2020-2021学年高二数学人教A版必修5学案：第一章 解三角形 本章小结 Word版含解析

1、本章小结一、正、余弦定理的基本应用应用正、余弦定理解三角形问题往往和三角形面积公式、正、余弦定理的变形等结合在解三角形时，注意挖掘题目中的隐含条件和正、余弦定理的变形应用，注意公式的选择和方程思想的应用例1在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，且满足(2ab)coscccosb，abc的面积s10，c7.(1)求角c；(2)求a，b的值解(1)(2ab)coscccosb，(2sinasinb)coscsinccosb，2sinacoscsinbcosccosbsinc，即2sinacoscsin(bc)2sinacoscsina.a(0，)，sina0.cosc.c.(2)由sab

2、sinc10，c，得ab40.由余弦定理得c2a2b22abcosc，即c2(ab)22ab，72(ab)22×40×.ab13.由得a8，b5或a5，b8.规律总结正、余弦定理常与三角恒等变换、三角形面积公式结合在一起综合考查学生的能力，解题的关键是结合条件，利用正、余弦定理进行边角互化，然后在此基础上再进行三角恒等变换，解题时要注意公式的变形及熟练应用二、判断三角形的形状根据已知条件(通常是含有三角形的边和角的等式或不等式)判断三角形的形状时，需要灵活地应用正弦定理和余弦定理转化为边的关系或角的关系判断三角形的形状是高考中考查能力的常见题型，此类题目要求准确地把握三角形

3、的分类，三角形按边的关系分为等腰三角形和不等边三角形；三角形按角的关系分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解在解三角形时常用的结论有：(1)在abc中，a>ba>bsina>sinbcosa<cosb；ababsinasinbcosacosb.(2)在abc中，abc，abc，则cos(ab)cosc，sin(ab)sinc，sincos.(3)在abc中，a2b2<c2cosc<0<c<，a2b2c2cosc0c，a2b2

4、>c2cosc>00<c<.例2在abc中，2acosbc，则abc是()a等腰三角形b直角三角形c等腰直角三角形 d等边三角形解析方法一：由余弦定理，得2a·c.所以a2c2b2c2，则ab.所以abc是等腰三角形方法二：由正弦定理，得2×2rsinacosb2rsinc，即2sinacosbsinc.又sin(ab)sin(ab)2sinacosb，所以sin(ab)sin(ab)sinc.又abc，所以sin(ab)sinc，所以sin(ab)0.又0<a<，0<b<，则<ab<.所以有ab，则abc是等腰三

5、角形答案a规律总结判断abc形状的两种方法的核心是将角化为边或将边化为角，这种转化是借助正、余弦定理来完成的，至于选择“角化为边”还是“边化为角”，要根据题目给出的条件若题目的条件仅是边的形式或仅是角的形式，则较简单，因为无需转化；若题目的条件是边角混合的式子，则需要转化三、正弦定理和余弦定理的实际应用正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用常见的有测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题等解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求例3已知海岛a四

6、周8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛a在北偏东75°，航行20海里后，见此岛在北偏东30°.若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？解如图所示，在abc中，依题意得bc20(海里)，abc90°75°15°，bac60°abc45°.由正弦定理，得，所以ac10()(海里)故a到航线的距离为adacsin60°10()×(155)(海里)因为155>8，所以货轮无触礁危险四、正、余弦定理与其他知识的综合应用正、余弦定理将三角形中的边和角关系进行了量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依

7、据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题(1)解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解(2)解三角形与其他知识的交汇问题，可以运用三角形的基础知识、正、余弦定理、三角形面积公式与三角恒等变换，通过等价转化或构造方程及函数求解例4在abc中，ab2，ac3，·1，则bc()a.b.c2 d.解析由·1求出关于cosb的关系式，再利用余弦定理求bc.·1，且ab2，1|cos(b)，|cosb.在abc中，|2|2|22|·|·cosb，即94|22×2×，|，即bc.答案a例5在abc中，已知a，bc2，设bx，周长为y.(1)求函数yf(x)的解析式和定义域；(2)求y的最大值分析