第6章 结构位移计算

1、结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算2022-1-18北京科技大学天津学院1结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算qADA一、结构的变形与位移变形结构在外荷载作用下，产生形状和尺寸的改变。位移由于变形，结构上截面各点存在移动和截面转动。HAvA线位移、角位移、相对线位移、相对角位移线位移、角位移、相对线位移、相对角位移统称为统称为广义位移广义位移线位移角位移DC CDFPAD相对角位移DC 相对线位移2022-1-18北京科技大学天津学院2结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算二、位移产生的原因 刚度校核的需要-变形不得超过规范规定的容许值吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；高层建筑的最大位

2、移 1/1000 高度。 施工的要求 （拼装、架设过程中施加反向位移）荷载作用、温度变化、支座移动等各种外部因素作用。三、结构位移计算的目的 结构动力分析、稳定分析也需计算结构的位移2022-1-18北京科技大学天津学院3 为超静定结构的内力分析打基础结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算四、本章位移计算的基本假设 线弹性 小变形 无摩擦线性变形体系在计算位移时荷载的影响可应用叠加原理线性变形体系结构力学中计算位移时的理论基础虚功原理虚功原理本章所研究的就是线性变形体系位移的计算2022-1-18北京科技大学天津学院4结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算五、实功与虚功 cosPD FW功力与

3、沿力的方向上的位移的乘积。虚功广义力与广义位移无关时所作的功。实功广义力在自身所产生的位移上所作的功。 在功的表达式中，广义力与广义位移相对应。2022-1-18北京科技大学天津学院5结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算六、结构的外力虚功 作功的力所处的状态静力状态（k状态） 作功的位移所处的状态位移状态（m状态） 结构的外力虚功静力状态中结构的所有外力（包括荷载与支座反力）在位移状态中相应位移上所作的功。mPFWkkDFPk静力状态下结构中K处所受的广义力。Dkm位移状态下结构中与FPk相应的广义位移。2022-1-18北京科技大学天津学院6结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算1）集中力

4、的虚功2）集中力偶的虚功2022-1-18北京科技大学天津学院7结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算3）分布力的虚功q为均布荷载2022-1-18北京科技大学天津学院8结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算4）等量反向共面两力偶的虚功2022-1-18北京科技大学天津学院9相对角位移结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算5）等量反向共线两集中力的虚功2022-1-18北京科技大学天津学院10相对线位移结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算七、结构的虚变形功 kkMMdkkFFNNdkkFFQQdkkFFNNdkkFFQQdkkMMd截面内力分解2022-1-18北京科技大学天津学院11结结构

5、构力力学学虚功原理与结构位移计算七、结构的虚变形功 微段变形分解微段轴向变形微段剪切变形微段弯曲变形微段变形图2022-1-18北京科技大学天津学院12结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算七、结构的虚变形功 kkFFNNdkkFFQQdkkMMdmQQNNd)d(d)d(d)d(dqkkmkkmkkMMsFFsFFU微段静力状态下截面内力在位移状态下变形分量上所作的虚功：静力状态k位移状态m2022-1-18北京科技大学天津学院13结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算七、结构的虚变形功 kkFFNNdkkFFQQdkkMMd静力状态k位移状态msMsFsFMsFsFUmkmkmkmkmkm

6、kd1ddddddQNQNq略去二阶微量得2022-1-18北京科技大学天津学院14结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算 静力状态下微段横截面上的结构内力在位移状态下相应变形分量上所作的虚功总和虚功总和。七、结构的虚变形功 smksmksmkisMsFsFUd1ddQN对任一杆件，此虚变形功为：对整个杆系结构，该虚功为：ismkismkismksMsFsFUd1ddQN结构的虚变形功2022-1-18北京科技大学天津学院15结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算ismkismkismksMsFsFUd1ddQN 结构的虚变形功静力状态下微段横截面上的结构内力在位移状态下相应变形分量上所作的虚

