2020-2021学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案：4.4.3 不同函数增长的差异 Word版含解析

1、4.4.3不同函数增长的差异必备知识·探新知基础知识知识点三种函数的性质及增长速度比较指数函数对数函数一元一次函数解析式yax(a>1)ylogax_(a> 1)_ykx(k>0)单调性在(0，)上单调_递增_图象(随x的增大)逐渐与y轴平行逐渐与x轴平行直线逐渐上升增长速度(随x的增大)y的增长速度越来越_快_y的增长速度越来越_慢_y值逐渐增加增长关系存在一个x0，当x>x0时，ax>kx>logax思考：存在一个x0，当x>x0时，为什么ax>xn>logax(a>1，n>0)一定成立？提示：当a>1，n&

2、gt;0时，由yax，yxn，ylogax的增长速度，存在x0，当x>x0时，三个函数的图象由上到下依次为指数，幂，对数，故一定有ax>xn>logax.基础自测1下列说法正确的个数是(c)(1)函数yx的衰减速度越来越慢(2)增长速度不变的函数模型是一次函数模型(3)若a>1，n>0，对于任意x0r，一定有ax0>x.a0b1c2d3解析对于(1)，由函数yx的图象可知其衰减速度越来越慢，正确；对于(2)，一次函数的图象是直线，因此其增长速度不变，正确；对于(3)，如23<32，错误故选c2某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件时，日均销售1

3、00件，当单价每增加1元时，日均销售量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为多少时，日利润最大(b)a8元/件b10元/件c12元/件d14元/件3甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如图所示，则下列说法正确的是(d)a甲比乙先出发b乙比甲跑的路程多c甲、乙两人的速度相同d甲先到达终点4下列函数中，随x的增大而增大且速度最快的是_.yexylnxy7xyex关键能力·攻重难题型探究题型一函数模型的增长差异例1 四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x151015202530y1226101226401626901y22

4、321 02432 7681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x呈指数函数变化的变量是_y2_.分析从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化解析以爆炸式增长的变量呈指数函数变化从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速率不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化归纳提升三种函数

5、模型的增长规律：(1)对于幂函数yxn，当x0，n0时，yxn才是增函数，当n越大时，增长速度越快(2)指数函数与对数函数的递增前提是a1，又它们的图象关于yx对称，从而可知，当a越大，yax增长越快；当a越小，ylogax增长越快，一般来说，axlogax(x0，a1)(3)指数函数与幂函数，当x0，n0，a1时，可能开始时有xnax，但因指数函数是爆炸型函数，当x大于某一个确定值x0后，就一定有axxn.【对点练习】 下面是f(x)随x的增大而得到的函数值表：x2xx22x7log2x12190244111389131.5854161615253225172.32266436192.585

6、712849212.807825664233951281253.170101 024100273.322试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？(2)各函数增长速度快慢有什么不同？解析(1)随着x的增大，各函数的函数值都在增大(2)由图表可以看出：各函数增长速度快慢不同，其中f(x)2x的增长速度最快，而且越来越快；其次为f(x)x2，增长的幅度也在变大；而f(x)2x7增长速度不变；增长速度最慢的是f(x)log2x，而且增长的幅度越来越小题型二指数函数、对数函数与幂函数模型比较例2 已知函数f(x)2x和g(x)x3，在同一坐标系下作出了它们的图象，结合图象比较f(8

7、)，g(8)，f(2 020)，g(2 020)的大小分析已知条件：指数函数解析式f(x)2x和幂函数解析式g(x)x3.条件分析：由函数解析式列表、描点、连线，可得函数图象，由两函数图象的交点，分析函数值的大小情况解析列表：x10123f(x)1248g(x)101827描点、连线，得如图所示图象：则函数f(x)2x对应的图象为c2，函数g(x)x3对应的图象为c1.g(1)1，f(1)2，g(2)8，f(2)4，g(9)729，f(9)512，g(10)1 000，f(10)1 024，f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10

8、)，1<x1<2,9<x2<10，x1<8<x2<2 020.从图象上知，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)；当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，)上是增函数，f(2 020)>g(2 020)>g(8)>f(8)归纳提升由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数【对点练习】 函数f(x)lgx，g(x)0.3x1的图象如图所示(

9、1)试根据函数的增长差异指出曲线c1，c2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)解析(1)c1对应的函数为g(x)0.3x1，c2对应的函数为f(x)lgx.(2)当0<x<x1时，g(x)>f(x)；当x1<x<x2时，f(x)>g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)课堂检测·固双基1当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是(d)ay100xbylog100xcyx100dy100x解析由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y100x的增长速度最快

10、2某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来的价格相比，变化情况是(b)a增加了7.84%b减少了7.84%c减少了9.5%d不增不减解析设该商品原价为a，则四年后的价格为a(10.2)2(10.2)2a×1.22×0.820.921 6a，所以a0.921 6a0.078 4a7.84%a，故变化的情况是减少了7.84%.3专家预测，在我国大西北某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，经过x年可能增长到原来的y倍，则函数yf(x)的图象大致为(d)解析由题意可知y(110.4%)x，故选d4.某工厂8年来某种产品的总产量c与时间t(年)的函数关系如图，给出