数值分析复习题及答案

1、一、选择题1. 3.142 和3.141分别作为2.已知求积公式x dx3.4.5.数值分析复习题的近似数具有（）和（）位有效数字.Af(2)1f(2)，则 A =()1A.6通过点A . loC . loXo, yo1B.3,X1,y1的拉格朗日插值基函数Xo= o I1 X1oxo_ 1 l1X11lox，l1 x满足（lo Xo = o I1 X1lo Xo _ 1l1 x1设求方程f x o的根的牛顿法收敛，则它具有A .超线性B .平方C .线性）敛速。用列主元消元法解线性方程组x-i 2x2 x302x1 2x2 3x3x1 3x22作第一次消元后得到的第3个方程D. x20.5

2、x31.5、填空1.设x2.3149541.，取5位有效数字,则所得的近似值 x=f X1,X22.设一阶差商f x2f X11X2X13 f X2, X3f X3f X2% x2则二阶差商f x1,x2,x33.设 X (2, 3,1)T,则 l|X|2l|X|4.2求方程 x1.25 0的近似根，用迭代公式x Jx匸25，取初始值Xo5.解初始值问题6、,则A的谱半径pWXiy' f（X,y）y（X0）y。近似解的梯形公式是 几127、f(x)3x 5, Xkkh, k 0,1,2,.,则xn , n , xn 1, xn 2 , xn 3n 1, xn 28、若线性代数方程组 A

3、X=b的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler ）方法的局部截断误差y 10丄亠亠10、为了使计算x 1 (x 1) (x 1)的乘除法运算次数尽量的少，应将表达式改写11.设X （2,3, 4）t,则HXIhI|X|212.一阶均差f Xo'Xl13.已知n 3时，科茨系数Co31 C 38,C1C23338，那么C3'14.-._x因为方程f X X 4 20在区间1'2上满足所以f x 0在区间内有根。15. 取步长h 0.1 ，用欧拉法解初值问题yy yxy 11的计算公16.设x* 2.40315

4、是真值x 2.40194的近似值，则x位有效数字。17.对 f（x） X3 X 1,差商 f0,123（18.设 X （2, 3,7）T，则 11X1119.牛顿一柯特斯求积公式的系数和nCkn）k 020.若a=2.42315是2.42247的近似值，则 a有()位有效数字.21.l0(x), l1(x),ln(x)是以0,1,n为插值节点的Lagrange插值基函数，则n).ili(x)22.i 0设f(X)可微，则求方程xf(x)的牛顿迭代格式是).23.(k 1)2 (k)迭代公式X BXf收敛的充要条件是24.解线性方程组Ax=b (其中A非奇异,).给定方程组b不为0)9x4 x2

5、Xi 5x2的迭代格式x(k 1)Bx(k)f中的B称84，解此方程组的雅可比迭代格式为025、数值计算中主要研究的误差26、设lj(x)(j 0,1,2L n)是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则(i,j 0,1,2 L n)；nlj(x)j 027、设lj(x)(j0,1,2L n)是区间a,b上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为；插值型求积公式中求积系数Aj28、辛普生求积公式具有次代数精度，其余项表达式nAj29、f(x)x2 1,则 f1,2,3,f123,4;且j 030.设 X* = 1.234是真值x = 1.23445的近似值，则X*有位有效数字。31.设

6、 f (X) X3X 1 ,则差商(均差)f0,1,2,3f0,1,2,3,432.求方程f(X)根的牛顿迭代格式是A33.已知 34.方程求根的二分法的局限性是三、计算题31.设 f(x) x2,x014,X11, X2(1)试求f x在1 94,4上的三次Hermite插值多项式x使满足H(Xj) f(Xj), j O,1,2，. h'(X1)f'(G , x 以升幂形式给出。(2)写出余项R(x) f(x) H(x)的表达式2 .已知K =咖的旷满足0® - 丫!，试问如何利用叭戒构造一个收敛的简单迭代函数舐刈，使陥二机酣/=0,1收敛?3.推导常微分方程的初值

