多元函数微分ppt课件

1、 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学8.1 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续8.2 8.2 偏导数偏导数 8.3 8.3 全微分全微分8.4 8.4 多元复合函数微分法多元复合函数微分法 8.5 8.5 隐函数的微分法隐函数的微分法8.6 8.6 多元函数微分法在几何上的应用多元函数微分法在几何上的应用8.7 8.7 方向导数和梯度方向导数和梯度 8.8 8.8 多元函数的极值多元函数的极值 8.9 8.9 * * 二元函数的泰勒公式二元函数的泰勒公式 8.10 8.10 * * 最小二乘法最小二乘法 R,),( yxyx有序实数对集有序实数对集 ：1-1yx),(yx

2、o“ 有序实数对有序实数对 ”与与 “ 平面上的点平面上的点 ” 不加区别不加区别 .的的点点的的集集合合，称称为为质质坐坐标标平平面面上上具具有有某某种种性性P平平面面点点集集.,),(:PyxyxE具具有有性性质质，并并记记作作 例如：例如：.都都是是平平面面点点集集,),(222ryxyxF ,),(dycbxayxE .,),(2RyxyxR 二维空间：二维空间：1. 邻域邻域0P ),(0 PU 2020)()(| ),(yyxxyx 定义定义：的的集集合合的的所所有有点点为为半半径径的的圆圆内内为为中中心心，以以),(0),(000yxyxP 邻域邻域 . 的的称称为为点点0P )

3、,(0 PUo)()( 0),( 220 oyyxxyx空去心邻域空去心邻域 :2. 内点：内点：.2EPRE ，设设,),(,0EEPU ，也也有有点点内内既既有有点点若若 4. 界点：界点：,0 若若3. 外点：外点：.12EPRE ，设设,0 若若EP P ，使使得得 EPU)(1 1P ），或或（EPEP , ,EEE 记记为为的的为为的的所所有有界界点点的的集集合合，称称边境边境.)(的的为为，则则称称，使使得得EPEPU 内点内点.1的的为为则则称称EP外外点点的的（边边）为为则则称称EP界界点点5. 聚点聚点:(a) 内点一定是聚点；内点一定是聚点；10| ),(22 yxyxE

4、例例:,1| ),()0 , 0(22 yxyxE边边界界,),(,0中中的的点点内内都都有有若若EPUo ，即即 EPUo),( ),(,0 PU 亦亦即即,点点的的内内都都有有 E无无穷穷多多个个.的的为为则则称称EP聚聚点点,1| ),(22于于该该集集合合上上的的点点都都是是聚聚点点且且都都属属 yxyx.00的的聚聚点点仍仍是是），点点（EE (b) 点集点集 的聚点可以属于的聚点可以属于 ，也可以不属于，也可以不属于 EEE的的每每一一个个点点都都是是它它的的若若平平面面点点集集 E6 . 开集：开集：.为为内内点点，则则称称E开开集集41),(22 yxyxE如：如：是开集是开集

5、 7 . 闭集：闭集：EE 的的所所有有聚聚点点都都属属于于若若平平面面点点集集.为为则则称称 E闭闭集集没没有有聚聚点点，这这若若平平面面点点集集 E.为为时时也也称称 E闭闭集集,),(dycbxayx 例如：例如：是闭集是闭集 ；41),(22 yxyx不是开集，也不是闭集不是开集，也不是闭集 ；2R而而 既是开集，又是闭集既是开集，又是闭集 ；约定：空集约定：空集 既是开集，又是闭集既是开集，又是闭集 .的的折折线线连连结结起起来来都都可可用用属属于于内内任任何何两两点点，连连通通是是指指对对于于开开集集EEE 8. 开区域：开区域：41| ),(22 yxyx例如例如:xyo41|