7、功总和虚功总和。 结构的外力虚功静力状态中结构的所有外力（包括荷载与支座反力）在位移状态中相应位移上所作的功。kmPkFWD2022-1-18北京科技大学天津学院16结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算一、虚功原理 虚功原理：假设一线性变形体系，存在两个独立无关的静力状态k和位移状态m，让静力状态k中的力在位移状态m中的位移上作功，则体系的外力虚功恒等于恒等于虚变形功。 W=U外力虚功虚变形功虚功方程2022-1-18北京科技大学天津学院17刚体虚功原理结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算杆系结构的虚功方程DilmkilmQkilmNkkmPkxMxFxFFd1dd一、虚功原理FPk、FN

8、k、FQk、Mk静力状态k中的全部外力和内力。Dkm、m、m、 位移状态m中的全部位移与变形。m1其中：2022-1-18北京科技大学天津学院18结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算二、虚功原理的应用 (1) 虚功原理实际上综合反映了静力平衡条件（平衡方程）和变形协调条件（几何方程）。 (2) 虚功原理的应用只要求静力状态是平衡的，位移状态是小变形的；适用线性、非线性、弹性、非弹性变形体系。 (3) 静力状态和位移状态是彼此独立无关的。应用二：应用二：求未知位移，虚设静力状态k，利用虚功原理解决真实位移状态的几何问题。 应用一：求未知力，虚设位移状态m。利用虚功原理解决真实静力状态的平衡问题

9、。虚位移原理虚力原理虚力原理2022-1-18北京科技大学天津学院19结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算杆系结构的虚功方程DilmkilmQkilmNkkmPkxMxFxFFd1dd三、虚位移原理静力状态真实的位移状态虚设的 虚位移原理：线性变形体系在任意外在因素作用下有一静力平衡状态，那么对任意虚拟的位移状态(即虚位移) ，让静力状态中的力在位移状态中的位移上作功，则变形体系的外力虚功恒等于恒等于虚变形功。 教材P1112022-1-18北京科技大学天津学院20结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算 求解步骤：(1) 解除所求力的约束，代之以约束力，得k状态；(2) 在需求力的方向加上施

10、加对应的单位虚位移单位虚位移，得m状态；(3) 由虚位移原理建立虚功方程，求解约束力。 单位位移法杆系结构的虚功方程三、虚位移原理的单位位移法静力状态真实的位移状态虚设的DilmkilmQkilmNkkmPkxMxFxFFd1dd单位位移法是利用虚位移之间的几何关系来求解静力平衡问题的方法单位位移法是利用虚位移之间的几何关系来求解静力平衡问题的方法2022-1-18北京科技大学天津学院21结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算杆系结构的虚功方程四、虚力原理 虚力原理：线性变形体系在任意外在因素作用下有一实际位移状态，那么对任意虚拟的静力状态(即虚力)，让静力状态中的力在位移状态中的位移上作功，

11、则变形体系的外力虚功恒等于恒等于虚变形功。 位移状态真实的静力状态虚设的教材P111DilmkilmQkilmNkkmPkxMxFxFFd1dd2022-1-18北京科技大学天津学院22结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算 求解步骤：(1)在需求位移的方向加上施加对应的单位虚力单位虚力，得虚拟静力状态k ；(2)根据虚拟静力状态k与实际位移状态m， 由虚力原理建立虚功方程，计算所需求解的位移。 单位荷载法杆系结构的虚功方程四、虚力原理的单位荷载法位移状态真实的静力状态虚设的DilmkilmQkilmNkkmPkxMxFxFFd1dd单位荷载法是用静力平衡的方法来求解位移之间的几何关系2022

