第一节-任意角和弧度制及任意角的三角函数重点讲义资料(共12页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数三角函数的概念(1)了解任意角、弧度制的概念，能正确进行弧度与角度的互化(2)会判断三角函数值的符号(3)理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义知识点一角的有关概念(1)从运动的角度看，可分为正角、负角和零角(2)从终边位置来看，可分为象限角和轴线角(3)若与角的终边相同，则用表示为2k(kZ)易误提醒(1)不少同学往往容易把“小于90°的角”等同于“锐角”，把“0°90°的角”等同于“第一象限的角”其实锐角的集合是|0°<<90°，第一象限角的集合为|2k<

2、;<2k，kZ(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等自测练习1若k·360°，m·360°(k，mZ)，则角与的终边的位置关系是()A重合 B关于原点对称C关于x轴对称 D关于y轴对称解析：角与终边相同，与终边相同又角与的终边关于x轴对称角与的终边关于x轴对称答案：C知识点二弧度的概念与公式在半径为r的圆中分类定义(公式)1弧度的角把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，用符号rad表示角的弧度数公式|(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°rad；1 rad°弧长公式弧长l|&

3、#183;r扇形的面积公式Slr|·r2易误提醒角度制与弧度制可利用180° rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用. 自测练习2弧长为3，圆心角为的扇形半径为_，面积为_解析：弧长l3，圆心角，由弧长公式l|·r，得r4，面积Slr6.答案：46知识点三任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫作的正弦，记作sin x叫作的余弦，记作cos 叫作的正切，记作tan 各象限符号正正正正负负负负正负正负口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦

4、线有向线段AT为正切线易误提醒三角函数的定义中，当P(u，)是单位圆上的点时有sin ，cos u，tan ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin ，cos ，tan .自测练习3若sin <0且tan >0，则是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析：由sin <0，得在第三、四象限或y轴非正半轴上，又tan >0，在第三象限答案：C4已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴若P(4，y)是角终边上一点，且sin ，则y_.解析：由三角函数的定义，sin ，又sin <0，y<0且，解之得y8.答案：8考点一角的集合表示及象限角

5、的判断|1(2015·东城期末)若角满足(kZ)，则的终边一定在()A第一象限或第二象限或第三象限B第一象限或第二象限或第四象限C第一象限或第二象限或x轴非正半轴上D第一象限或第二象限或y轴非正半轴上解析：由，kZ，当k0时，终边在第一象限当k1时，终边在第二象限当k1时，终边在y轴的非正半轴上，故选D.答案：D2已知sin >0，cos <0，则所在的象限是()A第一象限 B第三象限C第一或第三象限 D第二或第四象限解析：因为sin >0，cos <0，所以为第二象限角，即2k<<2k，kZ，则k<<k，kZ.当k为偶数时，为第一象限

6、角；当k为奇数时，为第三象限角，故选C.答案：C3在720°0°范围内所有与45°终边相同的角为_解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：45°k×360°(kZ)，则令720°45°k×360°<0°，得765°k×360°<45°，解得k<，从而k2或k1，代入得675°或315°.答案：675°或315°解决终边相同的角的集合的两个方法(1)利用终边相同的角的集合可以求适

7、合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角(2)利用终边相同的角的集合S|2k，kZ判断一个角所在的象限时，只需把这个角写成0,2)范围内的一个角与2的整数倍的和，然后判断角所在的象限考点二三角函数的定义|已知角的终边在直线y3x上，求10sin 的值解设终边上任一点为P(k，3k)，则r|k|.当k>0时，rk，sin ，10sin 330；当k<0时，rk，sin ，10sin 330.综上，10sin 0.用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义

8、求解(2)已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题1已知是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos x，则x()A. B±C D解析：依题意得cos x<0，由此解得x，选D.答案：D考点三扇形的弧长及面积公式|(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？解(1)设圆心角是，半径是r，则(舍)，故扇形圆心角为.(2)设圆心角是，半径是r，则2rr40.S·r2r(402r)r(20r)(r10)2100100，当且仅

9、当r10时，Smax100，2.所以当r10，2时，扇形面积最大弧度制应用的两个关注点(1)弧度制下l|·r，Slr，此时为弧度在角度制下，弧长l，扇形面积S，此时n为角度，它们之间有着必然的联系(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形2已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是()A4B2C8 D1解析：设半径为r，圆心角的弧度数为，由Sr2，8××4，4.答案：A9.数形结合思想在三角函数中的应用【典例】(1)满足cos 的角的集合为_(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一

