第9节离散型随机变量的均值与方差

1、第9节 离散型随机变量的均值与方差最新考纲1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；2.能计算简 单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.知识梳理1. 离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为XX1X2XiXnPP1P2pipn(1) 均值称 E(X)= xipl+ X2p2 + Xipi + xnpn为随机变量 X 的均值或数学期望，它反 映了离散型随机变量取值的平均水亠.(2)方差n称D(X) = g Xi E(X)2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量 X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根 WIX)为随机变量X的标准差.2. 均值

2、与方差的性质(1) E(aX + b) = aE(X) + b.(2) D(aX + b) = a2D(X)(a，b 为常数).3. 两点分布与二项分布的均值、方差(1) 若X服从两点分布，则 E(X) = p, D(X)= p(1- p).若 XB(n, p)，贝U E(X) = np, D(X) = np(1 - p).微点提醒1. 若 X1，X2 相互独立，则 E(X1 X2) = E(X1) E(X2).2. 均值与方差的关系：D(X)= E(X2) - E2(X).3. 超几何分布的均值：若X服从参数为N, M， n的超几何分布，则E(X) = nM.基础自测1.判断下列结论正误(在

3、括号内打“2”或“X”)(1)期望值就是算术平均数，与概率无关.()(2) 随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量.()(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小.() (4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事.()解析均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故(1)(4)均不正答案 (1)XVVX2.(选修2-3P68A1改编)已知X的分布列为X-101111Pr236)设Y= 2X+3,则E(Y)的值为(A.

4、fB.4C.- 1D.1解析 E(X)=- 1X1+ 0X 3+ 1x 1= 1X 6=-3,2 7E(Y) = E(2X + 3) = 2E(X) + 3=- 3 + 3=- 答案 A 3.(选修2-3P68练习2改编)若随机变量X满足P(X= c)= 1,其中c为常数，则D(X)的值为.解析 P(X= c) = 1,二 E(X) = cX 1= c, D(X) = (c- c)2x 1 = 0.答案 0齊题怵验4. (2018浙江卷)设0vpv1,随机变量E的分布列是3012p1 P1p222则当P在(0, 1)内增大时()A.D( 3减小C.D( 3先减小后增大B.D( 3增大D.D(

5、3先增大后减小解析在(0,答案1)内增大时，D( 3先增大后减小.21 1 11由题可得E(3 = q+p,所以D(3= p2+p+4= p1 +2 所以当P5. (2019合肥检测)甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X, 丫，其分布列分别为:X0123P0.40.30.20.1丫012P0.30.50.2若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是 解析 E(X)= 0X 0.4 + 1 X 0.3 + 2X 0.2 + 3X 0.1 = 1.E(Y)= 0X 0.3 + 1 X 0.5 + 2X 0.2= 0.9, 所以E(Y)<E(X)，故乙技术好.答案

6、乙6. (2017全国n卷)一批产品的二等品率为 0.02,从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则 D(X) =.解析 有放回地抽取，是一个二项分布模型，其中p = 0.02，n= 100,则D(X)= np(1 p) = 100X 0.02X 0.98= 1.96.答案 1.96?> A 店注 IN，/考点一离散型随机变量的均值与方差【例1】(2019青岛一模)为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过 1小时免费，超过1 小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）

7、.有甲、乙两1 1人相互独立地来该滑雪场运动， 设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为4 6； 11 2小时以上且不超过2小时离开的概率分别为2, 3两人滑雪时间都不会超过 3小求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量&单位：元）,求E的分布列与数学期望E（B，方差D（B.0, 40, 80 元,1115+ 一 + =24+ 3 + 2412.解（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为111两人都付0元的概率为P1 =4% 11= 24，两人都付40元的概率为1肿 1P2=2X 3=3， 两人都付80元的概率为2 11 1 乂 一3 = 4X 6