7、问题y' f (X, y)y(X0) y。的数值解公式:h '''yn 1 yn 1-(yn 1 4yny. 1)3(提示：利用Simpson求积公式。4.利用矩阵的LU分解法解方程X12X1组3X12x2 3X3145x2 2x318x2 5x320y 5.已知函数1 x2的一组数据:求分段线性插值函数,并计算0131D.50.2f 1.5的近似值.6.已知线性方程组010x1X1X1X210x2x2 5x32x37.22x38.34.2(1)写出雅可比迭代公式、高斯一塞德尔迭代公式;(2)于初始值X0,0,0，应用雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式分别计算

8、X 1 (保留小数点后五位数字)7.用牛顿法求方程X3 3x 1 0在1,2之间的近似根(1)请指出为什么初值应取 2?( 2)请用牛顿法求出近似根，精确到 0.0001.8.写出梯形公式和辛卜生公式,并用来分别计算积分1丄dx01 X9.用二次拉格朗日插值多项式L2(x)计算sin 0.34的值插值节点和相应的函数值是(0,0)，( 0.30，0.2955 )，( 0.40，0.3894 )。10.用二分法求方程f(x)X310在口。1.5区间内的一个根，误差限 10 2 011.用高斯-塞德尔方法解方程组4x12X2X311X14X22X3182x1X25X322取x()(0,0,0)T,

9、迭代三次(要求按五位有效数字计算).。12求系数A|,A2和A3,使求积公式13.对方程组3x12X210X310x14X2X32x110X24X31558试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由14.确定求积公式J(x)dx Af ( 0.5) Bf (X1)Cf(°.5)的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代数精度写出用Euler方法、步长h=0.1y 3x 2y 0 x 115.设初值问题 y(0) 1解上述初值问题数值解的公式;（2）写出用改进的Euler法（梯形法）、步长h=0.2解上述初值问题数值解的公式，并求解y1,y2，保留两位小数。16.取节点x00, X

10、10.5, X21，求函数 y e在区间0,1上的二次插值多项式P2（X），并估计误差。17、已知函数y f（x）的相关数据由牛顿插值公式求三次插值多项式P3(x)，并计算庚P（2）的近似值。18、利用尤拉公式求解初值问题，其中步长h 0.1，yy(0)y x 1,1.x (0,0.6)oh19.确定求积公式hf(x)dx A0f( h) Af(0)A2f(h)并指出此时求积公式的代数中待定参数Ai的值（i 0,1,2），使求积公式的代数精度尽量高;精度20、已知一组试验数据如下123454456E3.5求它的拟合曲线（直线）。用列主元消去法解线性方程组2X13x24x36,3x15x22x3

11、5,4X13x230x33222.已知-t245-2457（1）用拉格朗日插法求f（X）的三次插值多项式；（2）求x，使f （x）简述题：叙述在数值运算中,误差分析的方法与原则是什么?数值分析复习题答案确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度24、用Gauss消去法求解下列方程组.试求Xl, X2使求积公式1 11 f(x) -f( 1) 2f(X1)3f(X2)3的代数精度尽量高，并求其代数精度。.取步长h=0.2,用梯形法解常微分方程初值问题y' 2x 5yy(1) 1(1 X 2)12x1 3x2 3x31518x, 3x2 3x315

12、.用列主元消去法求解方程组X2 X3 6并求出系数矩阵A的行列式detA的值.用牛顿（切线）法求兔5的近似值。取X0=1.7,计算三次，保留五位小数。29、已知数据如11 41.82.2260,9310,4730.2970.2240.168下:1y 求形如 a bx拟合函数。30、用二次拉格朗日插值多项式L2（x）计算sin0.34。插值节点和相应的函数值如下表。31、利用改进的尤拉方法求解初值问题，其中步长h 0.2y y x, y(0) 1.X (0,0.8)oX1(2)32、讨论用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程组 Ax=b的收敛性，如果收敛，比较哪种方法收敛快。其中

13、、选择题 1.A2.D3.D4.C5.B、填空Xi,X2,X3f X2，X3f X1，X21.55、yk收敛f X0X016、323.26 .33、1、2.3150f Xk,ykf X1X(B)1, i0, i7, 61013.；17、11 ; 24、j，jb a b a180 (;34、三、计算题1.解：（1）RX3X111Xk1,yk 1(A)Xn , Xn 1 , Xn 23,fXn,Xn 1,Xn 2,Xn 30 . g、101Fl14.;1&7.迭代矩阵，2 )4f(4)()，1 ; 27.1(T1)11.yk 1 yk1.10.1115.k 1X1k 1X2至少是9和炉;1