10、点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于C(2,1)时，的坐标为_思路点拨(1)利用三角函数线可直观清晰地得出角的范围(2)点P转动的弧长是本题的关键，可在圆中作三角形寻找P点坐标和三角形边长的关系解析(1)作直线x交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围，故满足条件的角的集合为.(2)如图所示，过圆心C作x轴的垂线，垂足为A，过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B.因为圆心移动的距离为2，所以劣弧2，即圆心角PCA2，则PCB2，所以|PB|sincos 2，|CB|cossin 2，所以xP2|CB|2sin 2

11、，yP1|PB|1cos 2，所以(2sin 2,1cos 2)答案(1)(2)(2sin 2,1cos 2)思想点评(1)利用三角函数线解三角不等式要在单位圆中先作出临界情况，然后观察适合条件的角的位置；(2)解决和旋转有关的问题要抓住旋转过程中角的变化，结合弧长公式、三角函数定义寻找关系跟踪练习函数yln(sin x)的定义域为_解析：(1)sin x>，作直线y交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角的终边的范围，故满足条件的角的集合为.答案：(kZ)A组考点能力演练1已知MP、OM、AT分别为角的正弦线、余弦线、正切线，则一定有()AMP

12、<OM<AT BOM<AT<MPCAT<OM<MP DOM<MP<AT解析：如图所示，MP、OM、AT分别为角的正弦线、余弦线、正切线，由于<<，所以OM<MP，又由图可以看出MP<AT，故可得OM<MP<AT，故选D.答案：D2已知sin <0，cos <0，则角的终边所在的象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：由sin <0得角的终边在第三或第四象限，由cos <0得角的终边在第二或第三象限，所以满足sin <0，cos <0的角的终边在第三象限，故

13、选C.答案：C3已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是()A2 Bsin 2C. D2sin 1解析：由题设，圆弧的半径r，圆心角所对的弧长l2r.答案：C4若x(0,2)，则sin x>的必要不充分条件是()A.<x< B.<x<C.<x< D.<x<解析：本题考查三角函数的性质与充分必要条件依题意，由sin x>，x(0,2)得知<x<，可以推得<x<；反过来，由<x<不能得知sin x>，如取<x<，此时sin x.因此，sin x>的必要不充分条件

14、是<x<，故选B.答案：B5点P从(1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为()A. B.C. D.解析：设点A(1,0)，点P从(1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达点Q，则AOQ2(O为坐标原点)，所以xOQ，cos，sin，所以点Q的坐标为.答案：A6如果角的终边经过点，那么tan 的值是_解析：由定义知tan .答案：7已知角(0<2)的终边过点P，则_.解析：本题考查了三角函数值的概念及同角三角函数的关系问题由已知条件sin>0，cos<0可得角的终边在第四象限，又由tan (0<2)可得.答案：8(2016

15、3;成都一诊)在直角坐标系xOy中，已知任意角以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，若其终边经过点P(x0，y0)，且|OP|r(r>0)，定义：sicos ，称“sicos ”为“的正余弦函数”，若sicos 0，则sin_.解析：因为sicos 0，所以y0x0，所以的终边在直线yx上，所以当2k，kZ时，sinsincos；当2k，kZ时，sinsincos .综上得sin.答案：9已知扇形OAB的圆心角为120°，半径长为6，(1)求的长；(2)求所在弓形的面积解：(1)120°，r6，的长l×64.(2)S扇形OABlr×4

16、5;612，SABOr2·sin×62×9，S弓形S扇形OABSABO129.10已知角的终边上有一点P(x，1)(x0)，且tan x，求sin cos 的值解：的终边过点(x，1)(x0)，tan ，又tan x，x21，x±1.当x1时，sin ，cos ，因此sin cos 0；当x1时，sin ，cos ，因此sin cos .综上sin cos 0或.B组高考题型专练1(2011·高考课标全国卷)已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y2x上，则cos 2()A BC. D.解析：角的终边在直线y2x上，tan 2.则cos 2.答案：B2(2012·高考安徽卷改编)在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点的坐标是()A(8，6) B(8，6)C(6,8) D(6，8)解析：|O