立体几何怪难题

1、1.如图，在四棱锥 P ABCD中，底面为直角梯形，AD / BC , BAD 90 , pa垂直于底面ABCD , PAAD AB 2BC的中点。(1)求证：PB DM 截面ADMN的面积。解：(1)证明：因为N是PB的中点，PA;(2)求BD与平面ADMN所成的角;AB，所以AN2,M ,N分别为又 BAD 90),即 BAAD ,AD平面PAB，所以ADPB ,PB平面ADMN ,PBDM o2)连结DN ,因为BP平面ADMN，即 BN平面 ADMN由PA 底面 ABCD，得 PA AD ，BDN是BD与平面ADMN所成的角,所以在RtABD 中，BD一 BA2AD222，在 Rt P

2、AB 中,PB.PA2Ab2.2，故ABN - PB . 2 2D在IRt BDN 中，sin BDN 列 BD又 0 BDN故BD与平面ADMN所成的角是(3)由M ,N分别为PC , PB的中点,得 MN/BC，MN1BC2平面PAB，故又 AD / BC，故 MN / AD，由(1 )得 AD 平面 PAB，又 ANAD AN，四边形ADMN是直角梯形，在Rt PAB中，PB j PA2 AB222 ,AN 1PB 2 ,1 ,12截面 ADMN 的面积 S 1(MN AD) AN 1(1 2)22 2 2(1 )以A点为坐标原点建立空间直角坐标系Axyz，如图所示(图略)由PAAD A

3、B 2BC 2，得 A(0,0,0),P(0,0,2), B(2,0,0), M(1,-,1),D(0,2,0)2uuu 因为PBuuuu3DM (2,0, 2)(1, -,1)0，所以2PBDM。(2)uui 因为PBuuirAD (2,0, 2) (0,2,0)0 所以 PB AD，又 PBDM ,PB 平面uuuADMN，即PB (2, 0,2)是平面ADMN的法向量。BD与平面UJUADMN所成的角为，又BD ( 2,2,0)。UUUU UUUJuuu uuu | bd PBI则 sin | cos BD , PB | Qur田胡. |BD|PB| J4 4 J4 4I 4|又Oq,故

4、-，即BD与平面ADMN所成的角是因此BD与平面ADMN所成的角为，62.如图，已知 ABCDAlBiCiDi是底面为正方形的长方体,ADiA 60o, AD14，点P是ADi上的动点.(1)试判断不论点P在ADi上的任何位置，是否都有平面13PA垂直于平面 AAiDi D并证明你的结论;(2)当P为ADi的中点时，求异面直线 AA与BiP所成角的余弦值;(3)求PBi与平面AAiDi所成角的正切值的最大值.解：(i)不论点P在ADi上的任何位置，都有平面 BiPAi垂直于平面AAiDi.证明如下：由题意知，BiAi ADi, BA A A又 Q AA IA Di ABi A 平面 AAi D

5、i 又 A Bi 平面 Bi PAi平面BiPAi平面AAi Di .(2)解法一：过点P作PE AiDi，垂足为E,连结BiE (如图)，贝U PE / AAi ,BPE是异面直线AAi与BiP所成的角.在 Rt AA Di 中/ ADi A 60 A ADi30 AiBi AD iADi 2, AEADi i,2 2B1E，丽F5 又 PE 2AA1，3 4在 Rt B1PE 中，B1P 、厂32 2cos B1PE 空BP、32.0又PA底面ABCD ,PA BD , BD 面 PAE ,异面异面直线AAi与BiP所成角的余弦值为解法二：以Ai为原点，AiB所在的直线为X轴建立空间直角坐

6、标系如图示,A(0,0,2、3)，Bi(2,0,0)，P(0，3)，mir_A,A (0,02,3)，ujirA(0，PI /Ai、. 6uir ujurUHUUTAA B,PCi二 cos A)A,B1Purn Huur |A1A| |B1P| /3 224异面异面直线 AAi与BiP所成角的余弦值为(3)由(i)知，耳A 平面AAiDi ,Bi PA是PBi与平面AAi Di所成的角,且 tan Bi PA|Bi AAP2AP当AP最小时，tan BiPA最大，这时 AP ADi，由AP a1。1 ,3ADi得 tan Bi PA2 .3即PBi与平面AA| Di所成角的正切值的最大值2.