8、 = 24,则两人所付费用相同的概率为P=P1+ p2+ p3 =由题设甲、乙所付费用之和为9 9可能取值为0, 40, 80, 120, 160,贝1 1 1p(9= 0)=4X 6= 24；12 111p(9= 40)=2+产 6=4；1112115P(9= 80) = 4X 6 + 2X 2 + 4X 6 = 152；1112 1P(9= 120)=2X 6+4X 3=4；1 1 1P(9= 160)=4X 6=24.9的分布列为904080120160P丄15142441242411511E( 9= 0X 24+ 40X4+ 80X12+ 120X4+ 160X24= 80.D( B

9、= (0 80)2 X 24 + (40 80)2 X 4 + (80 80)2 X 寻 + (120 80)2 X + (160 80)2X 24=響规律方法(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能 值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算 注意 E(aX + b) = aE(X) + b, D(aX + b) = a2D(X)的应用.【训练1】 从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立,111且在各路口遇到红灯的概率分别为1, 1, 1.(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望;(2)若有2辆车独

10、立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.解(1)随机变量X的所有可能取值为0,1 ,1 ,11P(x=0)= 1-2 X 1-3 X 1-4 = 4，1 1 1 11-1 X 1-1 + 1-1 X 3X 1111 1 1 1P(x=2)= 1-2 X3X4+2X 1-3 X4+2X1111p(x=3)=2X 3X 4=24.所以，随机变量X的分布列为p(x= 1)=2x1, 2, 3,11 -1 +1 .31 1 1 111 2 X 1 3 X4=14,1 13X r = 4，X0123P11114244241111113随机变量X的数学期望E(X)=0X1+ 1X24+ 2X2+

11、3X24=12.(2) 设丫表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求 事件的概率为P(Y+ Z= 1)= P(Y= 0, Z= 1)+P(Y= 1, Z= 0) =P (Y= 0)P (Z= 1)+ P (Y= 1)P (Z= 0) =1x 11+11乂 1 = 11 4X 24 + 24X 4- 48.11所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为48.考点二二项分布的均值与方差【例21 (2019顺德一模)某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了 100位市民，获得了他们某月的

12、用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列求a，b，根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w定为多 少？(精确到小数点后2位)(3) 若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及均值.解(1) 前四组频数成等差数列,频率所对应的频距也成等差数列, 设 a= 0.2 + d, b= 0.2 + 2d, c= 0.2 + 3d, 0.50.2 + (0.2 + d) X 2 + 0.2 + 2d+ 0.2 + 3d+ 0.1 X 3 = 1, 解得 d = 0.1， a= 0.3, b=

13、0.4, c= 0.5.居民月用水量在22.5内的频率为0.5X 0.5= 0.25.居民月用水量在22.5内的频数为0.25X 100 = 25.由题图及(1)可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.7V0.8,为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，、屮宀0.8- 0.7应规疋 w = 2.5 + 03 2.83.(3) 将频率视为概率，设A(单位：立方米)代表居民月用水量，可知 P(AW 2.5)= 0.7,由题意，XB(3, 0.7),P(X= 0)= c3x 0.33 = 0.027,1 2P(X= 1)= C3X 0.32 X 0.7= 0.189,P(X = 2) = C2X

14、 0.3X 0.72= 0.441,P(X= 3)= c3x 0.73 = 0.343, X的分布列为X0123P0.0270.1890.4410.343 XB(3, 0.7),二 E(X) = np= 2.1.规律方法二项分布的均值与方差.(1)如果 B(n, P),则用公式E(B= np； D( 3 = np(1 - p)求解，可大大减少计算 量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二 项分布，这时，可以综合应用 E(aE+ b)= aE(B + b以及E( np求出E(a& b), 同样还可求出D(aE+ b).【训练2】(2019湘潭三模)某

15、饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示：质量(g)5, 15)15, 25)25, 35)35, 45)45, 55数量(只)6101284(1)若购进这批生蚝500 kg,且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批 生蚝的数量(所得结果保留整数);(2)以频率视为概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在5, 25)间的生蚝的个数为X,求X的分布列及数学期望.解(1)由表中的数据可以估算一只生蚝的质量为40(6X 10+ 10X 20+ 12X 30+ 8X 40+ 4X 50) = 28.5(g),所以购进500 kg生蚝，其数量为500 0