14、2.0.1k,k 0,1,2Ly。1Xn 1Xn;19、1;20.3;21.X ；22.Xnf(Xn)1 f '(Xn).1(85(4(a,b); 29. 1 0; 30、4;收敛速度慢，不能求偶重根。14 3X225263 2 2331X X 一450450254!16952(xx2k)x1k)；25.1, 0;相对误差ba lk(x)dx32、Xn 1绝对误差,b-a ; 28.xXnf (Xn)Xn1 f '(Xn).1291 9；)(x 1)(x 4)，(x) (1,9)2.由 X (X)，可得 X 3x (X) 3xX 2(x)3x)(X)3.数值积分方法构造该数值解

15、公式:对方程y f(X)在区间人1,Xn1上积分,y(Xn 1)Xny(Xn 1)Xnf (x,y(x)dx，记步长为h,对积分XnXnf (X, y(x)dx用Simpson求积公式得Xn 1f (x,y(x)dxXn 1Ql_百 f(Xn1)4f(xn)f(Xn 1)h '3(yn14yn yn 1)所以得数值解公式:yn1 yn 1如134yn yn 1)4解5.解X 0,1%x0.5 1 0.5xX 1,2%x0.50.20.3x 0.8所以分段线性插值函数为6.解：原方程组同解变形为X10.1X20.2x30.72X20.1X10.2x30.83X30.2x10.2X20.8

16、4雅可比迭代公式为m 1X10.1x2m0.2x3m0.72m 1X20.1x1m0.2x3m0.83m 1X30.2x1m0.2x2m0.84 (m高斯-塞德尔迭代法公式m 1X1cm0.1x20.2x3m0.72m 1X20.1x1m 10.2x3m0.83m 1X30.2x1m 10.2x2m10.840,1.)(m 0,1.)1用雅可比迭代公式得X 0.720 go.830 go.840 00用高斯-塞德尔迭代公式得 X0.720 00,0.902 00,1.164 407.解：f XX33xf X 3x2312x24 0，故取2作初始值迭代公式为XnXn 1f Xn 1Xn 1Xn3

17、Xn 13x21（或丄32x11 ) X211n 1,2,.X1X02 333_2X31.88889X21.879453 11.87 9 452 11.87939X3X2I方程的根X 1.879398.bf X dXa1丄dx010.75、辛dX4f (-应用辛卜生公式得11 0+25361.8888931.8888920.000061.879450.0001dx01 X4f(1119. 解(XX1)(XX2)(XXo)(XX2)(XX0)(XX1)(XiXo)(XiX2)L2 ( x) f 0 f1 f 2(X0X1)(X0X2)(X1Xo)(X1X2)(X2X0)(X2 xj=0.3333

18、3610 2。310.用二分法求方程f(x) x x 1 0在 t1。1.5区间内的一个根，误差限11.解迭代公式12.解: 13.解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优故对应的高斯一塞德尔迭代法收敛.迭代格式为取x(0)(0,0,0)T ,经7步迭代可得：x(0.999 991 459, 0.999 950 326, 1.000 010)T14. 4.解15.解(1)yn 10.1(3Xn2yn)0.3Xn1.2y16.解:0.50.5o.51P2(X)e00.50)10.5105 (X 0)( X 0.5)0.5 八 1 c 0.51+2( e 1)X2(e 2e1)X(X0.5)y

19、 e X, M3max yX 0,14 X1,eP2(X)x(x 0.5)( X 1) 3!ex P2(x)X(X 0.5)(X1)17、解：差商表由牛顿插值公式:18、解:19 .解:2分别彳将f(x) 1,x,xA，代入求积公式，可得A 1h, A令 f(x)3x时求积公式成立,而f(x) X4时公式不成立,从而精度为3。20、解:设y a bx则可得5a 15b 3115a 55b105.5于是 a 2.45, b 1.25，即2.45 1.25x。解:4x1 3x230x332,11x282x338,X32.xX2X313,8,2.22.解:用反插值得令f(x) hx*代入公式精确成立

