(完整word版)沪科版八年级数学下册知识总结,推荐文档

1、沪科版八年级数学下册知识总结第十六单元二次根式二次根式知识点: 知识点一：二次根式的概念 形如忑 （«>0）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以以之口是为二次根式的前提条件，如 后,G+1,6=15叁1）等是二次根式，而 , QT 可等 都不是二次根式。知识点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a叁0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a<0时，没有意

2、义。知识点三：二次根式（小：）的非负性石（值工0）表示a的算术平方根，也就是说，总（口20）是一个非负数，即 右三0伊之0）。注：因为二次根式 JW ）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是 0,所以非负数（1之0）的算术平方根是非负数，即G20g三口）,这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若 £斗心=。,则a=0,b=0 ；若<" 十团一 ° ,则a=0,b=0 ；若 十以u ,则 a=0,b=0 o知识点四：二次根式（的性质7"产（厘之0 ）文字语言叙述为：一个非

3、负数的算术平方根的平方等于这个非负数。上面的公式也可以反过来应用：若,注：二次根式的性质公式 （3产=”（食之。）是逆用平方根的定义得出的结论。则必=尸，如：2 n （应） 2知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注意：1、化简必 时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0,则等于a本身，即 xf（x | a 口 2 0） 若a是负数，则等于a的相反数-a,即 石* HI -一以建7。）；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，工产一定有意义； 3、化简旧时，先将它化成 Ml,再根据绝对值的意义来进行化简。知识点六：（

4、石尸与厅的异同点1、不同点：口与"表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而石r表示一个实数a的平方的算术平方根；在 （6°中以之。，而上了中a可以是正实数，0,负实数。但46”与J户 都是非负数，即匚7 I I f a1y）, “。o 因而它的运算的结果是有差别的，（向、口9之。），而“一2、相同点：当被开方数都是非负数，即 值之。时，-'=/- ； e:口时，尸无意义，而 ".知识点七：二次根式的性质和最简二次根式如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有，2、，3、Va （a>0）、，x+y等；含有可化为平方数或平方式的因数或

5、因式的有，4、V 9- V a2、V （ x+y） 2、V x2+2xy+y2等（3）最终结果分母不含根号。满足最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是因式是整式。（2）被开方数不含能开的尽方的因数或因式。知识点八：二次根式的乘法和除法1 .积的算数平方根的性质Vaba Vb （a>0, b>0）2 .乘法法则Va - V b=A/ab （a>0, b>0）二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。注意：两个二次根式相乘，如果两个被开方数有公因数或公因式，就直接用乘法法则，若没有公因数或公因式，就分 别化

6、为最简二次根式，再利用乘法法则。3 .除法法则 Ja*，b=A/a+b （ a>0, b>0）二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算数平方根的商，等于这两个数商的算数平方根。4 .有理化根式。如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式，也称有理化因式。知识点九：二次根式的加法和减法1同类二次根式一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。2合并同类二次根式把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进

7、行合并。知识点十：二次根式的混合运算1确定运算顺序2灵活运用运算定律 3正确使用乘法公式 4大多数分母有理化要及时5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化知识点十一：分母有理化分母有理化有两种方法I .分母是单项式 如：Ja/=，2*，b/Jbx，b=A/ab/bII .分母是多项式要利用平方差公式如 1/Va + V b=Va Vb/( Va-Vb)( "a ，功=Va ，b/a b注意：1.根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式。第十七单元勾股定律勾股定理知识总结：一.基础知识点：1：勾股定理：直角三角形两直角边 a、b的平方和等于斜边 c的平方。(即：a2+b2=c2

8、)要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：(1)已知直角三角形的两边求第三边(在 ABC中，C 90 ,则c Ja2 b2 , b Cc a2 , a 4cb2 )(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边(3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2:勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c,则有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：(1)首先确定最大边，不妨设最长

9、边长为：c;(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若 c2=a2+b2,则 ABC是以/ C为直角的直角三角形(若c2>a2+b2,则4 ABC是以/ C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2,则 ABE锐角三角形)。(定理中a, b, c及a2 b2 c2只是一种表现形式， 不可认为是唯一的， 如若三角形三边长 a, b, c满足a2 c2 b2, 那么以a, b, c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边)3:勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

10、4:互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。5:勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是：图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：122,一方法一：4s S正方形efgh S正方形abcd, 4 - ab (b a) c ,化间可证.2方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为_22 a

11、b c大正方形面积为S (a b)2a2 2abb2所以b2万法二：Sw 2(ab) (ab) ， S梯形S ABE1 ab21C2 ,化简得证 c2方法2S ADE方法三方法一6:勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,即5；b2c2中,，8, 10；b , c为正整数时，称a , b , c为一组勾股数12, 13;7 , 24, 25 等用含字母的彳t数式表示 n组勾股数：n21,2n, n22, n为正整数)222n 1,2n2n,2n 2n 1 ( n 为正整数)22 -22m n ,2mn,m n ( m n, m , n