12、-1-18北京科技大学天津学院23结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算解：虚力状态k位移状态m （1）虚设一竖向单位力FPC=1 作用于铰C，得虚力状态k。（2）建立虚功方程U0vBmvCmlllWc)(112101121vBmvCmlllcvBmvCmlllc121例： 用单位荷载法求图示两跨静定梁由于支座B向下移动 时，中间铰结点C的竖向位移 。vBmcvCmD单位荷载法实际上是用静力平衡的方法来求解位移之间的几何关系单位荷载法实际上是用静力平衡的方法来求解位移之间的几何关系2022-1-18北京科技大学天津学院24板书作图结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算1PkFKKDsMsFsF

13、cFcFFmkmkmkmkmkkmkd1ddQN2R1RP21虚功方程为：c2mKKKkmDP1Ft2t1c1mP2FkFR1kFR2kMkFQkFNmmm1位移状态m虚力状态k2022-1-18北京科技大学天津学院25结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算一般公式的普遍性表现在：2. 结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构； 静定和超静定结构；1. 位移原因：荷载、温度改变、支座移动等；3. 材料性质：线弹性、非线弹性；4. 变形类型：弯曲变形、拉(压)变形、剪切变形；5. 位移种类：线位移、角位移；相对线位移、相对角位移。DiimkmkmkmkkmcFsMsFsFiRQNd1dd2022-

14、1-18北京科技大学天津学院26结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算拟求结构某点沿某方向的位移 ，计算步骤如下： （1）在某点沿拟求位移 的方向施加一个虚设的单位荷载FP=1； （2）在单位荷载作用下，根据结构的平衡条件，计算结构的内力 和支座反力； （3）用一般公式计算位移 。DDNV、MDDiimkmkmkmkkmcFsMsFsFiRQNd1dd2022-1-18北京科技大学天津学院27结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算例例: 1)求求A点水平位移点水平位移 所加单位广义力与所求广义位移相对应，该单位广所加单位广义力与所求广义位移相对应，该单位广义力在所求广义位移上做功。义力在所求广

15、义位移上做功。PAB2)求求A截面转角截面转角3)求求AB两点相对水平位移两点相对水平位移4)求求AB两截面相对转角两截面相对转角1PkF1PkF1PkF1PkF2022-1-18北京科技大学天津学院28结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算试确定与指定广义位移相对应的单位广义力。试确定与指定广义位移相对应的单位广义力。A?A(a)FPk=1FPk=1FPk=1BA?DAB(b)2022-1-18北京科技大学天津学院29结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算FPk=1FPk=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。ABCd?DBC(d)2022-1-18北京科

16、技大学天津学院30结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算dFPk1dFPk1试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。ABCd?BC(c)2022-1-18北京科技大学天津学院31结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算C(e)？左右CFPk=1FPk=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。2022-1-18北京科技大学天津学院32结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算?AB(f)ABFPk=1FPk=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。2022-1-18北京科技大学天津学院33结结构构力力学

17、学虚功原理与结构位移计算 本节讨论静定结构在荷载作用下的位移计算。仅限于研究线弹性结构，即结构的位移与荷载是成正比的，因而计算位移时荷载的影响可以叠加，当荷载全部撤除后位移也完全消失，而且结构的位移是微小的，应力与应变的关系也符合胡克定律。2022-1-18北京科技大学天津学院34结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算DiimkmkmkmkkmcFsMsFsFiRQNd1dd实际荷载作用下产生的位移对线弹性线弹性结构，有sEAFsNPmdd sGAFsQPmddsEIMsPmdd1DsEIMMsGAFFsEAFFPkQPQkNPNkkPddd轴力项剪力项弯矩项其中是截面切应力分布不均匀修正系数

18、，它只与截面形状有关。对矩形截面 =6/5；圆形截面 =10/92022-1-18北京科技大学天津学院35结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算DsEIMMsGAFFsEAFFPkQPQkNPNkkPddd例1 求刚架A点的竖向位移。位移状态m2022-1-18北京科技大学天津学院36结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算解：（解：（1 1）构造虚力状态）构造虚力状态k k，在，在A A点施加单位力，弯矩表达式为点施加单位力，弯矩表达式为ABAB段：段：1xMK BCBC段：段：lMK 虚力状态k1xxlkMxkFQ1kFN单位内力图2022-1-18北京科技大学天津学院37结结构构力力学学虚

