2019年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学

1、绝密启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部 分3至4页。满分150分。考试用时120分钟。考生注意:1 .答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题 卷和答题纸规定的位置上。2 .答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答,在本试题卷上的作答一律无效。参考公式：若事件 A, B 互斥，贝U P(A+B) =P(A)+P(B) 若事件A, B相互独立，则P(AB) =P(A)P(B) 若事件A在一次试验中发生的概率是 p,则n 次独立重复试验中事件

2、 A恰好发生k次的概 率 Pn(k) =C： pk(1 _p)n上(k =0,1,2，川，n)1台体的体积公式 V =3(SS1S2 S2)h其中S,S分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高柱体的体积公式V=Sh其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高1锥体的体积公式VSh3其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高球的表面积公式S = 4 二R2球的体积公式43V = R33其中R表示球的半径选择题部分(共40分)、选择题：本大题共 10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。1.已知全集 U =1,0,1,2,3,集合 A = 0,1,2, B =

3、-1,0/,则 eUATl B =A. 1B.0,1?C. -1,2,3D.1,0,1,32.渐近线方程为 x±y=0的双曲线的离心率是2A.万B.D.x-3y 4_03,若实数x, y满足约束条件3x-y-4<0,则z=3x+2y的最大值是B. 1C. 10D. 124 .祖咂是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“哥势既同，则积不容易”称为祖附I原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V柱#=Sh,其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是A. 158C. 182B. 162D. 325 .若 a>0, b>0,贝U "

4、 a+bw4” 是“abw4” 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6 .在同一直角坐标系中，函数 y = ；, y=loga(x+-), (a>0且aw0)的图像可能是 a27.设0vav1,则随机变量 X的分布列是X0a1p271130正箍则当a在(0,1)内增大时A. D(X)增大B. D(X)减小C. D(X)先增大后减小D. D(X)先减小后增大8 .设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不含端点)，记直线PB与直线AC所成角为 %直线PB与平面ABC所成角为8二面角P-AC-B的平 面角为4则A.华工必丫

5、B. 3<a,仔:丫C.火 a, faD. a<F39 .x, x ： 0已知a,bW R,函数f(x)=«1 312，若函数V_f (公ay b恰x3(a 1)x2 ax,x -0y - f (x) - ax -b32有三个零点，则A. a<-1 , b<0B. a<-1 , b>0C. a>-1, b>0D. a>-1, b<010.设 a, bCR,数列an中 an=a, an+1=an2+b, bw n*，则bA>o a11 - 2一 1B.当 b=；, aio>10C.当 b=-2, aio>10

6、D.当 b=-4, aio>10非选择题部分(共110分)、填空题：本大题共 7小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分，共36分。11.复数z(i为虚数单位)，则|z|=12 .已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是.若直线2x y+ 3= 0与圆相切于点a(-2, -1),则 m=, =.13 .在二项式(j2+x)9的展开式中，常数项是 ,系数为有理数的项的个数是14 .在 4ABC 中，NABC=901 AB = 4, BC=3,点 D 在线段 AC 上，若BDC=451则 BD=, cos/ABD =22PF的中x y15.已知椭圆 一+L=1的左焦点为F，点P在椭圆上且在

7、冲由的上方，若线段95点在以原点。为圆心，OF为半径的圆上，则直线 PF的斜率是.316 .已知awr,函数f(x) = ax -x,右存在t= r ,使得 f(t+2)_ f (t)区工，则实数a 3的最大值是.17 ,已知正方形ABCD的边长为1 ,当每个(i =1,2,3,4,5,6)取遍±1时，11AB 2BCT T T十九DA +九AC +九BD|的最小值是,最大值是三、解答题：本大题共 5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 .(本小题满分14分)设函数f(x)=sinx,xw R .(1)已知日亡0, 2冗)，函数f(x+8)是偶函数，求6的值；

8、22(2)求函数 y = f(x+)2 +f (x + )2 的值域.12419 .(本小题满分15分)如图，已知三棱柱ABC-ABC1,平面AACC，平面ABC/ABC=901 /BAC=30：AA=AC = AC,E,F 分别是 AC, A1B1 的中点.(1)证明：EF_LBC；(2)求直线EF与平面AiBC所成角的余弦值20 .(本小题满分15分)设等差数列耳的前n项和为Sn，03 = 4,数列bn满足：对每个nW N*,Sn+tn,Sn书+ bn,Sn书+bn成等比数列.(1)求数列an,bn的通项公式；(2)记 cn=/,nw n” 证明：Ci+C2+“l+Cn <2赤刀W

9、N. 2>221 .(本小题满分15分)如图，已知点F (1,0)为抛物线y =2pXp>0),点F为焦点， 过点F的直线交抛物线于 A、B两点，点C在抛物线上，使得 4ABC的重心G在x轴 上，直线AC交x轴于点Q,且Q在点F右侧5E AFG , CQG的面积为 19.(1)求p的值及抛物线的标准方程；,S ,一 (2)求一的最小值及此时点 G的坐标.S222 .(本小题满分15分)已知实数 a#0,设函数 f(x)=alnx + Jx+1,x>0.3(1)当a =时，求函数f(x)的单调区间;4(2)对任意xw4，y)均有f(x)< ,求a的取值范围. e22a注：

10、e=2.71828为自然对数的底数.2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分40分。1 . A2. C3.C4. B5. A6. D7. D8.B9. C10. A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。11.12,-2,. 513,162,514,山，力251015.1516.-17,0,2.53三、解答题：本大题共 5小题，共74分。18.本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。（I ）因为f （ x+日）=s i nt（e是偶函数，所