6、),(22 yxyxxyo是开区域；是开区域；9. 闭区域：闭区域： 是闭区域；是闭区域； 连通的开集称为开区域连通的开集称为开区域 .2R而而 既是开区域，又是闭区域既是开区域，又是闭区域 .若不需要指明区域的开闭性或区域若不需要指明区域的开闭性或区域的开闭性比较明显，就简称为区域的开闭性比较明显，就简称为区域 . 0| ),( yxyx是有界闭区域；是有界闭区域；是无界开区域是无界开区域xyo例如，例如，41| ),(22 yxyx10. 有界点集：有界点集：无界点集：非有界点集无界点集：非有界点集.为为有有界界点点集集则则称称，使使若若ElOUEl),(,0 Eoxyl11. 区域的直径

7、：区域的直径：.,|sup)(2121EPPPPEd 之之间间的的距距离离，与与表表示示点点其其中中：),(),(22211121yxPyxPPP 的的径径直直为为：是是有有界界区区域域，则则设设EE.)()(22122121yyxxPP 即即显显然然，.)(为为有有限限值值是是有有界界点点集集EdE例例如如：dd更更一一般般的的，有有维维空空间间：n的的全全体体，即即个个有有序序实实数数组组把把),(21nxxxn称称为为, 2 , 1,),( 21nkRxxxxkn .维维空空间间nnR，记记作作维维称称为为元元数数组组而而每每个个nxxxnn),(21其其中中，表表为为的的一一个个点点空

8、空间间.),(21nnxxxPPR.), 2 , 1(个个坐坐标标的的第第称称为为点点kPnkxk .)()()(|2222211nnxyxyxyPQ ),(21nxxxP,),(21nnRyyyQ 设设 nRPPPPPU ,|),(00 邻域：邻域： 中中 内点、边界点、区域、聚点等概念可类似定义内点、边界点、区域、聚点等概念可类似定义nR 维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 n8.1.2 多元函数的定义当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数. 多元函数中同样有多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量定义域、值域、自变量、因变量等概念等概念 类似地可定义三元

9、及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数可可写写为为R RT T, ,方方程程P PV V例例如如，理理想想气气体体的的状状态态 R RT TP P, , ( (V V0 0, ,T T0 0) ). .V V)()(立立方方体体的的体体积积，长长方方形形的的面面积积又又如如，xyzVxys 定义定义 的的非非空空子子集集，维维空空间间是是设设nRnD若若存存在在对对,),(,21DxxxPfn 应应关关系系按按照照对对应应关关系系,Ruf 实实数数对对应应唯唯一一一一个个f则则称称对对应应关关系系元元函函数数n，上上的的是是定定义义在在 D.RDf：表表为为的的函函数数值值，在在点点称称

10、为为函函数数对对应应的的数数点点PfuP,;),()(21nxxxfuPfu 或或记记为为的的定定义义域域，称称为为函函数数点点集集fD的的值值域域为为：函函数数 f.),()(RDPPfuuDf 注注.,.1210们们彼彼此此无无关关，它它个个自自变变量量元元函函数数有有nxxxnn定定义义域域是是的的定定义义域域，就就认认为为它它的的没没有有特特别别指指明明它它给给定定一一个个函函数数，使使该该函函数数有有意意义义的的点点的的集集合合，.确确定定一一般般可可由由函函数数的的解解析析式式元元函函数数：将将元元函函数数相相同同，我我们们约约定定与与一一nRDf：.,)(DPPfu 表表为为：.

11、统统称称为为二二元元和和二二元元以以上上的的函函数数多多元元函函数数, ),(21nxxxfu 或或.),(21Dxxxn ., )(.20的的形形式式一一致致，且且数数点点函函数数的的表表示示与与一一元元函函简简称称的的函函数数也也称称为为点点函函数数PRDPPfun 点点函函数数所所在在空空间间的的维维数数无无关关与与点点 P.)(,写写成成点点函函数数的的形形式式多多元元函函数数也也有有时时为为了了书书写写简简单单，将将间间都都成成立立在在任任意意维维空空得得到到的的结结论论，对对点点函函数数一一般般性性，对对点点函函数数形形式式简简单单又又具具有有因因此此PPfu ,),(中中在在点点