19、功原理与结构位移计算荷载内力图qxxPFQqlqlPFNx221qxPM221ql轴力 以拉力为正；kPFFNN,剪力 使微段顺时针转动者为正；kPFFQQ,弯矩 使杆件同侧纤维受拉时，正负号相同。kPMM , （2 2）荷载作用下的弯矩表达式）荷载作用下的弯矩表达式ABAB段：段：221qxMPBCBC段：段：22qlMP2022-1-18北京科技大学天津学院38结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算CGAlEICAlICQNFAyFAyMAy2254)(,58)(,)(DDD轴力项剪力项弯矩项DGAsFFEAsFFEIsMMPkPkPkAydddQQNN)54581 (85224GAlEI

20、AlIEIql引入符号将内力方程代入公式，得： 讨论：讨论：记 ，CEIql8542022-1-18北京科技大学天津学院39结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算56,12,3bhIbhAClhGEClhQNFAyFAy22)(252)(,)(152)(DD问题： 的取值范围是什么？GE)1(2EG5.0032GE设杆件截面为 bh 的矩形截面杆，有：取 （高跨比） ，有：101lhCGECQNFAyFAy12501)(,7501)(DD2022-1-18北京科技大学天津学院40结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算%13. 0)()(,%2 . 0)()(DDDDMAyFAyMAyFAyNQ

21、因此，对受弯细长杆件，通常略去FN、FQ的影响。取 ，则：5 .2GECCQNFAyFAy5001)(,7501)(DD)500175011 (854DEIqlAy即：2022-1-18北京科技大学天津学院41结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算DGAsFFEAsFFEIsMMPkPkPkkPdddQQNN高跨较大的梁剪切变形和轴向变形影响很小，可忽略不计。1. 对梁和刚架：DEIsMMPkPd 2. 对桁架：DEAlFFEAsFFPkPkPNNNNd3. 对组合结构：DEAlFFEIsMMPkPkPNNd受弯杆拉压杆2022-1-18北京科技大学天津学院42结结构构力力学学虚功原理与结构位

22、移计算（3 3）将以上弯矩表达式代入求位移公式：）将以上弯矩表达式代入求位移公式：)(85)2)(1)2)(1402210211DEIqldxqllEIdxqxxEIdsEIMMllPKAy1xxlkMxkFQ1kFN单位内力图荷载内力图qxxPFQqlqlPFNx221qxPM221ql2022-1-18北京科技大学天津学院43结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算例2：求DVPPP4m3=12m3mABDC5P8PP=15/34/30000000000)(3280434853553131DEAPPPPEADV13P2022-1-18北京科技大学天津学院44结结构构力力学学虚功原理与结构位移

23、计算解：解：DEAlFFNkNPAx)()21 (2222) 1)() 1)(1EAPaaPaPaPEA练习题练习题: :求图示桁架结构求图示桁架结构( (各杆各杆EAEA相同相同) )A点水平位移。点水平位移。Paa111122PA00PP2常例7-2结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算 练习题：试求图示连续梁练习题：试求图示连续梁C C点的竖向位移点的竖向位移 和和A A截面截面的转角的转角A A，截面抗弯刚度为截面抗弯刚度为EIEI。PCBAl/2l/2答案：答案：)(483DEIplcv)(162EIplAqCBAl/2l/2M答案：答案：)(162DEIMlcv)(3EIMlAq(

