分式的概念和性质基础知识讲解

1、分式的概念和性质(基础)责编：杜少波【学习目标】1.1.理解分式的概念， 能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0 0 的条件 2 2掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算 【要点梳理】【高清课堂 403986403986 分式的概念和性质知识要点】要点一、分式的概念A一般地，如果A B表示两个整式，并且 B B 中含有字母，那么式子 -叫做分式 其中 A AB叫做分子，B B 叫做分母 要点诠释：(1 1 )分式的形式和分数类似，但它们是有区别的 分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式 分式的分母中含有字母；分数的分子、分 母中都不含字母 (2)

2、分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况 (3)分母中的字母”是表示不同数的字母”，但n表示圆周率，是一个 常数，不是字母，如a是整式而不能当作分式 (4)分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式2不能先化简，如U是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式，x不能看化简的结果 要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件1.1.分式有意义的条件：分母不等于零 2.2. 分式无意义的条件：分母等于零 3.3. 分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零要点诠释：(1 1)分式有无意义与分母有关但

3、与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零 (2)本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的， 也就是说分式 中分母的值不等于零 (3)必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值 要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘( (或除以) )一个不等于 0 0 的整式，分式的值不变，这个性质叫做A A M A A M分式的基本性质，用式子表示是： -, A(其中 M M 是不等于零的整式). .B B M B B M要点诠释：(1 1)基本性质中的 A A、B B M M 表示的是整式. .其中 BMBM 0 0 是已知条件中隐含着

4、的条件，一般在解题过程中不另强调；0 0 是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调 W W0 0 这个前提条件 (2 2)在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式工，1 x 1中字母的取值范围有可能发生变化 例如：，在变形后，字母X的取值范围变大了要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、 分母与分式本身的符号, 其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数a互为相反数. .分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着要点五、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分 如果

5、一个分式的分子与分母没有相同的因式（1 1 除外），那么这个分式叫做最简分式 要点诠释：（1 1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式. .（2 2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式. .分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幕的积；当分式 的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子 与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分要点六、分式的通分与分数的通分类似， 利用分式的基本性质， 使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分

6、要点诠释：（1 1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幕的积作为公分母 （2 2）如果各分母都是单项式， 那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相 同字母的最高次幕的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解 因式，然后再找最简公分母（3 3） 约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言， 而通分则 是针对多个分式而言. .【典型例题】 类型一、分式的概念1 1、下列式子中，哪些是整式？哪些是分式?25a2x，一， 一，a一个常数，因此这三个式子都不是分式.【答案与解析】【总结升华】 判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不改

7、变其中任何两个， 分式的值不变；改变要点诠释：根据分式的基本性质有. .根据有理数除法的符号法则有b ba a重要的作用【思路点拨】X，-，3虽具有分式的形式，但分母不含字母，其中35-的分母中表示解：整式：,3I，32，分式:2 m 1a2a ma含有字母则不是分式.类型二、分式有意义，分式值为0 02都有意义.m29【总结升华】首先求出使分母等于零的字母的值, 有意义这是解答这类问题的通用方法.举一反三:x 1【变式 1 1】（20162016 丹东一模）若分式D有意义，则x的取值范围是x 1【答案】解：由题意得：x 10，解得x 1，故答案为：x 1【变式 2 2】当x为何值时，下列各式

8、的值为0 0.(1 1)2x1(2)2xx(3)x 2223x2x1x4【答案】解：（1 1） 由2x1 0得x12，1时，1当x3x2 3 ()2 0,22当x1时，分式2x1的值为0 0.23x2(2 2)由x2x0得x0或x1,当x0时 ,x2101 Cm取何值时，分式有意义?|m|【答案与解析】解：（1 1 ）由m故当m2时分式一m-有意义.2(2)由|m|故当m2时分式一1一有意义.|m| 2(3(3)由 m m29(m29） 0，即无论m取何值时m29均不为零，故当m为任意实数时分式3m然后让未知数不等于这些值，便可使分式当x 1时，x21( 1)210,X2X当x 0时，分式 p

9、的值为 0 0.X 1(3 3)由X 20得x 2,2 2当x 2时，x 4(2)40,【总结升华】 利用分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0 0 的整式,分式的值不变 举一反三：【变式 1 1】如果把分式中的x,y都扩大 3 3 倍，那么分式的值（）3x 2yA A 扩大 3 3 倍 B B 不变 C C 缩小 3 3 倍 D D 扩大 2 2 倍【答案】B B；【变式 2 2】填写下列等式中未知的分子或分母.(b a)(c b)(a c)(a b)(b c)【答案】（x y）2； 1 1 ；罕2的值永不为 0 0.x24【思路点拨】 将（1 1）式中分子、【答案与解

10、析】（2 2）式的分子、分母同乘 1212 即可.解：(1 1) 止 J0.02x 0.5y(0.2 x y) 5010 x 50 y(0.02x 0.5y) 50 x 25y(2)1 1xy3411xy231112xy341112xy234x 3y6x 4y(1)在分式有意义的前提下，分式分母同乘5050,解：（1 1）先观察分子，等式左边分式的分子为x y，而等式的右边分式的分子为x2y2，由于(x y)(x y) x2y2，即将等式左边分式的分子乘以x y，因而分母也要乘以x y，所以在？处应填上(x y)2.根据分式的性质可知应将等式左边分式的分子、分母同时除以(b a)(c b) (

11、a b)(b c)1，所以在？处填上 1 1.【总结升华】 在分子、分母、分式本身中，只有任意两个同时改变符号时，才能保证分式的 值不变一般地，在分式运算的最后结果中，习惯于只保留一个负号，写在分式的前面.类型四、分式的约分、通分/、2a(2 2)4x /、3m /、2b(1 1)；(3 3)；(4 4)b5yn3c【答案与解析】2a2a4x4x/c、3m3m/八2b2b解: (1 1)(2 2)-(3 3)(4 4)bb5y5ynn3c3c不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“”号.(2(2)先观察分母，等式左边的分母为(a c)(a b)(bc)，等式右边的分母为a c，(a b)(

12、b c),因为(2015(2015 春？东台市月考)约分，通分:【思路点拨】(1(1 )把分子与分母进行约分即可；(2)(2)根据平方差公式和完全平方公式先把分子与分母进行因式分解，然后约分即可;(3)(3)把分母进行因式分解，然后相乘，即可得出答案.【答案与解析】解:(1)2a (a-1)8ab2(1 -ai2 |? ? - -4-9m29 m2- 12mi-4(3)(3)2 ?、31：n：1？(2_)2&(2+弘)(2_3ir )【总结升华】 此题考查了分式的约分， 用到的知识点是平方差公式和完全平方公式, 把分母因式分解，再进行约分.举一反三：【高清课堂 403986403986注意先【变式】通分：(1)(3)(3)分式的概念和性质b a；厂；4ac 2b c丄与叟上；2a2b ab2c例 6 6 (2)2)】x2x 2(4(4)丄x 2(2)(2)1x214xx24【答案】解：(1)最简公分母为4ab2c,b4acb gb24ab2cb34ab2ca2b2ca g 2a4ab2c2a24ab2c(2)(2)x2x 2x2(x 1)最简公分母为2(x 1)(x1),(x 1)(x 1)x2x 2g(x 1)x22(x 1)(x 1)2(x 1)(x 1)