静电场中的导体和电介质---教材习题

1、第13章静电场中的导体和电介质图 13.1CA13.1 一带电量为q，半径为rA的金属球A，与一原先不带电、内外半径 分别为B和rc的金属球壳B同心放置，如图所示，则图中 P点的电场 强度如何？若用导线将 A和B连接起来，则A球的电势为多少？(设无 穷远处电势为零)解：过P点作一个同心球面作为高斯面，尽管金属球壳内侧会感应出异 种，但是高斯面内只有电荷q .根据高斯定理可得 E4 n2 = q/©,可得P点的电场强度为 E= q 2.4兀时当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q时，外侧将出现同种电荷 q 用导线将 A和B连A球的电势是球U = .teoPc壳外侧的电荷产生的，这些电荷到球

2、心的距离都是rc，所以A球的电势为接起来后，正负电荷将中和.A球是一个等势体，其电势等于球心的电势.其间充满了相对+入和-入则13.2同轴电缆是由半径为 R1的导体圆柱和半径为 R2的同轴薄圆筒构成的， 介电常数为 $的均匀电介质，设沿轴线单位长度上导线的圆筒的带电量分别为 通过介质内长为I,半径为r的同轴封闭圆柱面的电位移通量为多少？圆柱面上任一点的场 强为多少？ 解：介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的在内外半径之间作一个半 径为r、长为I的圆柱形高斯面，根据介质中的高斯定理，通过圆柱面的电位 移通过等于该面包含的自由电荷，即d = q =入.1设高斯面的侧面为 S0,上下两底面分别为

3、S1和S2.通过高斯面的电位移 通量为Od = P dS =D dS+D dS+p dS= NrlD, 可得电位移为D = ”2n,其方向垂直中心轴向外.电场强度为 E = D/ £0$= ”2冗0£订，方向也垂直中心轴向外.r图 13.313.3金属球壳原来带有电量 Q,壳内外半径分别为 a、b,壳内距球心为 处有一点电荷q，求球心0的电势为多少？ 解：点电荷q在内壳上感应出负电荷-q,不论电荷如何分布，距离球心都 为a.外壳上就有电荷q+Q ,距离球为b.球心的电势是所有电荷产生的电 势叠加，大小为Uo=_q+ 1-q+ 1Q +qA、B和C,面积都是S= 100cm2

4、A板带有正电荷4兀s0 r4兀Eoa 4兀e0 b13.4三块平行金属板A、C 相距 d2 = 4mm , B、C 接地, 缘效应.求(1) B、C板上的电荷为多少？(2) A板电势为多少？解：(1)设A的左右两面的电荷面密度分别为q和(5,所带电量分别为 q1 = (tS和q2 = ®S,在B、C板上分别感应异号电荷-q1和-q2，由电荷守恒得方程q = q 1 + q2 = oiS + 匹，A、 B间的场强为E1 = o/s A、C间的场强为E2 = o/ ®.设A板与B板的电势差和 A板与C板的的电势差相等，设为U，则U = E1d1 = E2d2， 即 od1 =

5、od2 解联立方程和得8o = qd2/S(d1 + d2)，所以 q1 = oS = qd2/(d1+d2)= 2 10(C);-8B、 C 板上的电荷分别为qB = -q 1 = -2 10 (C); qc = -q2 = -1两板电势差为 U = E 1d1 = od1/ S0 = qd1d2/ a0S(d1+d2),-8q2 = q - q1 = 1 00 (C). -810 (C).由于 k = 9 009 = 1/4 nte 所以 =10-9/36 n,因此 U = 144 n= 452.4(V). 由于B板和C板的电势为零，所以Ua = U = 452.4(V).13.5 一无限

6、大均匀带电平面 A,带电量为q,在它的附近放一块与 A平行 的金属导体板 B，板B有一定的厚度，如图所示.则在板 B的两个表面1 和2上的感应电荷分别为多少？qi解：由于板B原来不带电，两边感应出电荷后，由电荷守恒得q1 + q2 = 0虽然两板是无限大的，电荷密度分别为o = q1/S、它们产生的场强大小分别为-为了计算的方便，不妨设它们的面积为 S,贝mo = q2/S、o= q/S ,E1 = o/ fl、E2 = o/ 0 E = o /o £图 13.5在B板内部任取一点 P,其场强为零，其中1面产生的场强向右，2面和A板产生的场 强向左，取向右的方向为正，可得E1 - E

7、2 -E = 0，即 o - o - o= 0 ,q1 - q2 + q = 0 ，解得电量分别为q2 = q/2, q1 = -q2 = -q/2.或者说13.6两平行金属板带有等异号电荷，若两板的电势差为120V，两板间相距为1.2mm，忽略边缘效应，求每一个金属板表面的电荷密度各为多少？(203解：由于左板接地，所以 o = 0.由于两板之间的电荷相互吸引，右板右面的电荷会全部吸引到右板左面，所以 o = 0 .由于两板带等量异号的电荷，所以o = - o.两板之间的场强为 E = o/fl,而E = U/d ,所以面电荷密度分别为o = flE = flU/d = 8.84 W-7(C