24、1)(2)cvD2022-1-18北京科技大学天津学院46结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算DGAsFFEAsFFEIsMMPkPkPkkPdddQQNN高跨比较大的梁剪切变形轴向变形影响很小，可忽略不计。1. 对梁和刚架：DEIsMMPkPd 2. 对桁架：DEAlFFEAsFFPkPkPNNNNd3. 对组合结构：DEAlFFEIsMMPkPkPNNd受弯杆拉压杆2022-1-18北京科技大学天津学院48结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算Pl/2l/2EIABx1x2例：求图示等截面梁例：求图示等截面梁B端转角。端转角。解：解：1）虚拟单位荷载

25、状态）虚拟单位荷载状态；m=1积分常可用图形相乘来代替2）求求M，求实际荷载状态下求实际荷载状态下MP； )20(2)(lxPxxMP)2(2)()(lxlxlPxMP)0()(lxlxxMlPBdxEIMM0llldxEIlxxlPdxEIlxPx2201)(2)(1)(2EIPl1622022-1-18北京科技大学天津学院49结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算1、均质等截面直杆；2、位移状态内力图（荷载内力图）与静力状态内力图 （单位内力图）中，至少有一个图形是直线变化。 若满足以下两个条件，则可将位移计算公式中的积分计算换成用内力图的一些相关量相乘来计算。图乘法DsEIMMsGAFF

26、sEAFFPkQPQkNPNkkPddd2022-1-18北京科技大学天津学院50结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算sEIMMPkdxMMEIPkd1xMxEIPdtan1cABxEItanxxMEIPdtanSyABdtanxEIcAByEI1AB图kMkMMPMP图dAB2022-1-18北京科技大学天津学院51结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算荷载作用下梁和刚架的位移计算公式必须注意必须注意适用条件适用条件1、均质等截面直杆；、均质等截面直杆；2、荷载内力图与单位内力图中，至少有一个图形是、荷载内力图与单位内力图中，至少有一个图形是 直线变化，竖标直线变化，竖标yc必须取自直线图

27、形。必须取自直线图形。DsEIMMPkkPdcMyEI12022-1-18北京科技大学天津学院52结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算几种常见图形的面积与形心位置（熟记）2022-1-18北京科技大学天津学院53结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算几种常见图形的面积与形心位置（熟记）指曲线在该点的切指曲线在该点的切线与基线重合或平行线与基线重合或平行2022-1-18北京科技大学天津学院54结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算简单图形相乘结果（熟记）ycycyc1/2 x 底 x 高 x 2/3 x高2022-1-18北京科技大学天津学院55结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算简单图形

28、相乘结果（熟记）ycycyc1/2 x 底 x 高 x 1/3 x高1/3 x 底 x 高 x 3/4 x高2/3 x 底 x 高 x 5/8 x高2022-1-18北京科技大学天津学院56结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算使用图乘法时应注意的问题小结：使用图乘法时应注意的问题小结： 1 1、y yc c必须取自直线图形；必须取自直线图形； 2 2、当、当 M Mk k图为折线图形时，需分段计算；图为折线图形时，需分段计算； 3 3、当杆件为变截面时，需分段计算；、当杆件为变截面时，需分段计算； 4 4、图乘结果有正负之分，两弯矩图同侧时结果为正；、图乘结果有正负之分，两弯矩图同侧时结果为

29、正； 5 5、若两个图形均为直线图形时，则面积、纵标可任意分、若两个图形均为直线图形时，则面积、纵标可任意分 别取自两图形；别取自两图形； 6 6、复杂图形图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠、复杂图形图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠 加法分别进行图乘；加法分别进行图乘； 7 7、三角形、标准二次抛物线的面积、形心公式必须牢记。、三角形、标准二次抛物线的面积、形心公式必须牢记。2022-1-18北京科技大学天津学院57结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算1y12y23y3MPkMxMMPkd33y22y11y2022-1-18北京科技大学天津学院58结结构构力力学学虚功原理与结构位移

