式 是W外=氐,W外可以理解成所有外力做功的代数和，如果我们所研究的多个力中， 只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算， 研 究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功。例4、如图4所示，AB为1/4圆弧轨道，半径 为0.8m, BC是水平轨道，长3m BC处的摩擦系数为1/15，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。求物 体在轨道AB段

7、所受的阻力对物体做的功。分析：物体在从A滑到C的过程中，有重力、AB段的阻力、AC段的摩擦力 共三个力做功，VW=mgR f BC=umg，由于物体在AB段受的阻力是变力，做的功 不能直接求。根据动能定理可知：W卜=0，所以 mgR-umgl： -Wab=0_ 1即 VAB=mgR-umgT =1 x 10X 0.8-二 x 1 x 10X 3=6(J)2、用机械能守恒定律求变力做功如果物体只受重力和弹力作用,或只有重力或弹力做功时,满足机械能守恒定律。如果求弹力这个变力做的功，可用机械能守恒定律来求解。例5、如图5所示，质量m为2千克的物体， 从光滑斜面的顶端A点以v°=5米/秒的

8、初速度滑 下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的 速度为零，已知从A到B的竖直高度h=5米，求 弹簧的弹力对物体所做的功。分析：由于斜面光滑故机械能守恒，但弹 簧 的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做的功的数值 与弹性势能的增加量相等。取 B所在水平面为零参考面，弹簧原长处 D点为弹 性势能的零参考点，则状态A:Ea= mgh+m/2对状态B:Eb= W单簧+0由机械能守恒定律得： W弹簧=(mgh+mv/2 ) = 125 (J)。3、用功能原理求变力做功功能原理的内容是：系统所受的外力和内力(不包括重力和弹力)所做的功 的代数和等于系统的机械能的增量， 如果这些

9、力中只有一个变力做功，且其它力 所做的功及系统的机械能的变化量都比较容易求解时，就可用功能原理求解变力 所做的功。例6、质量为2千克的均匀链条长为2米，自然堆放在光滑的水平面上，用 力F竖直向上匀速提起此链条，已知提起链条的速度 v=6米/秒，求该链条全部 被提起时拉力F所做的功。分析：链条上提过程中提起部分的重力逐渐增大，链条保持匀速上升，故作 用在链条上的拉力是变力，不能直接用功的公式求功。根据功能原理，上提过程 拉力F做的功等于机械能的增量，故可以用功能原理求。当链条刚被全部提起时， 动能没有变化，重心升高了 L/2=1米，故机械能动变化量为： E=mg L/2=2X 10X 1=20

10、(J)根据功能原理力F所做的功为：W=20J4、用公式W=Pt求变力做功例7、质量为4000千克的汽车，由静止开始以恒定的功率前进， 它经100/3 秒的时间前进425米，这时候它达到最大速度15米/秒。假设汽车在前进中所受 阻力不变，求阻力为多大。分析：汽车在运动过程中功率恒定，速度增加，所以牵引力不断减小，当减 小到与阻力相等时速度达到最大值。汽车所受的阻力不变，牵引力是变力，牵引力所做的功不能用功的公式直接计算。由于汽车的功率恒定，汽车功率可用P=Fv 求，速度最大时牵引力和阻力相等，故P=Fv=fVm,所以汽车的牵引力做的功为W 汽车=Pt=fV nt根据动能定理有：W汽车一fs=mv

11、：/2，即 fv nt fs= mv m2/2代入数值解得：f=6000N。变力做功的问题是一教学难点，在上述实例中，从不同的角度、用不同的方 法阐述了求解变力做功的问题.在教学中，通过对变力做功问题的归类讨论，有 利于提高学生灵活运用所学知识解决实际问题的能力，有利于培养学生的创造性 思维，开阔学生解题的思路.课后训练题1、如图所示，质量为2kg的物体从A点沿半径为R的粗糙 半球内表面以10m/s的速度开始下滑，到达E点时的速度 变为2m/s，求物体从A运动到E的过程中，摩擦力所做的 功是多少？2、一条长链的长度为a,置于足够高的光滑桌面上，如 图所示链的下垂部分长度为b,并由静止开始从桌上

12、 滑下，问：当链的最后一节离开桌面时，链的速度及在 这一过程中重力所做的功为多少？3、如图所示，一人用定滑轮吊起一个质量为M的物体，绳子 每单位长的质量为P,试求人将物体从地面吊起高度为L的 过程中所做的最小功.4、质量为5X 105kg的机车，以恒定功率从静止开始起动，所受阻力是车重的0. 06倍，机车经过5mi n速度达到最大值 108km/h，求机车的功率和机 车在这段时间内所做的功.5、用锤子把铁钉打入木块中，设每次打击锤子时给铁钉的动能相同，铁钉进入 木块所受的阻力跟打入的深度成正比. 如果钉子第一次被打入木块的深度为 2c m,求第二次打入的深度和需要几次打击才能将铁钉打入4cm深