20、，得A B 2hhA Bx102223h2A Bx；-h331x1- h, B解得 3Xi3h,A22h，得求积公式一、 30对 f(x) x ；h 313f(x)dx 尹 h)3 3f(3h)3訶故求积公式具有2次代数精确度。24、解：本题是Gauss消去法解具体方程组,只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。.解：由等式对2f(x) hXM精确成立得:2 3x212x2 3x；1解此方程组得3又当f (X) X时左边右边此公式的代数精度为2.解：梯形法为yn 1 yn0.2(2Xn5yn) (2Xn 1 5yn J即yn 115 (xn x15迭代得yi 0.62667, y y40.6

21、4840, y50.55566, y30.722800.58519,A（1）|b.解:先选列主元ii2行与1行交换得181211515 ,6消元18-1-12317is317-13行与2行交换回代得解X3 3,X2 2,X1解：扁是f（x）x2x23xn1 xn K下:求形如解:-1531T5一；消元-18aa-117IS73.det A1 ；行列式得0的正根，f'（x）2x】L7IS2212271816 7-1531T66T_66，牛顿迭代公式为xn1 号 22 2xn3 (n 0,1,2,.)科1231.732351.732051.73205取xo=1.7,列表如下:29、已知数据

22、如11 41.82.22 60,9310,4730.2970.2240.1681a bx拟合函数。30、解：过点（X0，f0），（“fj，（X2,f2）的二次拉格朗日插值多项式为L2(x)f。0八F f(X1 X0)(X1 X2)(XX1)(Xx?)f (XX0)(Xx?)f (XX0)(xxJff 0f 1T 2(X0 X1)(X0 X?)(X1 X0)(X1 X?)(X?xJ代值并计算得sin0.34L2 (0.34) 0.33336。31、解:32、解:简述题：解：数值运算中常用的误差分析的方法有：概率分析法、向后误差分析法、区间分析法等。误差分析的原则有：1）要避免除数绝对值远远小于被

23、除数绝对值的除法；2）要避免两近数相减；3）要防止大数吃掉小数：4）注意简化计算步骤，减少运算次数。选择题（共30分，每小题3分）1、下列说法中不属于数值方法设计中的可靠性分析的是（）。（A）方法收敛性;（B）方法的稳定性;（C）方法的计算量;（D）方法的误差估计。）次2、已知方程X33-2X-5=0在区间2,3存在唯一正根，若用二分法计算，至少迭代（可以保证误差不超过2103。3、(A) 5 ;(B) 7(C) 10(D) 12般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是（(A)调换方程位置;（B）选主元;（C）直接求解;（D）化简方程组。4、设1,1；(B) 9X 8! , 0;(C) 9

24、, 0;(D) 9, 1。f (x) 9x8 3x4 10，则 f I?0,?1,?2,?3,?4,?5,?6,?7,?8和 f 30,31,32,33,34,35,36,37,38,39的值分别为（）等分才能保证误差不5、若用复化的辛浦生公式计算积分sin xdx，问积分区间要（0超过2 10 5 ?(A) 10;(B) 15;(C) 20;(D) 25。)时，迭代收敛。(A) 方程组系数矩阵A对称正定;(B) 方程组系数矩阵A严格对角占优;(C) 迭代矩阵B严格对角占优;(D)迭代矩阵B的谱半径P (B)v1o7、在区间0,1上满足y(0) =1.5, y(1) =2.5的0次拟合多项式曲

25、线是(A) y = 2;(B) y = 1.5 ;8、复相关系数的取值区间为：(C) y = 2.5 ;(D)(A) 0 R 1 ;(B)1(C)R 1;(D)6、用一般迭代法x(k 1) Bx(k) g求解方程组Ax=b的解，则当(9、方差分析主要用于分析(A) 自变量和因变量都是分类变量(B) 自变量和因变量都是顺序变量(C)自变量和因变量都是数值变量(D)自变量是分类变量，因变量是数值变量10、方差分析中在由样本推断总体性质时，零假设是(A)各分类间方差相等(B)各分类间均值相等(C)各分类间均值不相等(D)各分类间至少有两组均值相等二、填空题(共30分，每小题3分)1、数值计算中主要研