30、计算1y12y2MPkMxMMPkd22y11y教材P1202022-1-18北京科技大学天津学院59结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算DiimkmkmkmkkmcFsMsFsFiRQNd1dd 静定结构中温度改变不产生内力，但材料的自由膨胀或收缩将引起变形和位移。 已知杆件上、下边缘的温度变化为t1、t2，设温度沿杆件截面高度按设温度沿杆件截面高度按线性分布线性分布，则12tttDhththtthhtt211212110 )(上、下边缘的温差为：杆轴温度为：221tt 矩形横截面矩形横截面2022-1-18北京科技大学天津学院61结结构构力力学学虚功

31、原理与结构位移计算温度变化时，微段的形变位移为：stusttddd0线膨胀系数hststtddd1D由于温度变化时不引起切应变，故：0ddttvs代入公式，DhstMstFkkdd0NDsMsFsFtktktkktd1ddQN可得2022-1-18北京科技大学天津学院62结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算 图面积图面积kMDkNkMFhtt0 图面积图面积kFNDhsMtsFtkkddN0DhstMstFkkdd0NDsMsFsFtktktkktd1ddQN等截面等截面直杆直杆沿杆长沿杆长温度变温度变化相同化相同2022-1-18北京科技大学天津学院63结结构构力力学学虚功原理与结构位移计

32、算正、负号规定：正、负号规定：1、温度变化t1、t2以升高为正；对梁和刚架：对 桁 架：DDkNkMFthtt0DlFtktN0几种情况：几种情况：DDkNkMFkthtt0NkF2、轴力 以拉为正；3、弯矩 以使t2侧受拉为正。 kM温度引起的轴向变温度引起的轴向变形影响不能少。形影响不能少。2022-1-18北京科技大学天津学院64结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算例：图示结构，外侧温度升高t1=+10，内侧温度升高t2= +20 ，线膨胀系数=12010-7/ ，矩形截面高度h=20cm，求C点的竖向位移。解：（1）建立虚力状态（2）作 、 图kMkFN2022-1-18北京科技大学

33、天津学院65结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算解：（1）建立虚力状态（3）计算位移（2）作 、 图kMkFNDDkNkMFvCthtt0t0=15 ， Dt=10 )41(15 3) 3(21432 . 010-1.06cmm016. 0（）2022-1-18北京科技大学天津学院66结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算 静定结构中支座移动不产生内力和变形，只有刚体位移。DiimkmkmkmkkmcFsMsFsFiRQNd1dd即：0100mmm、DiimkkccFiR所以其中， 为虚力状态的支座反力，以与cim方向相同为正。 RikF2022-1-18北京科技大学天津学院67结结构构力力

34、学学虚功原理与结构位移计算例：图示结构，若支座B发生水平移动，即B点向右移动一间距a，试求铰C左、右两截面的相对转角。解：（2）求虚力状态的支座反力（3）计算位移位移状态m虚力状态kAxkFAykFBxkFBykF0011BykAykBxkAxkFFhFhF，haahcFiimki)1(R( )（1）建立虚力状态2022-1-18北京科技大学天津学院68结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算12D2PF2第 II 状态12112DPFW1PF第 状态状态：内力FN1、FQ1、M1，变形1111、状态：内力FN2、FQ2、M2，变形2221、以 状态为静力状态，状态为位移状态，由虚功原理sMFF

35、d)1(2121Q21N1、虚功互等定理2022-1-18北京科技大学天津学院69结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算sEIMMGAFFEAFFWd)(212Q1Q2N1N1221221DPFWsEIMMGAFFEAFFd)(121Q2Q1N2N以 状态为静力状态，状态 为位移状态sMFFd)1(1212Q12N12112DPFWsMFFd)1(2121Q21N对线性变形体，有EAF2N2GAF2Q2EIM221W12=W212022-1-18北京科技大学天津学院70结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算W12=W21虚功互等定理虚功互等定理12D2PF2第 II 状态1PF第 状态2022