8、 m-2), o = - o = -8.84 10<7(C m-2).13.6(413.7 一球形电容器，内外球壳半径分别为R1和R2，球壳与地面及其他物体相距很远将内4 兀球用细导线接地.试证：球面间电容可用公式 C =一业表示.(提示：R2-R可看作两个球电容器的并联，且地球半径r>>r2)证：方法一：并联电容法.在外球外面再接一个半径为壳也接地内球壳和外球壳之间是一个电容器，电容为1 RRR3大外球壳，外G =4%1/ R -1/R2外球壳和大外球壳之间也是一个电容器，电容为1C2 =4兀名01/R2 -1/R3外球壳是一极，由于内球壳和大外球壳都接地, 趋于无穷大时，

9、C2 = 4n0只2 .并联电容为R R2R2 -R共用一极，所以两个电容并联.当R3C =C1 +C2 =4 兀 £0+ 4 兀goR24瓏 oR2R2 R方法二：电容定义法. 产生的叠加的结果. 势为假设外壳带正电为q，则内壳将感应电荷 q' .内球的电势是两个电荷由于内球接地，所以其电势为零；由于内球是一个等势体，其球心的电q =0，因此感应电荷为4'=_旦4 .R2、根据高斯定理可得两球壳之间的场强为E = q4兀E0rRiq4兀 s&r2,负号表示场强方向由外球壳指向内球壳.取外球壳指向内球壳的一条电力线，两球壳之间的电势差为冃R1U = JE d=

10、 f EdrR2R2R1r=1q 2)dr =旦-R；4兀名0只24阳0R24兀名0R；R2-尺)4阳 0R；13.8球形电容器的内、外半径分别为R1和R2,其间一半充满相对介电常量为？的均匀电介质，求电容 C为多少？1HilOB解：球形电容器的电容为C =4兀£01/ R1 1/ R2 对于半球来说，由于相对面积减少了一半，2兀齢尺只2 当电容器中充满介质时，电容为:C1 R2 - R1由于内球是一极,外球是一极，所以两个电容器并联:R1R2=4兀&0 .R2 - R1所以电容也减少一半：C2叭讣1只2C2 =.R2-R1C = G +C2 - 2兀名0(1+ 务)RR2S

11、的平板电容器析板间有两层介质，介电常量分别13.9设板面积为为g|和，厚度分别为di和d2，求电容器的电容.解：假设在两介质的介面插入一薄导体，可知两个电容器串联，电容 分别为 Ci = £iS/di 和 C2 = i2S/d2.R2 - Ri总电容的倒数为丄=丄+丄=虫+卫红=邑上息CC1 C21S 名2S名1名2$总电容为C =gs.Sd1 +赵13.10圆柱形电容器是由半径为Ri的导线和与它同轴的内半径为R2的导体圆筒构成的，其长为I,其间充满了介电常量为£的介质.设沿轴线单位长度导线上的电荷为荷为-入略去边缘效应.求：（1）两极的电势差U ;（2）介质中的电场强度

12、E、电位移D ;（3）电容C,它是真空时电容的多少倍？人圆筒的电解：介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的.在内外半径之间作一个半径为 的圆柱形高斯面，侧面为 So,上下两底面分别为 S,和S2.通过高斯面的电位移通量为长为I物=D dS =,四 dS+ lD cB+ D dS=rlD ,高斯面包围的自由电荷为 q =入,1根据介质中的高斯定理 d = q , 可得电位为D = "2n,方向垂直中心轴向外.电场强度为 E = D/ £ = ”2 n，方向也垂直中心轴向外.取一条电力线为积分路径，电势差为R2 、AU = f E dl = f Edr = f dr =I

13、9;LR； 2兀gr2兀sl"ln(R2/R1).q2辽它 l在真空时的电容为 Co = =0，所以倍数为 C/Co = £ £.U -电容为C = qU"in (R2/R,)9£k -DSoJraS2 J丿13.11在半径为球带电Qo,求:（1）介质层内、（2）介质层内、R1的金属球外还有一层半径为R2的均匀介质，相对介电常量为£ .设金属外 D、E、P的分布；外表面的极化电荷面密度.解：（1 ）在介质内，电场强度和电位移以及极化强度是球对称分布的.在内外半径之间作一 个半径为r的球形高斯面，通过高斯面的电位移通量为©d

14、= D dS= D dS=4 *2D，高斯面包围的自由电荷为 q = Qo,根据介质中的高斯定理d= q，可得电位为方向沿着径向.电场强度为E = D /££ = Qo r/4no£r3，方向沿着径向.由于以P = D - £E = （1 - 1 ） Qor3 .在介质之外是真空，真空可当作介电常量名r 4兀r理，所以 D = Qor/4 nr, E = Qor/4 no£3, P = o .（2）在介质层内靠近金属球处，自由电荷的场强为E' = q1' r/4 n of3；总场强为1q1 =（孑 T）Qo,D = Q o/4