16、00乞8.5 17 544(只).2(2)由表中数据知，任意挑选一只生蚝，质量在5 , 25)间的概率为2， 由题意知X的可能取值为0, 1, 2, 3, 4,43 81Pg0戶 5 二625,2 2P(X = 2)= C4|35 =216 625,31P(X= 3)=35 =96 625,4216P(X = 4)= 5 =625, X的分布列为X01234P8121621696166256256256I56I58121696168"E(x)=0X 阪+625X 3+ 625X 3+625X 4=5*考点三 均值与方差在决策问题中的应用【例3】某投资公司在2019年年初准备将1 00

17、0万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可72能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为9和2；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 50%，可能损311失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 5, 1和15.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.解 若按“项目一”投资，设获利为 Xi万元.则X1的分布列为X1300150P729972 E(X1)= 300 X 9+ (- 150) X 9 = 200(万元).若按“项目二”投资，设获利 X2万元

18、，则X2的分布列为： 11E(X2)= 500X5 + (-300)X 3 + 0X = 200(万元).X25003000P31丄5315D(X1) = (300 200)2X 9 +( 150-200)2X |= 35 000,2 3| 1|1D (X2) = (500 200)2 X 5 + ( 300 200)2 X 3 + (0 200)2 X = 140 000.所以 E(X1) = E(X2)，D(X1)<D(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.规律方法 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机

19、变 量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于 方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.【训练3】 计划在某水库建一座至多安装 3台发电机的水电站.过去50年的水文 资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位： 亿立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120 的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应 段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.(1) 求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2) 水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年

20、发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40<X<8080< X< 120X>120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大， 应安装发电 机多少台?10解(1)依题意，得 p1 = P(40vXv80) = = 0.2,35P2= P (80W x< 120) = 50= 0.7，5p3= P(X>120) = 50= 0.1.由二项分布，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为43p= C0(1

21、 P3)4 + C4(1 P3)3P3= 10 + 4X X 10 = 0.947 7.记水电站年总利润为Y(单位：万元). 安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1, 对应的年利润 丫= 5 000, E(Y) = 5 000X 1 = 5 000. 安装2台发电机的情形.依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时丫= 5 000- 800= 4 200,因此P(Y =4 200)= P(40vXv80) = p1 = 0.2;当 X>80 时，两台发电机运行，此时 丫= 5 000X 2 =10 000,因此 P(丫 = 10 0

22、00)= P(X80)= P2+ p3 = 0.8.由此得 Y 的分布列如下：丫4 20010 000P0.20.8所以，E(Y) = 4 200X 0.2 + 10 000X 0.8= 8 840. 安装3台发电机的情形.依题意，当40VXV80时，一台发电机运行，此时 丫= 5 000 - 1 600= 3 400,因此P (丫= 3 400) = P (40VXV80) = p1 = 0.2;当80<X< 120时，两台发电机运行，此时 丫= 5 000X2-800= 9 200，因此P(Y =9 200)= P (80W X< 120)= p2 = 0.7;当X>

23、;120时，三台发电机运行，此时 丫= 5 000X 3= 15 000,因此P(丫= 15 000) =P(X>120) = p3 = 0.1.因此得Y的分布列如下:丫3 4009 20015 000P0.20.70.1所以,综上,口E(Y)= 3 400X 0.2+ 9 200X 0.7+ 15 000X 0.1= 8 620.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.思维升华1. 掌握下述均值与方差有关性质，会给解题带来方便: (1)E(aX + b) = aE(X) + b, E(X+ Y) = E(X) + E(Y), D(aX + b)= a2D(X)； 若 XB(