36、-1-18北京科技大学天津学院71结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算1212PF2第 II 状态212121PPFF状态、状态都只受一个单位力作用由虚功互等定理，得2、位移互等定理11PF第 状态21位移互等定理位移互等定理21122022-1-18北京科技大学天津学院72结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算由虚功互等定理，得221112DDkk状态：支座1发生单位位移3、反力互等定理反力互等定理反力互等定理k21k12状态：支座2发生单位位移2112kk2022-1-18北京科技大学天津学院73结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算0112212PkF状态：只受单位力FP2=1作用，设

37、在支座1引起约束反力k12由虚功互等定理，得4、反力位移互等定理反力位移互等定理反力位移互等定理状态：支座1发生与k12相应的单位位移，设产生与FP2相应的位移212112kFP2=1k122022-1-18北京科技大学天津学院74结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算荷载作用下梁和刚架的位移计算公式必须注意必须注意适用条件适用条件1、均质等截面直杆；、均质等截面直杆；2、荷载内力图与单位内力图中，至少有一个图形是、荷载内力图与单位内力图中，至少有一个图形是 直线变化，竖标直线变化，竖标yc必须取自直线图形。必须取自直线图形。DsEIMMPkkPdcMyE

38、I12022-1-18北京科技大学天津学院76结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算几种常见图形的面积与形心位置（熟记）2022-1-18北京科技大学天津学院77结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算简单图形相乘结果（熟记）ycycyc2022-1-18北京科技大学天津学院78结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算简单图形相乘结果（熟记）ycycyc1/3 x 底 x 高 x 3/4 x高2/3 x 底 x 高 x 5/8 x高2022-1-18北京科技大学天津学院79结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算使用图乘法时应注意的问题小结：使用图乘法时应注意的问题小结： 1 1、y yc c必须取

39、自直线图形；必须取自直线图形； 2 2、当、当 M Mk k图为折线图形时，需分段计算；图为折线图形时，需分段计算； 3 3、当杆件为变截面时，需分段计算；、当杆件为变截面时，需分段计算； 4 4、复杂图形图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠复杂图形图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠 加法分别进行图乘；加法分别进行图乘； 5 5、图乘结果有正负之分，两弯矩图同侧时结果为正；图乘结果有正负之分，两弯矩图同侧时结果为正；2022-1-18北京科技大学天津学院80结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算kM图图4l281qlPM图图解：1、求DCyCABFP=1例 1. 设 EI 为常数，求 和

40、 。CyDBq（1）虚拟单位荷载状态；（2）作单位荷载内力图，作荷载内力图；（3）图乘BAq2l2lC)(38452)485()81232(142DEIqllqllEICy2022-1-18北京科技大学天津学院81结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算EIqlqllEIB3224121)8132(1qBAq281qlPM图图（ ）M图图121CAB12、求qB（1）虚拟单位荷载状态；（2）作单位荷载内力图，作荷载内力图；（3）图乘2022-1-18北京科技大学天津学院82结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算 练习题：试求图示连续梁练习题：试求图示连续梁C C点的竖向位移点的竖向位移 和和A

41、A截面截面的转角的转角A A，截面抗弯刚度为截面抗弯刚度为EIEI。PCBAl/2l/2答案：答案：)(483DEIplcv)(162EIplAqCBAl/2l/2M答案：答案：)(162DEIMlcv)(3EIMlAq(1)(2)cvD2022-1-18北京科技大学天津学院83崔6-5等结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算例2 已知AB和BC的截面惯性矩分别为I和1.2I，求图示刚架在荷载作用下C点的水平位移DCP。解：1、虚拟单位荷载状态； 2、作MP图、 图kM2022-1-18北京科技大学天津学院84结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算 2、作MP图、 图kM2022-1-18北京科技大学天津学院85结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算 2、作MP图、 图kM3、图乘2022-1-18北京科技大学天津学院86结