11.5对坐标曲面积分ppt课件

1、第五节一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、 对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系机动 目录 上页 下页 前往 终了 对坐标的曲面积分 第十一章 一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 曲面分类双侧曲面单侧曲面麦比乌斯带麦比乌斯带莫比乌斯带）莫比乌斯带）曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型) 机动 目录 上页 下页 前往 终了 玩一玩：玩一玩： 莫比乌斯带莫比乌斯带 单侧曲面单侧曲面其方向用法向量指向

2、方向余弦coscoscos 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0; 后侧取 cosa 0; 左侧取 cosb 0; 下侧取 cosg 0)例例1. 计算计算是以原点为中心, 边长为a的正立方体整个表面的外侧.解解: 利用对称性.原式yxxzdd)(3 的顶部 ),(:2221aaayxz取上侧 的底部 ),(:2222aaayxz取下侧1dd)(3yxxzyxDyxxadd)2(3yxxz2dd)(yxxayxDdd)2(yxDyxadd333axzy机动 目录 上页 下页 前往 终了 (x + y)dydz + (y + z)dzdx + (z + x)dxdy, 其中解解: 把把 分为上

3、下两部分分为上下两部分2211:yxz根据对称性0ddyxxyz 思索思索: 下述解法是否正确下述解法是否正确:例例2. 计算曲面积分计算曲面积分,ddyxxyz其中 为球面2x外侧在第一和第八卦限部分. ozyx112yxD0,01:),(22yxyxDyxyx2221:yxz122zy机动 目录 上页 下页 前往 终了 yxDyxyxyxdd 1222221cossin2rryxDrrrd1210315220d2sinozyx112yxDd dxyzxy所以2ddyxzyx1ddyxzyxyxDyxxydd )1(22yx yxDyxxydd 221yx ddrr机动 目录 上页 下页 前

4、往 终了 四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系 设光滑曲面 S: z = z (x, y), (x, y)Dxy ，取上侧，),(zyxR是 上的连续函数, 那么SyxzyxRdd),( , , x yDR x y),(yxzyxdd22 , , ( , ) 1xyRdSR x y z x yzz dxdySS又2222221cos,cos,cos111yxxyxyxyzzzzzzzz又曲面法向量的方向余弦为：机动 目录 上页 下页 前往 终了 cos , , ( , )RdSR x y z x y dxdySS故S可以验证， 取下侧时结论也成立。机动 目录 上页 下页 前往 终了 c

5、os , , ( , )RdSR x y z x y dxdySS故同理可得cos ( , ), , PdSP x y zy z dydzSScos , ( , ), QdSQ x y x z z dzdxSSd dd dd dP yzQ zxR xy()SRQPdcoscoscos将三个式子相加，得令yxRxzQzyPdddddd()SRQPdcoscoscosSAnd向量形式),(RQPA )cos,cos,(cosn)dd,dd,d(dddyxxzzySnS SA dnAAnSnAd( A 在 n 上的投影)机动 目录 上页 下页 前往 终了 d dP y zcosdPS机动 目录 上页

6、 下页 前往 终了 d dQ z xcosdQSd dR x ycos dRSd dP y zcos()cos dcosPScos()cosPdxdycos()dcosPzdx221cosyxx例例3. 计算曲面积分计算曲面积分其中解解: 利用两类曲面积分的联系利用两类曲面积分的联系, 有有zyxzdd)(2)(2xzSdcosyxddcoscosoyxz2于是 原式 =)( x )(2xzyxzdd,dddd)(2yxzzyxz旋转抛物面)(2221yxz介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. S)(2xz2211cosyx 机动 目录 上页 下页 前往 终了 )( xxyxD

7、oyxz2原式 =)(2221yx yxyxxyxDdd)(22212rrrrd)cos(221220220d8yxdd得代入将,)(2221yxz机动 目录 上页 下页 前往 终了 2221()4xy内容小结内容小结定义定义:SyxRxzQzyPdddddd()01lim (,)iiiiyzniPSx ()yxiiiiSR),(x1. 两类曲面积分及其联系两类曲面积分及其联系()xziiiiSQ),(x机动 目录 上页 下页 前往 终了 性质性质:SyxRxzQzyPddddddSyxRxzQzyPdddddd联络联络:SyxRxzQzyPdddddd()SSRQPdcoscoscos2.

8、常用计算公式及方法常用计算公式及方法曲面积分第一类 (对面积)第二类 (对坐标)二重积分(1) 统一积分变量代入曲面方程 (2) 积分元素投影第一类: 面积投影第二类: 有向投影(3) 确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面 转化机动 目录 上页 下页 前往 终了 当S: z = z (x, y), (x, y) Dxy 时,( , , )df x y zS( , , )d dR x y zxy（上侧取“+”, 下侧取“”)(方程不同时分片积分)( , , ( , )f x y z x y( , , ( , )R x y z x y d dxy221d dxyzzxy xyDxyD类似可考虑在 yOz 面及 zOx 面上的二重积分转化公式 .思索