26、究的误差2、J'x*的相对误差约是X*的相对误差的倍。3. 方程求根的二分法的局限性4、求方程根的割线法的收敛阶为 5、求定积分的牛顿-柯特斯公式的代数精度为三、（7 分）四、（8分）8X1X2X32X110X2X1X25X3已知方程组Gauss-Seidel迭代法的分量形式。6、若用高斯-赛德尔法解方程组 X1 aX22ax1X24，其中a为实数，则该方法收敛的充要条件是 a3应满足 。7、线性代数方程组Ax=b相容的充要条件是 8、单纯形算法的基本思路是: 9、参数假设检验的含义是 10、假设检验的基本思想的根据是确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高。8X3 11或Ax

27、 b分别写出该方程组的Jacobi迭代法和3五、（9分）设步长为h,分别用Euler方法、隐式Euler方法和梯形方法写出微分方程y y（X） T的求解公式。2,六、（8分）设总体 X在区间a, b上服从均匀分布，其中a、b未知，X1,X2, ,Xn为总体X的样本，求a b的极大似然估计量.七、（8分）将如下线性规划问题化成标准型:参加答案选择题(共30分，每小题3分)C )。1、下列说法中不属于数值方法设计中的可靠性分析的是(A)方法收敛性;(B)方法的稳定性;(C) 方法的计算量;(D) 方法的误差估计。(A)自变量和因变量都是分类变量(B)自变量和因变量都是顺序变量2、已知方程x33-2

28、x-5=0在区间2, 3存在唯一正根，若用二分法计算，至少迭代( C )次可以保证误差不超过1 10 33、(A) 5 ;(B) 7(C) 10(D) 12。般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是(A)调换方程位置;(B)选主元;(C)直接求解；(D)化简方程组。4、设 f (x) 9x8 3x4 10，则 f 20,21,22,23,24,25,26,27,28和 f 30,31,32,33 ,34,35 ,36,37 ,38 ,39的值分别为(B )(A) 1, 1;(B) 9X 8!,0;(C) 9, 0;(D) 9, 1。5、若用复化的辛浦生公式计算积分sin xdx ,0问积分

29、区间要()等分才能保证误差不超过2 10 5 ?(A) 10;(B) 15;(C) 20;(D) 25。6、用一般迭代法x(k 1) Bx(k)g求解方程组Ax=b的解，则当()时，迭代收敛。(A)方程组系数矩阵A对称正定;(B)方程组系数矩阵A严格对角占优;(C) 迭代矩阵B严格对角占优;(D)迭代矩阵B的谱半径P (B)V1。7、在区间0,1上满足y(0) =1.5, y(1) =2.5的0次拟合多项式曲线是(A) y = 2;(B) y = 1.5 ;(C) y = 2.5 ;8、复相关系数的取值区间为： (A )(A) 0 R 1 ;(B)1 R 1 ;(C)9、 方差分析主要用于分析

30、(D )R 1;(D)(D)11、方差分析中在由样本推断总体性质时，零假设是( B )(A)各分类间方差相等(B)各分类间均值相等(C)各分类间均值不相等(D)各分类间至少有两组均值相等、填空题(共30分，每小题3分)1、数值计算中主要研究的误差2、jxr的相对误差约是x*的相对误差的倍。3. 方程求根的二分法的局限性是。收敛速度慢，不能求偶重根。4、求方程根的割线法的收敛阶为5、求定积分的牛顿-柯特斯公式的代数精度为6、若用高斯-赛德尔法解方程组x1 ax 22ax1x24，其中a为实数，则该方法收敛的充要条件是 a3应满足。忖¥7、线性代数方程组Ax=b相容的充要条件是ran k

31、(A) =rank(A, b)&单纯形算法的基本思路是:根据问题的标准型，从可行域中某个基本可行解(顶点)幵始,转换到另一个基本可行解(顶点)，并使得每次的转换，目标函数值均有所改善，最终达到最 大值时就得到最优解。9、参数假设检验的含义是对总体中某个数字特征或分布中的参数提出假设检验。10、假设检验的基本思想的根据是小概率事件原理：“小概率事件在一次试验中几乎是不可能发牛的。” 三、(7分)确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高。四、（8分）已知方程组8x 1 X 2 X 32X110X2 X3X1 X2 5X3811或Ax b分别写出该方程组的Jacobi迭代法和Gaus