12、 为正整数)二、规律方法指导1 .勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。2 .勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。3 .勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。4 .勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a, b, c有下列关系：a2+b2=c2, ?那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法.5 .?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解.我们把题设、结论正好

13、相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。(例:勾股定理与勾股定理逆定理)第十八单元一元二次方程一元二次方程知识点：1. 一元二次方程的一般形式：aw 0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多 数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、b、c;其中a、b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法：一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选

14、方法；配 方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式：当ax2+bx+c=0 (aw。)时，A =b2-4ac叫一元二次方程根的判别式 .请注意以下等价命题: A > 0 <=>有两个不等的实根；A =0 <=>有两个相等的实根；A< 0 <=>无实根；A > 0 <=>有两个实根(等或不等)4. 一元二次方程的根系关系：当ax2+bx+c=0 (a W0)时，如A > 0,有下列公式：(1)x1,2b , b2 4ac2a(2) x1 x2c x1x2a5. 一元二次方程的解法(1)直接开平方法(也可以使用因式分解法)6

15、2x x a(a 0)解为：x 、. a(x a)2b(b 0)解为：x,b(ax b)2 c(c 0) 解为：ax b(ax b)2 (cx2d) ( a c)解为:ax b (cx d)(2)因式分解法：提公因式分，平方公式,平方差，十字相乘法如:2axbx 0(a,b 0)x(ax b)0 此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为(x3)(x 3)2_ 一x 3x 0x(x 3) 03x(2x 1) 5(2x1)(3x 5)(2 x 1) 06x(x3)2, 24x 12x(2x3)204x12(x6)(x 2)02x25x 12(2x 3)(x 4)(3)配方法二次项的系数为1”的时候

16、：直接将一次项的系数除于2进行配方,2x Px q 0(x2 q 0 示例：x23x 1 0如下所示:/3 2(x 2(f)2二次项的系数不为1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上:2.ax bx c0 (a0)/ b、2 a(x )示例:2a1 2-x2b24a, 2 b 、a(x - x) c 0a, b、2 b2 4ac(x )-2a 4aa(x2a(4)公式法:当 b2b22x 14ac4ac4ac次方程1(x2 4x) 122.ax bx c0时，右端是正数.因此,0 (a2(x0),2122)2 22 12用配方法将其变形为:方程有两个不相等的实根:0时，右端是零.因此，方

17、程有两个相等的实根:0时，右端是负数.因此,方程没有实根。备注：公式法解方程的步骤:把方程化成一般形式:二次方程的一般式:2axbx0 (ax1,2x1,2求出 b2 4ac ,并判断方程解的情况。代公式:x1,2X 5 .当ax2+bx+c=0 (a w0)时，有以下等价命题:(以下等价关系要求会用公式x x2(1)两根互为相反数(2)两根互为倒数ab= 0 且 ac L一 =1 且0，x#2(3)只有一个零根(4)有两个零根(5)至少有一个零根a-=0且 a-=0且 ac=0 a曙0 ab= 0 ac=0两根异号，正根绝对值大于负根绝对值b24ac4a2b . b2 4ac2ab2a0),

18、并确定出a、b、cb 介 4ac (要注意符号)2 a2A =b -4ac(6)分析，不要求背记)且 b=0;两根异号c<0 a、c 异方;ac异号且a、b异号;(8)两根异号，负根绝对值大于正根绝对值£<0且b<0 a、c异号且a、b同号; aaa、c向号，a、b异号且A封0;a、c向号，a、b同号且A > 0.0时，二次三项式在实数范围内不能分解(9)有两个正根c >0,2>0且4>0aa(10)有两个负根c >0,-<0且A > 06.求根法因式分解二次三项式公式：注意：当AVax2+bx+c=a(x-x i)(x-x

19、 2)或 ax 2+bx+c=a xaab $ b2 4ac x b J b2 4ac2a2a7 .求一元二次方程的公式：x2 - (xi+x2)x + x 1x2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数8 .平均增长率问题 应用题的类型题之一(设增长率为x):(1) 第一年为a ,第二年为a(1+x),第三年为a(1+x) 2.(2)常利用以下相等关系列方程：第三年=第三年或 第一年+第二年+第三年=总和.9 .分式方程的解法(1)去分母法两边同乘最简公分母验增根代入最简公分母(或原方程的每个分母)，值 0.(2)换元法 俟,仅兀'验增根代入原方程每个 分母，值0 .例如：(x+

20、1/x)+(3x/x+1)-2=0换兀.10、最简公分母的求法(1)、将分母系数化为整数后取各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；(2)、凡单独出现的字母或多项式 ，连同它的指数作为最简公分母的一个因式；(3)、同底数募取次数最高的，这样得到的因式的积就是分式方程的最简公分母;(4)、分母是多项式的要先进行因式分解。列一元二次方程解应用题的一般步骤如下：(1)审题：读懂题目，审清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系(2)设元：就是设未知数，根据题意，选择适当的未知量，并用字母(X)表示出来，设元又分直接设元和间接设元(3)列方程：根据题目中给出的等量关系，列出符合题意