15、n r,D = £E + P,所年=1的介质处Qo产生的场为E0 = Qor/4 nog3；极化电荷qj'产生 E = Qor/4 n o轩由于E = Eo + E'，解得极化电荷为介质层内表面的极化电荷面密度为W = 4；R12=（；T）爲在介质层外表面，极化电荷为q2一q，面密度为"皑=（1一才）爲.13.12两个电容器电容之比 C1：C2 = 1:2，把它们串联后接电源上充电，它们的静电能量之比 为多少？如果把它们并联后接到电源上充电，它们的静电能之比又是多少？解：两个电容器串联后充电，每个电容器带电量是相同的，根据静电能量公式 得静电能之比为 Wi：

16、W2 = C2：Ci = 2:1 .两个电容器并联后充电，每个电容器两端的电压是相同的，根据静电能量公式2CU /2,得静电能之比为 W1：W2 = C1：C2 = 1:2 .W = Q2/2C,13.13 一平行板电容器板面积为S,板间距离为d，接在电源上维持其电压为度为d相对介电常量为r的均匀介电质板插入电容器的一半空间内，多少？U 将一块厚求电容器的静电能为解：平行板电容器的电容为C =S/d，当面积减少一半时，电容为电介质时，电容为 C2 = 0 rS/2d .两个电容器并联，总电容为C = C 1 + C2 = (1 + r) 0S/2d,静电能为 W = CU 2/2 = (1 +

17、 r) 0SU2/4d .Ci = flS2d;另一半插入13.14压为(1)(2)(3)一平行板电容器板面积为 S,板间距离为d，两板竖直放着. U时，断开电源，使电容器的一半浸在相对介电常量为 电容器的电容C;浸入液体后电容器的静电能； 极板上的自由电荷面密度.若电容器两板充电到电 r的液体中.求：解：(1 )如前所述，两电容器并联的电容为C = (1 +商0S/2d.(2) 电容器充电前的电容为C0 = aaS/d，充电后所带电量为 Q = C0U .当电容器的一半浸在介质中后，电容虽然改变了，但是电量不变，所以静电能为W = Q2/2C = C02U2/2C = ®SU2/(

18、1 + &)d.(3) 电容器的一半浸入介质后，真空的一半的电容为C1 =S2d;介质中的一半的电容为C2 = 0 rS/2d.设两半的所带自由电荷分别为Q1和Q2,贝 y Q1 + Q2 = Q由于 C = Q/U，所以 U = Q 1/C1 = Q2/C2C1QC0U解联立方程得Q1 =C1+C21+C2/C1真空中一半电容器的自由电荷面密度为cr1_ Q1-S/22C0U同理，介质中一半电容器的自由电荷面密度为= 2®U"(1+C2/C1)S " (1+ 名d2C0U2"rU6 =(C1/C1)S(1 + E)d13.15平行板电容器极板面

19、积为200cm2，板间距离为1.0mm，电容器内有一块 1.0mm厚的玻璃板(|£= 5).将电容器与300V的电源相连.求：(1) 维持两极板电压不变抽出玻璃板，电容器的能量变化为多少？(2) 断开电源维持板上电量不变，抽出玻璃板，电容器能量变化为多少？解：平行板电容器的电容为C0 = Q i：S/d，静电能为 W0 = C0U2/2 .玻璃板抽出之后的电容为C=S/d.W= CU 2/2,(1) 保持电压不变抽出玻璃板，静电能为 电能器能量变化为&) 0SU2/2d = -3.18 105(J).W = W - W0 = (C - C0)U2/2= (1 -(2) 充电后

20、所带电量为Q = C0U ,保持电量不变抽出玻璃板，静电能为W = Q2/2C,电能器能量变化为 AW =W -W0 =(6 -HCoU0C213.16设圆柱形电容器的内、外圆筒半径分别为毎0耳SU-4=(环一1)= 1.59 W (J).2db.试证明电容器能量的一半储存在半径n or，能量密度为w = iDE2/2，体积元解：设圆柱形电容器电荷线密度为"场强为E =为dV = 2 n rdr,能量元为dW = wdV.在半径a到R的圆柱体储存的能量为R aI .Z2IRIn.4牡aW = f wdV = E2dV = f 'V2a 4隔 r当R = b时，能量为w二丄丄nb ;4 兀 s0 a当R = jab时，能量为W2 =4ln4兀E0dr =汇I b In ，a所以W2 = W1/2，即电容器能量的一半储存在半径R = JOb的圆柱体内.8兀$0只=后的圆柱体内.13.17两个同轴的圆柱面，长度均为I，半径分别为a、b,柱面之间充满介电常量为£的电介质(忽略边缘效应).当这两个导体带有等量异号电荷(±Q)时，求：(1 )在半径为r(a < r < b)