32、s-Seidel 迭代法的分量形式。五、（9分）设步长为h分别用Euler方法、隐式Euler方法和梯形方法写出下列微分方程的求解公式:y X y 1 y(0) 1。六、（8分）设总体 X在区间a, b上服从均匀分布，其中a、b未知，xx?, ,Xn为总2,体X的样本，求a、b的极大似然估计量.七、（8分）将如下线性规划问题化成标准型:试题.填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点x0,x1, x2，其对应的函数y f x的值分别为y0,yi,y2，则二次拉格朗日插值基函数lo（X）为2.设 f X关于节点X0 0,X1 1,X2 3的二阶向前差分为3.设A23，则IA1 =

33、34. n 1个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。.简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1.哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定?2.什么是不动点迭代法？X满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于X的不动点?3.设n阶矩阵A具有n个特征值且满足，请简单说明求解矩阵A的主3特征值和特征向量的算法及流程。三.求一个次数不高于3的多项式P3 X，满足下列插值条件:12324123并估计误差。（10分）四.试用n 1,2,4的牛顿-科特斯求积公式计算定积分I1 10厂严。（10分）五.六.试用 Doolittle分解法求解方程组:51336196X1XX31

34、019（10 分）30七.请写出雅可比迭代法求解线性方程组20x1 2x2 3x3X, 8x2 x32为 3x215x32412的迭代格式，并判断其是否收敛?30（10 分）八.就初值冋题 y（0）y考察欧拉显式格式的收敛性。y（10 分）用Newton法求f（x） x cosx 0的近似解。（10分）参考答案填空题（每小题3分，共12分）1. l0 X（X0 X1）（X0 X2）（X X1）（x X2）； 2.7 ； 3. 3，8; 4. 2n+1。二. 简答题（本大题共 3小题，每小题8分，共24 分）1.解：系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法。（4 分）（4 分）对于对称正定阵 A从

35、a, k ili2可知对任意k i有Ihkl 庙。即L的元素不会增大，误差可控，不需选主元，所以稳定。2.解：（1）若 xX ，则称X为函数 X的不动点。（2 分）（2） X必须满足下列三个条件，才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于x的不动点:（2 分）1）X是在其定义域内是连续函数;（2 分）2) x的值域是定义域的子集;3) x在其定义域内满足李普希兹条件。（2 分）（8 分）3. 解：参照幂法求解主特征值的流程步1输入矩阵A,初始向量v0，误差限，最大迭代次数N;OO ；步 2:置 k:=1, U :=0 , uO二vO/|vO|步 3:计算 vk=Auk-1;步4计算vk rmax

36、 vk i ；并置 mk:=vkr, uk:=vk/mk;步5:若|mk- u |< ，计算，输出 mk,uk;否则，转6;步6:若k<N,置k:=k+1, u :=mk，转3;否则输出计算失败信息，停止解：(1)利用插值法加待定系数法:设p2 x满足 P2 1 2,p2 24, p2 312,则 p2 x 3x2 7x6,（3 分）再设P3xp2 x K x 1 x2x3（3 分）P3x2x3（2）R3 x四.解：应用梯形公式得应用辛普森公式得:（1 分）9x215x 6（1 分）应用科特斯公式得:I I4f 4!（2 分）l1（2 分）0.75（1 分）f 0 4f 120.6

37、9444444（2 分）（1 分）1907f032f 1412f1 32f2（2 分）五.解：由零点定理,0.6931746（2 分）六.七.由牛顿迭代格式Xn 1XiX3故取X*cosX 0在（0,）内有根。2（2 分）XnXnCOSXn1 sin Xn0,1,（4 分）7 得,0.73936133; x?0.7390851780.739085133 X40.739085133X40.739085133解：对系数矩阵做三角分解:若 Ly b ,（3 分）（1 分）513361961l21l3101l32U11U12U22U13U23U33（2 分）LU（4 分）y110, y21,y3（2

