垂径定理（1）

1、第三协作区九年级数学备课组第三协作区九年级数学备课组 学习目标：学习目标：1 1理解圆的轴对称性，会运用垂径定理解决有理解圆的轴对称性，会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题关的证明、计算和作图问题；2 2感受类比、转化、数形结合、方程等数学思感受类比、转化、数形结合、方程等数学思想和方法，在实验、观察、猜想、抽象、概括、想和方法，在实验、观察、猜想、抽象、概括、推理的过程中发展逻辑思维能力和识图能力推理的过程中发展逻辑思维能力和识图能力 学习重点：学习重点：垂径定理及其推论垂径定理及其推论问题问题: :你知道赵州桥吗你知道赵州桥吗? ?它是它是13001300多年前我国多年前我国隋代建

2、造的石拱桥隋代建造的石拱桥, ,是我国古代人民勤劳与智是我国古代人民勤劳与智慧的结晶慧的结晶. .它的主桥是圆弧形它的主桥是圆弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所弧所对的弦的长对的弦的长) )为为37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中点到弦的弧的中点到弦的距离距离) )为为7.2m7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？吗？37.4m37.4m7.2m7.2m 实践探究实践探究 把一个圆沿着它的任意一条直径对把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？能得到什么结论？可以发现：可以发现：圆

3、是圆是轴对称轴对称图形图形，任任何一条何一条过圆心过圆心的的直线直线都是它的对称轴都是它的对称轴O独立自学独立自学 如图，如图，CDCD是是O O的任意一条直径，的任意一条直径，A A为为O O上点上点C C、D D以外的任意一点，过点以外的任意一点，过点A A做做ABCDABCD，交交O O于点于点B B，垂足为，垂足为E E连接连接OAOA，OBOB（1 1）这）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？轴是什么？（2 2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？为什么？OBCDE（1 1）圆是轴对称图形直

4、径）圆是轴对称图形直径CDCD所在的直线是它的对称轴所在的直线是它的对称轴（2 2）线段：）线段：AE=BEAE=BEA弧：，弧：，合作互学合作互学垂径定理：垂径定理：垂直于弦垂直于弦的的直径直径平分平分弦弦，并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧OABCDE结论：结论：AE=BEAE=BE，你能用语言表示上述结论吗？你能用语言表示上述结论吗？已知：已知：ABAB是弦，是弦，CDCD是直径，是直径，CDABCDAB展示竞学展示竞学 垂径定理是圆中一个重要的结论垂径定理是圆中一个重要的结论, ,两种两种语言要相互转化语言要相互转化, ,形成整体形成整体, ,才能运用自如才能运用自如. .垂

5、径定理：垂径定理：垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的平分弦，并且平分弦所对的两条弧两条弧 CD CD是直径是直径( (过圆心过圆心) ) CDABAE=BE,AD=BD. AC=BC,1 1、如图、如图(1)(1)，O O中，弦中，弦ABAB弦弦CDCD于点，于点，则则A A=B=B （ ）、如图、如图(2)(2)是直径，是直径， ABAB是弦，是弦，CDCD交交交于点，则交于点，则A A=B=B，A A=B=B（ ）、如图、如图(3)(3)，O O中，弦中，弦ABAB直线直线CD(CD(过圆心过圆心) )于点，则于点，则A A=B=B( )( )、如图、如图(4)(4)，O

6、 O中，弦中，弦ABAB半径半径D D于点于点，则，则A A=B=B，( )( )如图（如图（1 1）如图（如图（2 2）如图（如图（3 3）如图（如图（4 4） 垂径定理的推论垂径定理的推论如图如图, ,在下列五个条件中在下列五个条件中: :OABCD M CD是直径是直径(过圆心过圆心), AM=BM, CDAB,AC=BC, AD = BD. 你可以用其中你可以用其中 做条件，做条件，其余其余三个三个做结论写出相应做结论写出相应的命题吗的命题吗? ?并证明它。并证明它。OABDE CD CD是直径是直径( (过圆心过圆心) ) AE=BE AE=BE平分弦（平分弦（不是直径不是直径）的）

7、的直径垂直于弦，并且平直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧CCDAB, AC=BC,AD=BD.问题问题: :赵州桥的主桥是圆弧形赵州桥的主桥是圆弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所弧所对的弦的长对的弦的长) )为为37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中点到弦的弧的中点到弦的距离距离) )为为7.2m7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？吗？37.4m37.4m7.2m7.2m精讲导学精讲导学解得：解得：R279（m）BODACR在在RtRtOADOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2赵州桥的主桥拱

8、半径约为赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.27.9m.OA2=AD2+OD2, 7 .184 .372121ABADAB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2在图中在图中如图如图, ,用用 AB AB 表示主桥拱，设表示主桥拱，设A AB所在圆的所在圆的圆心为圆心为O O，半径为，半径为R R经过圆心经过圆心O O作弦作弦ABAB的的垂线垂线OCOC，D D为垂足，为垂足，OCOC与与ABAB 相交于点相交于点C C，根据垂径定理得，根据垂径定理得，D D是是ABAB的中点，的中点，C C是是ABAB的的中点，中点，CDCD就是拱高就是拱高解解:例例1 1如图，在如图，在O O中，

9、弦中，弦ABAB的长为的长为8cm8cm，圆，圆心心O O到到ABAB的距离为的距离为3cm3cm，求，求O O的半径的半径OABE2 2、如图，圆、如图，圆O O的弦的弦ABAB8 8 ，DEDE2 2，直径，直径CDABCDAB于点于点E E，求半径求半径OCOC的长。的长。E1.1.在半径为在半径为3030的的O O中，弦中，弦AB=36AB=36，则，则O O到到ABAB的距离是的距离是= = ， OABP24mm3 3、在圆、在圆O O中，直径中，直径CDABCDAB于于E E，OE=4OE=4，弦，弦AD= AD= ，求求O O的半径。的半径。10反思：反思：在在O O中，若中，若

10、O O的半径的半径r r、圆心、圆心到弦的距离到弦的距离d d、弦长、弦长a a、弓形高、弓形高h h中，任中，任意知道两个量，可根据意知道两个量，可根据定理构定理构造直角三角形求出其余两个量。造直角三角形求出其余两个量。DACBO垂径垂径a ah hd dr222222)2()2(rhrarda）（或r直径平分弦直径平分弦 直径垂直于弦直径垂直于弦=直径平分弦所对的弧直径平分弦所对的弧 直径垂直于弦直径垂直于弦 直径平分弦（不是直径）直径平分弦（不是直径）直径平分弦所直径平分弦所 对的弧对的弧 =、圆是轴对称图形，任何一条圆是轴对称图形，任何一条直径直径所在所在直线直线都都是它的对称轴是它的

11、对称轴2 2、垂径定理及其推论：、垂径定理及其推论：小结评学小结评学.ACDBO 1 1、已知：如图，在以、已知：如图，在以O O为圆为圆心的两个同心圆中，大圆的心的两个同心圆中，大圆的弦弦ABAB交小圆于交小圆于C C，D D两点，两点，AB=8cm,CD=3cm,AB=8cm,CD=3cm,大圆的半径大圆的半径为为cmcm，求小圆的半径。，求小圆的半径。E检测固学检测固学2.2.已知：如图，在以已知：如图，在以O O为圆心的两个同心圆为圆心的两个同心圆中，大圆的弦中，大圆的弦ABAB交小圆于交小圆于C C，D D两点。你认两点。你认为为ACAC和和BDBD有什么关系？为什么？有什么关系？为什么？.ACDBOE注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添或作垂直于弦的直径，