24、n, p)，贝U E(X) = np, D(X) = np(1 - p).2. 基本方法 (1)已知随机变量的分布列求它的均值、 方差和标准差，可直接按定义(公式)求解;已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数丫= aX+ b的均值、方差和标 准差，可直接用均值、方差的性质求解；(3) 如能分析所给随机变量服从常用的分布(如二项分布),可直接利用它们的均值、 方差公式求解.易错防范 1在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式 2.对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设 出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、 方差.刃层限时训竦基

25、础巩固题组(建议用时：40分钟)、选择题1.已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E(X) =()A.|C53313解析 由数学期望公式可得E(X) = 1X 5+ 2X希+ 3X 10=3.B.2D.3X123D3_3_±P51010答案 A 2.已知离散型随机变量X的概率分布列为X135P0.5m0.2则其方差D(X)=()A.1B.0.6C.2.44D.2.4得 m= 0.3, E(X) = 1X 0.5 + 3X 0.3 + 5X 0.2 = 2.4,解析 由 0.5 + m + 0.2= 1 D(X) = (1 2.4)2X 0.5 + (3 2.4)2X 0.3 +

26、 (5- 2.4)2 X 0.2= 2.44.答案 C3. (2019宁波期末)一个箱子中装有形状完全相同的 5个白球和n(nN*)个黑球.现 从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为 X,若D(X)=1,则 E(X)=()A.1B.2C.3D.4解析 由题意，XB(4，p)， D(X) = 4p(1 p)= 1,1 1 p = -，E(X) = 4p= 4X2= 2.答案 B3支，设X为这3支4. 签盒中有编号为1, 2, 3, 4, 5, 6的六支签，从中任意取 签的号码之中最大的一个，则 X的数学期望为()A.5B.5.25C.5.8D.4.611c23解析 由题意可

27、知，X可以为3, 4, 5, 6, P(X= 3) = 61 = 20， P(X = 4) = & =元,c43c2 11P(X = 5)= C6= 10, P(X = 6) = 63 = 2.由数学期望的定义可求得E(X) = 3X 20 +3 314X 20+ 5X10+ 6X 2 = 5.25.答案 B 5.甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得 1分，负者得0分，比赛进行到2有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为3,乙在每局1中获胜的概率为3,且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望E(X)为()A 241B 266C 274D 670A. 81

28、B. 81C. 81D.243解析 依题意，知X的所有可能值为2, 4, 6,设每两局比赛为一轮，则该轮结2 22 1束时比赛停止的概率为 4 5 20416 + 1 若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛5结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P(X= 2) = 5，故 E(X) = 2X 9+ 4X 80+ 6X 詐箸.答案 B、填空题6.已知随机变量E的分布列为123P0.5xy15若 E( 3 = "8",贝y D( 3=.解析由分布列性质，得x+ y= 0.5.又E( 3二字，得2x+ 3y二£,可得22151151D(B

29、= 1-耳 X 1+ 2-© X 8+1x= 8，3尸8.2153 EX 3=55.答案557.在一次随机试验中，事件A发生的概率为望E( 3) =，方差D()的最大值为 _P,事件A发生的次数为&则数学期解析 记事件A发生的次数E可能的值为0, 1.d01P1 Pp数学期望 E( 3 = OX (1 p) + 1X p= p,方差 D(0 P)2X (1 p)+ (1 p)2X P= P(1 p)w4.1故数学期望E(3 = P,方差D( 3的最大值为48.个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字 0、两个面上标有数字1、- 个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向

30、上的数之积 X的数学期望是解析随机变量X的取值为0, 1, 2, 4,则P(X= 0) = C C + CdCg+ C C = 3, c1c21c2c1 + ciC21、，八c2c21小_、,、P(X=1)=C6C1=9，P(X=2)=C6C=9，P(X=4)=CCT36，因此 E(X) =4=9.4答案4三、解答题9. (2019淮北模拟)某班共50名同学，在一次数学考试中全班同学成绩全部在 90 分到140分之间.将成绩按如下方式分成五组：第一组：90, 100),第二组：100, 110),，第五组：130, 140.按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所 示.将成绩大于或等于100分