21、的一元二次方程(4)解方程：求出所列方程的解(5)验根：检验未知数的值是否符合题意(6)写出答案11.几个常见转化：22,(1) x1x2(x1、2x2)2x1x2 ;22,2(x1 x2) (x1 x2) 4x1x2 ; x12 x1 2(x )2;x或 x2 ;(x )2 2;x1 x2x2 x4(x1 x2)2J(x1x2)2 4x1x2(x1 x2)."72-'72-Z x2). (x1 x2)4x1x2(xx2)222 n11X1X22x1x2(x x?)2x1x2 , ,(X x2)x1x2x1 x2/ (,、2|x1x2|Q(x1x2)24x1x2,xx22x；

22、x2M ( X 1+ X 2)= 222x2x1x1x2(x1 x2)4x1x2等x1 x2 xx2xx2(x1x2)2x1 x2(x1 x2)4x1 x2 ,第十九章四边形关系结构图:PW边形一十希是亶翔一蛆邻边相等一个角是宜用 直角梯形二、知识点讲解：1.平行四边形的性质ABC虚平行四边形(重点)：(1)两组对边分别平行;(2)两组对边分别相等;(3)两组对角分别相等;(4)对角线互相平分； (5)邻角互补.2.平行四边形的判定(难点)广一.两组对5R分别平行、从边看 一组对这平行且相等L三.两组对边分别相等4的匹边形是平行四边形，从角看一一四.两组对角分别相等从对角畿看一一五,对角线互相

23、平分 J3.矩形的性质：因为ABC比矩形(4)4矩形的判定：(1)具有平行四边形的所 有通性；(2)四个角都是直角；(3)对角线相等.是轴对称图形，它有两条对称轴.矩形的判定方法：(1)有一个角是直角的平行四边形;(2)有三个角是直角的四边形;四边形ABC比矩形. 对角线相等的平行四边形；（4）对角线相等且互相平分的四边形.5.菱形的性质:（1）具有平行四边形的所有通性;因为ABC比菱形（2）四个边都相等；（3）对角线垂直且平分对角.6.菱形的判定:（D平行四边形 一组邻边等（2）四个边都相等四边形四边形ABC比菱形.（3）对角线垂直的平行四边形7.止方形的性质：（1）具有平行四边形的所 有通

24、性；ABC比正方形（2）四个边都相等，四个 角都是直角;（3）对角线相等垂直且平 分对角.8.正方形的判定：（1）平行四边形一组邻边等一个直角（2）菱形一个直角四边形ABC皿正方形.（3）矩形一组邻边等名称定义性质判定面积平 行 四 边 形两组对边分别平行的 四边形叫做平行四边 形。 对边平行；对边相等；对角相等邻角互补；对角线互相平分；是中心对称图形定义；两组对边分别相等的四边形；一组对边平行且相等的四边形；两组对角分别相等的四边形；对角线互相平分的四边形。S=ah（a为一边长，h为这条边上的高）矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形除具有平行四边形的性质外，还有：四个角都是直角；对角线相等

25、；既是中心对称图形又是轴对称图形。有三个角是直角的四边形是矩形； 对角线相等的平行四边形是矩形； 定义。S=ab（a为一边长，b为另一边长）菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。除具有平行四边形的性质外，还有四边形相等；对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；既是中心对称图形又是轴对称图形。四条边相等的四边形是菱形；对角线垂直的平行四边形是菱形；定义。S=ah（a为一边长，h为这条边上的高）；（b、c为两条对角线的2长）正方形有一组邻边相等且有 一个角是直角的平行 四边形叫做正方形具有平行四边形、矩形、菱形的性质：四个角是直角，四条边相等；对角线相等，互相垂直平分，每一条对角线平分一组对

26、角；既是中心对称图形又是轴对称图形。有一组邻边相等的矩形是正方形； 有一个角是直角的菱形是正方形； 定义。凸（a为边长）；2（b为对角线长）正n边形的内角的和等于：（n 2） X 180。（n大于等于3且n为整数）；任意多边形的外角和等于 360°若n是多边形的边数，则对角线条数公式是：1/2n （ n 3）从n边形的一个顶点出发作对角线 ，则做（n-3）条，这（n-3）条对角线把n边形分成了（ n-2 ）三角形.一、基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四边形，矩形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位线，梯

27、形中位线二定理：中心对称的有关定理1 .关于中心对称的两个图形是全等形.2 .关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分3 .如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称，这个点叫做对称中心.中心对称图形把一个图形绕它的某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形.中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，这两个图形关于一点对称，其中一个上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，中心对称图形是指一个图形本身成中心对称，表示某