13、处.6将一根水平放置在地面上的长为 6m、质量为200 kg的粗细均匀的金属棒竖 立起来，至少要做多少功(设所施加的力始终垂直于棒)？课后训练题解答1、分析 物体由A滑到E的过程中，受重力G、弹力N和摩擦力f三个力的作 用，因而有 N,B=mv 2/R,2即 N=m(v /R)+mgcos0.式中卩为动摩擦因素，v为物体在某点的速度.分析上式可知，在物体由A到C 运动的过程中，B由大到变小，cosB变大，因而N变大，f也变大.在物体由G到B运动的过程中，B由小到变大，cosO变小，因而N变小, f也变小.由以上可知，物体由A运动到B的过程中，摩擦力f是变力，是变力做功问 题.解根据动能定理有外

14、=4已k.在物休由A运动到B的过程中，弹力N不做功；重力在物体由A运动到C的 过程中对物体所做的正功与物体从C运动到E的过程中对物体所做的负功相等， 其代数和为零.因此，物体所受的三个力中摩擦力在物体由A运动到E的过程中 对物体所做的功，就等于物体动能的变化量.则有外=可 f=AE k，即Wf=( 1/2)mv b2-( 1/2)mv A = (1/2)X 2X 22( 1/2)2X 2X 10)= 96J.式中负号表示摩擦力对物体做负功. 可见，如果所研究的物体同时受几个力的作 用，而这几个力中只有一个力是变力， 其余均为恒力，且这些恒力所做的功和物 体动能的变化量容易计算时，此类方法解决问

15、题是行之有效的.2、分析 长链在下落过程中，下垂部分不断增长，因此，该部分的质量也在不 断增大，即这部分所受的重力是变力，整个长链的运动也是在该变力作用下的运 动，是变力做功问题.解 取桌面为零势能面，设整个链条质量为m，桌面高度为h，下垂部分质 量为m ° .则有Tlo/m=b/a，m o=(b/a)m，开始下滑时链条的初动能E k一 0,P i= m°g(b/ 2)= mg(b 2/ 2a),i=Ek i+Epi=(b?/ 2 a)mg.设链条全部离开桌面的瞬时速度为v、此时链条的势能E p2=-(a / 2)mg,k2=( 1/2)mv 2,2=( 1/2)mv 2(

16、a/ 2)mg,根据机械能守恒定律有Ei=E 2，即(b 2/2 a)mg=( 1/2)mv 2(a/ 2)mg,解得v=.因此，在这一过程中重力所做的功为g =AE k =( 1/2)mv 2 0=(mg/ 2a) (a 2b 2).3、分析 假定物体被匀速吊起，人将物体从地面吊起的过程中，人的拉力可表 示为pxg,式中X为竖直方向绳的余长.当物体上升时，绳的余长X减小，T减小，因而T 为变力，故本题属变力做功问题.解 设绳的重量全面集中在它的重心上， 物体升高高度为L时，绳的重心上 升L/ 2,则系统机械能的增量为AE = AE 1+AE 2 AEp 1+AE k 1 +AE P2+AE

17、k2 ,式中A E 1、A E2分别为物体和绳的机械能增量.由功能原理知，人的拉力所做的功为AE = AE p 1+AE k 1+AE p 2+AE k2 ,AE k 1=AE k2 = 0时，即缓慢提升物体时W最小，即W min = AE p 1+AE p 22)pLg=M+( 1/2)pLgL.可见，在涉及重力、弹力之外的变力做功问题时，只要系统的机械能的变化 容易求得，用功能原理求解该变力所做的功比较方便.4、分析 因机车的功率恒定，当机车从静止开始达到最大速度的过程中，牵引 力不断减小，当速度达到最大值时，机车所受牵引力达到最小值，与阻力相等.在 这段时间内机车所受阻力可认为是恒力，

18、牵引力是变力，因此，机车做功不能直 接用W=Fscosa来求解，但可用公式W=Pt来计算.解 根据题意，机车所受阻力f = kmg,当机车速度达到最大值时，机车 功率为PF V max fv max kmgv max53.0. 06X 5X 10 X 10X( 108X 10 /3600)9X 106W.根据P=Wt ,该时间内阻力做功为f = P/t = 9X 106/ 300= 3X 104J.外=AE k得牵引力做功Wf = ae k+Wf=(1/2) mv max 2+W f1/2)X 5X 105x 302+ 3X 104二2. 25X 108J.5、分析 铁钉进入木块所受的阻力f跟铁钉进入木块的深度x之间的关系为f =kx，由此可知，阻力是一个变力.铁钉得到锤子给予的动能后，克服木块对 它的阻力做功的问题，是一个变力做功的问题.解(1)依据题意做出f x关系图线如图 4所示.第一次打击时铁钉克服阻力所做的功Wi等于图4中三角形AOC的面积的 值.设第二次打击时铁钉被打入的深度为X o，第二次打击时铁钉克服阻力所做 的功W2等于图4中梯形ABDC的面积的值.f = kx，由图可得 -=2 k，_丄=(2+x o)k，则 W i=( 1/2) ' ' 1/2)X 2kX 2 = 2k，W2 (亠+ j)