(完整版)《复变函数》考试试题与答案(十二).doc

1、复变函数考试试题(十二)2分)一、判断题。(正确者在括号内打J,错误者在括号内打X,每题1.设复数Z1XI iyi 及 Z2 X2 iy 2 ,若 XI X2 或 yiy2 ，则称Z1与Z2是相等的复数。2.函数f( z) Re z在复平面上处处可微。1 且 sin3. 22sin z cos z z1, COS z4.设函数f(z)是有界区域内的非常数的解析函数,且在闭域D DD上连续，则存在M 0,使得对任意的zD ,有 f(z) M o5.若函数 f(z)是非常的整函数，则f(z)必是有界函数。( 二、填空题。(每题2分)1. i2 i3 i 4 i5i62 .设 z xiyarg za

2、rctan 丫arg arctanZ3.若已知f ( z)x(l1一) iy (1 1一),则其关于变量z的表达式为222x 2 yx，/为支点。5,若In z.，则z6.dz7.级数1Z2 z4 z6 L的收敛半径为 cosnz在8(n为正整数)内零点的个数为 n9.若z a为函数f(z)的一个本质奇点，且在点a的充分小的邻域内不为零，则奇点。一的f(z)I。.设a为函数f的”阶极点，则Re,必f(z)三、计算题（50分）1 .设区域D是沿正实轴割开的 z平面，求函数 w /在D内满足条件 C 1的单值连续解析分支在z 1 i处之值。 （10分）2 .求下列函数的奇点，并确定其类型Ln z

3、一（1 ） f （z） 的各解析分支在zZ2 1（对于极点要指出它们的阶），并求它们留数。1各有怎样的孤立奇点，并求这些点的留数（15 分）（10 分）ez（2）求 Re s -nr. （5 分） z o Z3 .计算下列积分。（15分）(1 )dz ( 8 分)，Iz 2( z? 1)3 .2 2)x2 dx4 2)- (a 0)(x2 a2 产（7 分）。4.叙述儒歇定理并讨论方程z6 6z 10 。在z 1内根的个数。（10分）四、证明题（20分）1.讨论函数f（z）ez在复平面上的解析性。10分）2.证明:1-.zne.z, 4 （-22 ）2 o2 i c n! 11n!此处C是围绕

4、原点的一条简单曲线。（io分）复变函数考试试题（十二）参考答案4. 0,2n28.1一、判断题.1. X 2. X 3. X 二、填空题.1.12.（）5. i6. 24. V5. X13. f(z) z -z7. 19.本性10.三、计算题.I q ro 7 ? k一 一. 1k0,1,2,3,41 .解：wk z 5 e 521-i1得1 e 5 从而有k 2W2 (11i) 2io e_L 3321U (cos i sin )442.解：(1)f(z) -Ln.z-的各解析分支为fk(z) ln_z_ z2 1z22k(k 0, 1,L).1为fb(z)的可去奇点，为Ik(Z)的一阶极点

5、(k 0,1,L) oRe0 Re s(fk(z)J) k i. (k 1,2,L)(2) Res n iz 0 ZResz 0z n o n!n!3.计算下列积分解：(1)f(z)(z2/7-Ll)3(z22)z(l-r-1 32)z(12)zRe s( f,)|f ( z)dzz 22 iRes(f, ) 2(2)设 f(Z)z22 2(Z a )(Zz222ai) ( z ai)令(z)Z2(z ai)2(Z)2alz(Z ai)3则 Re s( f ,ai)( ai)1!2( ai2)(2ai )3ri4aS)dz 2i Res( f, ai)2a(x2 a2)22a4.儒歇定理：设c

6、是一条围线,f(z)及(Z)满足条件:(1)它们在C的内部均解析,且连续到(2)在 C 上，f (z)(Z)则f与f在c的内部有同样多零点,即 f(z) 10g( Z) Z6 6z 有f(z)g(z)由儒歇定理知z6 6z 10o| z 1没有根。四、证明题1证明：.设z x iy有 f ( z) ez ex (cos y i sin y)u(x, y) ex cos y, v( x, y) ex sin y-u_ ex cos y, _llxyex sin y,4ex sin y, 7 ex cos yy在复平面上处处不解析。易知u(x, y), v( X, y)在任意点都不满足C R条件，