12、函函数数：nRDPPfu ；：，则则点点函函数数为为一一元元函函数数的的点点即即数数轴轴上上是是一一维维空空间间时时，点点当当)()()(1xfuxPPn ；，则则点点函函数数为为二二元元函函数数，的的点点即即平平面面上上是是二二维维空空间间时时，点点当当)(:),()(2yxfuyxPPn .),(:,),(3zyxfuzyxPPn 则则点点函函数数为为三三元元函函数数是是三三维维空空间间的的点点时时，点点当当由于此处定义的多元函数的值是实数，由于此处定义的多元函数的值是实数， 定定义中的函数也称为数量值函数义中的函数也称为数量值函数 （以后还要讨（以后还要讨论向量值函数）论向量值函数）.例

13、例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解,013222 yxyx.42222 yxyx所求定义域为所求定义域为: :.42| ),(222yxyxyxD 且且.)(1)2ln(22的的定定义义域域求求函函数数例例yxxyz 解解.11,2 xyxxy所求定义域为：所求定义域为： . 0)(1, 022yxxy. 1|,2 yxxy 二元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz （如下页图）（如下页图） 称为二元函数称为二元函数 的图形的图形.),(yxfz ,)(Dyxfz的的定定义义域域是是平平面面区区域域，设设二二元元函函数数 从从而而在在对对应应

14、唯唯一一一一个个, ),(,),(yxfzDyx . ),(,3yxfyxMR 中中确确定定唯唯一一一一点点三三维维空空间间 ),(,),(),(yxfzDyxzyxM 集集：点点二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面 .最最多多有有一一个个交交点点，则则轴轴的的直直线线与与曲曲面面平平行行，并并且且一一张张曲曲面面反反之之，如如果果三三维维空空间间有有 z, ),(yxfz 就就确确定定了了一一个个二二元元函函数数曲曲面面.的的定定义义域域就就是是该该函函数数平平面面的的投投影影区区域域在在曲曲面面Dxoy 例例3. 球面球面2222azyx .),(222ayxyxD ,

15、222yxaz .222yxaz 可确定两个二元函数可确定两个二元函数xyzo2222azyx xyzoD222yxaz xyzoD222yxaz yxyxD ),(xyzsin 二元函数二元函数:对于三元对于三元(及其以上及其以上)函数函数,),(3Rzyx 没有明显的几何意义没有明显的几何意义.),(zyxfu 定义定义 是是有有定定义义在在区区域域设设点点函函数数0,)(MDMf.,为为确确定定常常数数的的聚聚点点 AD,0,0 若若， 00:MMDM.)( AMf有有.)(0AMDMf存存在在极极限限在在点点关关于于区区域域则则称称.)(lim0AMfMM 记记作作即即表表示示，是是二

16、二元元函函数数，并并用用坐坐标标如如果果)(Mf在在点点则则二二元元函函数数),(,),(,),(000yxfyxMyxM:),(000的的定定义义为为的的极极限限是是 AyxM,0,0 ， 2020)()(0:),(yyxxDyx.),( Ayxf有有.),(lim),(lim),(),(0000AyxfAyxfyxyxyyxx 或或记记作作二重极限二重极限这这样样的的极极限限称称为为. .的的累累次次极极限限后后先先的的极极限限不不同同，后后者者称称为为与与形形如如二二重重极极限限yxx,yfx,yfxxyyyyxx)(limlim)(lim0000注注.),(,)(),(),(lim00

17、0AyxfMyxMAyxfyyxx的的极极限限都都存存在在且且相相等等为为函函数数时时方方式式无无限限趋趋于于以以或或点点列列曲曲线线一一条条沿沿动动点点 任任意意任任何何定理定理；的的极极限限函函数数时时无无限限趋趋近近于于或或点点列列曲曲线线沿沿若若动动点点),(,),()(),(000yxfyxMyxM不不存存在在某某一一条条.),(,)(),(0的的“极极限限”有有函函数数时时无无限限趋趋近近于于或或点点列列曲曲线线沿沿或或者者动动点点yxfMyxM某某两两条条不不同同不不同同.),(lim00不不存存在在则则yxfyyxx例例1 1 证明证明 证证01sin)(lim222200 y