11、以，对任意实数x都有 s i rx（+e =）sx nq ,即 sinxcosH +cosxsin 日=-sinxcos日 +cosxsin日,故 2sin xcos6 = 0 ,所以 cos- - 0 .又8 W0, 2支），因此日=：或3- . 一 2 -2（口）y = fix fix = sin.2 二 . I x sin21 x ! I 12 力! I 4力 I 12j I 4）1.3-3 .八1cos2x - sin2x2 22（，兀）1 -cosI2x.6 .21 -cos I 2x，冗：cosI2x 3因此，函数的值域是1 -3,1 3.2219 .本题主要考查空间点、线、面位置

12、关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分 15分。方法一：(I)连接AiE,因为AiA=AiC, E是AC的中点，所以AiEXAC.又平面AiACC平面ABC, AiE二平面A1ACC1,平面 AiACCi n平面 ABC=AC,所以，AiE，平面 ABC,则 AiEBC.又因为 A1F/AB, /ABC=90°,故 BCAiF.所以BC，平面AiEF.因此 EF J_ BC.第 19 WA（n）取BC中点G,连接EG, GF,则EGFA1是平行四边形.由于AiE，平面ABC,故AEEG,所以平行四边形 EGFAi为矩形.由（I）得BC，平面EGF

13、Ai,则平面ABC,平面EGFAi,所以EF在平面AiBC上的射影在直线AiG上.连接AiG交EF于O,则/ EOG是直线EF与平面AiBC所成的角（或其补角） 不妨设 AC=4,则在 RtAAiEG 中，AiE=2j3，EG= J§ .由于。为AiG的中点，故EO=OG = &G2T5=，2所以 cos EOG =EO2 OG2 - EG22EO OG3因此，直线EF与平面AiBC所成角的余弦值是 一.5方法 连接AiE,因为AiA=AiC, E是AC的中点，所以AiEXAC.又平面AiACCj平面ABC, AiE二平面AiACCi,平面AiACCiC平面ABC=AC,所以

14、，AiEL平面ABC.如图，以点E为原点，分别以射线EC, EAi为y,z轴的正半轴，建立空间直角坐标系 E iyz.*19芯串不妨设AC=4,则A1 (0, 0, 24) , B(73, 1, 0),川后32 & ， F(,3,273)，C(0，2,2 20).因此，eF=§,|,2® BC=(,。).由 EF BC =0得 EF _L BC .20 .本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力。满分 15分。(I)设数列a的公差为d,由题意得a +2d =4向 +3d=B+3d,解得 a(=0,d = 2.

15、*从而 an =2n -2,n N .由Sn +bn,S书+6,6也+tn成等比数列得(Sn 书 +4 2 =(& +bn X & 出 + bn ).解得。=；(S2+SnSn 电).d2*所以 bn =n n,n N(n)"a7=2n -22bn -' 2n(n 1)n -1n(n 1)我们用数学归纳法证明.(1)当n=1时，。=0<2,不等式成立;(2)假设n = k(k w N* )时不等式成立，即 G十伞十|十Ch <2尿.那么，当n=k+1时，ci- c2nr ck - ck 1 :二2 k(k 1)k 2) ：2k Ji2k-2 k 2

16、(Jk_i - 4)=2 ki .k 1 . k即当n = k +1时不等式也成立.根据(1)和(2),不等式c1 +c2 +| + cn c2jn对任意nw N*成立.21.本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力。满分15分。(I)由题意得R =1 ,即p=2.2所以，抛物线的准线方程为 x=-1.(n)设 A(xv yA), B 为，必)，C x，y,重心 G(xG,yG ).令 Ya = 2t,t#0 ,则XA=t2.由于直线AB过F,故直线AB方程为x = Lry + 1,代入y2=4x,得2 2t2-1y - y -4 =

17、0 ,一 ,2/2)故2tyB = -4，即 yB = -：，所以 B 2,_y又由于xg1-xaxbxc3c 2c2t -+yc =0 ,1),yG = -( yA + yB + yc )及重心 G 在 x 轴上， 3所以，直线 AC方程为 y-2t =2t(xt2 ),得 Q(t2 -1,0由于Q在焦点F的右侧，故t2 >2 .从而1-S _严1%2t4 - 2t2 23t2-1 |2t |S212|QG| yc |t2-1_ 4"" 2 T2t -2t2”2t4 -1t2 -2t4 -13P令 m = t2 一2 ,则 m>0,一一一mS2m 4m 312

18、 3,m 4m当m=/3时，S取得最小值1十S2亨，此时G (2,0).22.本题主要考查函数的单调性,导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力。满分15分。3_,3(I)当 a = -一时，f (x) = -ln x +1 +x, x > 0 .44f'(x) = -43x 2-Tx(J x -2)(2、, 1 x 1)所以，函数f(x)的单调递减区间为(0, 3),单调递增区间为(3, +吧).12(n)由f (1) <，得 0 <a M.2a42 一、 x x x 2 1 xM 时,f (x) E 等价于一2- 一- 21n x 0.42aa2a设 g(t)=t26-2tV1x2lnxt 22山，则 g(t)之g(2>/2) =8Vx-4V2Vi+x-2lnx.rz 1当x一片 lt_7g(t)之g(2V2)=8Vx -4底尸x-21nx.记 p(x) = 4、x -2 , 2 , 1 x Tn x, x - 1 ,则P'(x)2x x . x 1 - 2x - x 1x x 1故x17(7,1)1(1, fP'(x)0+