伽利略变换和理想流体的运动

1、 伽利略变换和理想流体的运动 王宗谟 江苏省盛泽中学 (吴江 215228) 提要：本文论述了理想流体的伯努利方程及连续性方程在惯性坐标系变换下不具备协变性的原因，指出这并不违背力学相对性原理；分析了这些方程在坐标变换后的物理意义. 一、伯努利方程对伽利略变换不协变 如图a，理想不可压缩流体沿水平管道x方向稳定流动。设在位置1处流速为v1，管横截面积S1，压强为P1；在位置2处流速为v2，横截面积为S2，压强为P2，流体密度为r。在相对于管道静止的x系中，伯努利方程为 P1+v12/2=P2+v22/2 -（1） 又有连续性方程：v1S1=v2S2 -（2） 现设想有一个相对管道以速度u（远小

2、于光速）沿管道匀速直线运动的惯性系x/系，在x/系中流体的运动又如何呢？ 根据伽利略变换： x/=xvt，y/=y，z/=z，t/=t， 可得： vX/=vXu，vY/=vY，vZ/=vZ，即v/=vu。 另有、S、不随坐标系改变；压强P可用比托管显示，也不随坐标系改变。于是（1）式变换为：P1+（v1/+u）2/2=P2+（v2/+u）2/2， 或 P1+v1，2/2=P2+v2，2/2+u（v2/v1/） -（3） 显然， P1+v1，2/2P2+v2，2/2。即在x/系中形如（1）式的伯努利方程失效了。我们知道（1）式实质上就是流体运动中机械能守恒的关系，流体可视为保守场；（1）式不协变

3、说明在不同坐标系中功能关系的形式有所不同。岂止是伯努利方程，连续性方程也失效了：将变换关系代入（2）式得（v1/+u）S1=（v2/+u）S2，即v1/S1v2/S2. 可见，一个无源场在坐标变换中可成为有源的场。 二、相对性原理失效了吗？ 上例容易导致这样一种看法，认为存在一个特别优越的参照系，仅在这个参照系中伯努利方程成立，连续性方程满足。亦即力学相对性原理对流体运动不适用。 这自然是一种误解。相对性原理并不认为所有力学方程都在惯性坐标系变换下保持形式不变，而仅指动力学基本方程具有协变性。连续性方程是运动学方程，本不应有协变性。我们也不能据此说明x系特别优越，因为若管道相对于x/系静止，则

4、在x系中同样会看到流体不连续。伯努利方程也并非动力学基本方程，在理想流体力学中动力学基本方程是欧拉方程： 或 仅当流体定常（=0）、无旋=0）时，可得， 若体积力G是保守力，设其势为，上式可写为. 再沿任意曲线积分，得v2/2+P=C（常量） -（5） 此即伯努利方程。可见伯努利方程并非理想流体动力学的基本方程，它仅是基本方程（欧拉方程）在定常、无旋条件下的积分形式，因而它在惯性坐标系变换下不具备协变性 是不足为怪了。 为了说明相对性原理对动力学规律普遍适用，我们来证明欧拉方程在惯性坐标系变换下的协变性： 在方程（4）中G、P、t是不变量，可直接变换为G/、/、P/、t/；v变换为v/+u。其

5、中u是常矢，故 再考虑算符的坐标变换，单位矢i、j、k都是不变量，可用i/、j/、k/代入，y、z用y/、z/代入。但 ， 当算符所作用场量为压强P时，t与x可认为是独立坐标，从而 当算符作用于场量v时，t与x是相关的，从而-（6） 将（6）式代入 欧拉方程最终变换为：。可见，欧拉方程在x/系中的形式与在x系中形式完全相同。欧拉方程在惯性坐标系变换下协变是意料中的，因为欧拉方程是牛顿运动定律在流体力学中的表达，而牛顿运动定律对伽利略变换是协变的，故对欧拉方程自然也协变。但在求解欧拉方程时所需运用的定解条件却不一定对伽利略变换协变，这是导致欧拉方程的积分伯努利方程对伽利略变换不协变的根本原因。

6、三、对（1）、（2）两方程变换的诠释 从惯性参照系x变换到x/系，这一看似简单的变换却使速度场v发生了一系列变化： 1、x系中的无源场变为x/系中的有源场。 在x系中理想不可压缩流体连续性方程的一般形式为： 代入坐标变换关系式（6），得： 这一结果我们也可以定性地加以解释。为使问题更加突出，不妨假设x/系相对于管道的速度u=v1，这样在x/系中v1/=0，v2/=v2u。因而在图a中，位置1处的流体变为静止，管中流线如图b所示。在x/中看来，流线显然不连续了，出现了许多“源头”。若uv1，则1处流线还可变为反向。2、 x系中的无旋场变为x/系中的有旋场。 在x系中若流体是无旋的：×v

7、=0。代入坐标变换关系式（6），得： 仍以图b来看，显然在管道横截面积变化处的流线出现了“卷曲”。流线的切线方向v/方向如图d所示。3、 x系中的定常流动变为x/系中的非定常流动。 设想在x/系中有一固定点x/0开始处在管道较粗处（图c），由于管道相对于x/系是向左匀速移动的，因而经过若干时间在x/0处可以变为管道的细部，即在x/0处的流速随时间而变，因而是非定常的流动。 前已指出，在x系中理想流体的基本动力学方程欧拉方程在定常、无旋的条件下方可积分得出伯努利方程。而2、3两条表明，在x/系中流体不具备定常、无旋两条件，自然不能将其积分为伯努利方程的形式。4、在x系中管道是静止的，管道对流体的作用力垂直于流线，因而作用力与反作用力均不做功。但在x/系中流体与管道“锥状部”的作用力与管道的运动、及流体的运动均不垂直（图d），流体对管道作负功，管道“锥状部”对流体作正功，即流体系统有外力做功。这种情况犹如一支“牙膏”，管道“1”处是“牙膏腹腔”，“2”处是“牙膏出口”，当有外力不断挤压“锥部”使之变细，那么“腹腔”内原来静止的牙膏就从管口流了出来。 伯努利方程的物理意义是体现一段流体在无其它外力做功时机械能守恒。但在x/系中管道压力对流体系统做正功，机械能不守恒，自然导不出形如（1）式的伯努利方程。 我们看到在（3）式中含有u（v2/v1/）这一项，其中（v2/v1/）是1