18、xyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 取取当当 时，时， 22)0()0(0yx.01sin)(2222 yxyx原结论成立原结论成立. .)0()0(22 yx的的存存在在性性. .讨讨论论极极限限例例22)00()(lim2yxxy,y,x : :解解趋趋于于( (0 0, ,0 0) )时时，直直线线任任) )沿沿当当点点( ( kx yx,y 一一过过原原点点的的2200limyxxyyx 22200)1(limxkkxkxyx 21kk 此此极极限限不不存存在在. . 其值随其值随 k 的不同而变化，的不同而变化，的的存存在在性性.

19、 .讨讨论论极极限限例例yxxy,y,x )00()(lim:3解解趋趋于于( (0 0, ,0 0) )时时，: :直直线线) )沿沿任任当当点点( ( kx yx,y 一一yxxyyx 00lim.0 xkkxkxyx)1(lim200 )1( k此时，不能断定极限存在此时，不能断定极限存在 ！,)(2时时：( (0 0, ,0 0) )沿沿曲曲线线当当点点但但是是, , xxyy,xyxxyyx 00limxxxxxxxxyx 2200)(lim2)1(lim0 xx.1 . .极极限限不不存存在在故故证证例例4 4 证明证明 不存在不存在 26300limyxyxyx 若取若取,3xy

20、 26300limyxyxyx 6633003limxxxxxyx .21 ,kxy 取取26300limyxyxyx 226300limxkxkxxkxyx kxkxx 420lim此时，不能断定极限存在此时，不能断定极限存在 ！，0 故故 不存在不存在26300limyxyxyx 22200)sin(lim)1yxxyxyx ,)sin(lim22200 xyxxyxyxyyx 其中其中xyxyyx)sin(lim00uuusinlim0, 1 22yxxy ,21 . 0)sin(lim22200 yxxyxyxxyu 222yxxy , 02x例例5 求下列极限：求下列极限：22230

21、0lim)2yxyxxyxyx ,222yxxy xyyx 2222222yxyx ,222yx 2)(2222yxyxx 22230yxyxxyx x2 0. 0lim222300 yxyxxyxyx)0(x11lim)3222200 yxyxyx先先分分母母有有理理化化)11(lim2200 yxyx1)1()11()(lim22222200 yxyxyxyx. 2 1673 2.( )P练习册)(22)(lim)4yxyxeyx )(22)(limyxyxexyyx yxyxyxeyexeyx2)(lim)(2, 0lim2 ttet而而.0lim ttet.0 :2方方法法.0, 0

22、yx不不妨妨设设yxeyx 220yxeyx 2)(, tyx 令令tet2 )( t.0.0)(lim)(22 yxyxeyx22)(lim)52200yxyxyx 1683 5.( )P练习册)ln(002222limyxyxyxe )ln(02222yxyx 222)(yx )ln(22yx ,22uyx 令令,000 uxy则则00limyx而而222)(yx )ln(22yx uuulnlim20 201lnlimuuu .0 .0)ln(lim222200 yxyxyx. 10 e,)(0DMDMf 且且有有定定义义在在区区域域设设函函数数定义定义, )()(lim00MfMfMM

23、 若若.)(0连连续续在在则则称称MMf,)(0不不连连续续在在若若函函数数MMf是是则则称称0M.)(的的间间断断点点函函数数Mf.)(连连续续在在区区域域则则称称函函数数DMf,)(都都连连续续的的在在区区域域若若函函数数DMf任任意意点点),(yxfz 对对在在点点则则),(yxf.),(00连连续续yx，若若)(),(lim0,000yxfyxfyyxx 例例1 1 讨论函数讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续.定定义义域域内内的的区区域域上上连连续续一一切切多多元元初初等等函函数数在在其其 由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数称为多元初等函数函数称为多元初等函数闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域 D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，