38、分）若Ux y，则X（3,2,1）t。（2 分）解：（1）对于方程组，雅可比方法的迭代矩阵为010.50.500.50.510（2 分）其特征多项式为det（B）1.25，且特征值为0,（2 分）故有 B 1.25 1,因而雅可比迭代法不收敛。（1 分）（2）对于方程组，Gauss-Seidel迭代法迭代矩阵为0.50.500.50.50.5（2 分）其特征值为 10, 230.5（2 分）（1 分）故有 B 0.5 1，因而Gauss-Seidel迭代法收敛。八.证明题(本大题共 2小题，每小题7分，共14 分)1.证：该问题的精确解为y(x)Xy。©（2 分）欧拉公式为yi 1

39、yi h yi（1h）yi（2 分）对任意固定的X Xih ,有 yy0（1h）Xi/hy0（1h）1/hXi（2 分）y（Xi）（1 分）2.证：牛顿迭代格式为Xn 15Xn6ac2，6Xn0,1,2,L（3 分）因迭代函数为X 5X37,又X*需，（2 分）（2 分）故此迭代格式是线性收敛的。试题一、填空题(本题24分，每小题1.若方程f (X)0，可以表成X(X)，那么(X)满；则由迭代公式Xn(Xn)产生的序列Xn 一定收敛于方程f (X)0的根。4. 区间a,b上的三次样条插值函数S(X)是满足:设总体 X N（ , 2）未知，写出 的95%的置信区间:正交表Ln( np mq)中各

40、字母代表 的含义取步长 h 0.2解爲2yx0,1 的 Euler 法公式为:对实际问题进行建模求解时可能出现的误差有:(1,2)t，该函数从Xo出发的最速7.已知二元非线性函数f (x) x12+x1x2 XI-2X., +4x2,Xo8.已知二元非线性函数f(x) X12+X1X2 x；-2x,+4x2,Xo (1,2)T，该函数从 Xo出发的Newt on使商场总的营业员数、(本题8分)某商场决定营业员每周连续工作 5天后连续休息2天，轮流休息。根据星期一二-四五六日需要人数300300350400480600550统计，商场每天需要的营业员数如下表:(1)为商场人力资源部建立线性优化模

41、型安排每天的上班人数,最少。(不要求计算出结果)；(2)写出所建立的模型的对偶形式。三、(本题8分)已知f(x)的数据如表:00.521.5试求三次插值多项式 P（x），给出相应的误差估计式，并求f（2）的估计值。四、（本题12分）为了改进录音效果，今比较三种不同磁粉的录音带的放音效果，用这三 种不同的磁粉（记为Ai,A2,A3）的录音带录音，假设AN（ i, 2），i 1,2,3，得到的数据已汇 总成方差分析表如下方差来源平方和自由度样本方差F值组间ssa667.73组内SSE12总禾口 SST1114.9314曰,0.05, Fo.o5(2,12)3.89 )（1）试把上述方差分析表补充完

42、整（2）问这三种磁粉的平均放音效果有无显著差异？（取五、（本题10分）六、（本题10分）试确定求积公式hh f (x)dx A if ( h) Aof (0) Aif(h)中的待定系数，使其利用单纯形方法求解下面的线性规划（要求写出计算过程）X （元）和食品支出丫（元）关系，随机抽取代数精度尽量高。家庭家庭收入食品支出序号Xi丫1207400140492309900270813339108929781440111600440121515522552561441965616726867620864为研究家庭收入七、（本题12分）了 12个家庭的样本，得到数据如下表8381014443801009

43、359122531581104210176442010011228484176641231996127981合计34699109643056863假设丫与X之间符合一元线回归模型，(1)试用上表数据建立线性回归方程；(2)检验回归效果是否显著(0.05) ； (3)意义试解释回归方程的经济(t0.025(10)2.2281,t0.05(10)1.8125)八、(本题16分)设方程组为(1)取初始向量x(0)(0,0,0)T，求迭代次数k使得x(k 1) x(k)10 3 0答案、填空题(本题24分，每小题3分)1.若方程f(x) 0可表成X (x)，且在a, b内有唯一根X那么(X)满足，则由迭代公式Xn 1(Xn)产生的序列Xn 一定对方程组进行适当调整，使得用高斯一塞德尔迭代法求解时收敛;写出对应的高斯一塞德尔迭代格式;收敛于X* 0(X)满足：(X) C1a,b,且 X a,b有(x) a,b.2.已知二元非线性函数f(X)2X1X1X22 -X2 2x1'(X)1 ；)4x2 ,