31、且小于120分记为“良好”，120分以上记为“优秀”，不超过100分记为“及格”.(1)求该班学生在这次数学考试中成绩“良好”的人数;(2)若从第一、五组中共随机取出两个成绩，记 X为取得第一组成绩的个数，求 X 的分布列与数学期望.解(1)由频率分布直方图知，成绩在100 , 120)内的人数为 50 X 0.016X 10 +50X 0.038X 10= 27,该班学生在这次数学考试中成绩“良好”的人数为27.(2)由频率分 布直方 图可知第 一组有 0.006X 10X 50 = 3个成绩，第五 组有0.008X 10X 50= 4个成绩，即第一、五组中共有 7个成绩. 由题意，X的可能

32、取值为0, 1, 2,P(X= 0)=C27C (C2C0P(X二习二寸二则X的分布列为2*,、Cd 47, P(X= 1)= C7 =7,17，X012P241777E(X) = 0X 7+ 1X 4+ 2X 7= 6.200 元.10. （2016全国I卷）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器 有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替

33、1台机器更换的易损零件数发生的 概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的 同时购买的易损零件数.（1）求X的分布列;若要求P（xw n） 0.5，确定n的最小值;以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据， 在n= 19与n = 20之中选其一, 应选用哪个?解（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数 为8，9，10，11的概率分别为0.2, 0.4, 0.2, 0.2.可知X的所有可能取值为16、 17、18、19、20、21、22,P(X= 16) = 0.2X 0.2 = 0.04;P(X= 17) = 2X 0.2X 0.4=

34、0.16;P(X= 18) = 2 X 0.2X 0.2 + 0.4X 0.4 = 0.24;P(X= 19) = 2X 0.2X 0.2 + 2X 0.4X 0.2= 0.24;P(X = 20) = 2X 0.2X 0.4 + 0.2X 0.2 = 0.2;P(X = 21) = 2X 0.2X 0.2 = 0.08;P(X = 22) = 0.2X 0.2 = 0.04;所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04由(1)知 P(xw 18) = 0.44，P(xw 19) = 0.68，故 n 的最小值为 19.记丫表示2台机器

35、在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.当 n = 19 时，E（Y） = 19X200X 0.68 + （19X200 + 500）X 0.2 + （19X200 + 2X 500)X 0.08+ (19X 200 + 3X 500)X 0.04 = 4 040.当n=20时,E(Y) = 20X 200X 0.88 + (20 X 200+ 500) X 0.08 + (20 X 200+ 2 X 500) X 0.04= 4 080.可知当n= 19时所需费用的期望值小于n= 20时所需费用的期望值， 故应选n= 19.能力提升题组（建议用时：20分钟）X，已知 E(X) = 3,则 D

36、(X)=()2 D.211. 从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放 回地摸取5次，设摸得白球个数为4C.48 6A.5B.53解析由题意，XB 5, m+3,口5X 3又 E(X) = m+3 = 3，；m= 2,则XB 5,3故 D(X) = 5X|x65.答案 B12. 某篮球队对队员进行考核，规则是：每人进 3个轮次的投篮；每个轮次每 人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过.已知队员甲投篮1次投2中的概率为3,如果甲各次投篮投中与否互不影响， 那么甲3个轮次通过的次数X 的期望是（）A.3B.8C.2D.f解析在一轮投篮中，甲通过的概率为p=9,通不过的概率为9. 由题意可知，甲3个轮次通过的次数X的取值分别为0，1，2，3,729'P(X= 1)= C3X 921 _9 _ 729；2281192p(x二 2)=c3x 9 X 旷729；512P(X= 3) = 729.随机变量X的分布列为:X0123P124192512729729729729数学期望E(x)=0x7+ 1x729+2x711+3x雳二8或由二项分布的期望公 式可得E(X) = 3.答案 B13. 某商场在