7、336.已知 PA 平面 ABCD , PA AB AD 2 , AC 与 BD 交于 E 点，BD 2 , BC CD ,(1 )取PD中点F，求证：PB平面AFC。(2)求二面角 A PB E的余弦值。解法 1:(1)联结 EF，: AB AD , BC CD , AC=AC ADC ABC , E为BD中点，F为PD中点，- PB/EF ,- PB/平面 ACF(2)联结 PE, / PA AB AD BD 2 ,在等边三角形 ABD中，中线AE BD ,平面PAE 平面PBD。过A作AH PE于H，贝U AH 平面PBD 取PB中点G，联结AG、GH，则等腰三角形 PAB中，AG PB

8、 ,/ AH PB , PB 平面 AGH , PB GH , AGH是二面角A PB E的平面角等腰直角三角形PAB中，AG ,2，等边三角形 ABD中，AE 3 , Rt PAE 中,AH, GH 上,.77 COS AGHGHAG27_12.7弓.二面角A PB E的余弦值为.7o7解法2 :以AC、AP分别为y、z轴，A为原点，建立如图所示空间直角坐标系,/ PA AB AD BD 2, BC CD ABD是等边三角形，且 E是BD中点, ABC ADC , AC BD则 A(0,0,0)、 B(1, 3,0)、 D(1, 3,0)、yE(0,3,0)、P(0,0,2)、uuuuuu(

9、1 ) PB (1,3, 2)、FE/13(,2 21)muPB1 uuu-FE2 PB/EF , PB/平面 ACF(2)设平面PAB、PBE的法向量分别为 n1 (x1,yi,0) n2y2,1),.uuu / AB(M,0),uuu PB(1“,uuu2) , PE(0,3, 2),uu uuuir由 nuuu AB0及n2 PB uu uuu0得ir厂uuq ( V310) , n2n2 PE0ir uu cos厲iruu4ur近Im |g I7，二面角APBE的余弦值为oE的平面角;APB77.如图，已知ir un则nn?的夹角的补角就是二面角(0, - 23,1),A吐平面 ACD

10、 DE1 DE. DE2 2则 C (o, 1,0), B( J3,0,1)，E, (0,1,2).设n (x, y, z)为平面BCE的法向量,则 n CB 0,n CE 0,即 3x y z 0,令乙 1,则 n (0, 1,1).2y 2z 0.m (0,0,1)为平面ACD的法向量。设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为，则COS|m| | n| 22245，即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为 459.如图，在四棱锥 P ABCD中, PA!底面 ABCD / DAB90 , AB/ CDAD=CD=2AB=2 E, F 分别是 PC, CD的中点.(I)证明：CDL平面BEF;(

11、n)设 PA k AB,且二面角E BD C为60，求k的值.DF/AB解：(I)证明： DFAB矩形 ABFDBF CDCDAB 90PAL平面 ABCD ADL CD.由三垂线定理得 PD CDE是PC中点口 亠-EFPDF是CD中点EF CD CD丄平面 BEF(n)连结 AC且交BF于H,可知H是AC中点，连结EH,由E是PC中点，得EH/ PA, PA丄平面 ABCD.得EHL平面 ABCD且EH 2PA ,作HML BD于M连结EM,由三垂线定理可得EML BD.故/ EMH为二面角 E BD F的平面角，故/EMH600./ Rt HBMh Rt DBF,HM HB HM故.得-

12、DF BD1在 Rt EHM中,tan 60 ,HMk S.5F得HMJ HA解法2: ( I)证明，以A为原点，建立如图空间直角坐标系 A xyz.则 B(0,1,0) , C( 2,2,0) , D( 2,0,0).设PA =k,则 P(0,0, k),E( 1,1,k2),F(2,1,0)uuu得CD(0：uuur 有CD 有 uuurCDuuu BE uuu BF0,0,则CDCDBE,BF,n) Q PAk(k0),P(0,0, k),平面BE ( 1,0,k-),BD2(2,1, 0)(x, y,z), 有n设平面BDE的一个法向量n(uuuuuu2,0), BE ( 1,0,BF

13、 ( 2,0,0)CD 平面BEF .BCD的一个法向量uuuAP (0, 0, k),uuu ruuurBE,且 nBD ,r uuu m n BE 则 r uuurn BD0,0,2x|z 0,y 0,x 1,得 n (1, 2冷).| cos2,得 5k2uuu r AP n| cos60 ,4 16.k2.15516.如图，在棱长都相等的四面体ABC中,点E是棱AD勺中点,(1)设侧面AB（与底面BCD所成角为a,求ta n a .AF丄 BC, DF丄 BC, tg 2、2设CE与底面BCD成角为B,求cos 3 .在直线BCk是否存在着点F,使直线AF与CE所成角为90, 若存在，

14、试确定F点位置；若不存在，说明理由。答案：解：（1）连AF、DF,由厶ABCM BDC是正三角形，F为BC中点，得AF=DF/ AFD为二面角 A-BC-D的平面角设棱长为a，在 ABC中，AF=,DF=32 -又AF=DF E为AD中点，故 EF AD在 Rt DEF 中,EF=S1DEj，由 EG2DF EF DE得EG21 .22a 2a3a2丄3.V2 jt-rsin，贝U cos3法二：设AOL面BCD于 O,则O为等边三角形，BCD为中心，设BC中点为 以O为坐标原点，OM所在直线为x轴，ON所在直线为y轴，OA所在直线为0(0,0,0) , A(0,0 ,兰 a),C( a,a,

15、0),D(-32在 Rt CEG中,标系O-xyz ,设棱长为2a,则M CD中点为N, y轴建立直角坐a,0,0),2E(-扌 a,0,叫)3 OA 0,0 , a, CE33 2a cos=42菖a3(-中)3a CE与面BCD所成角的余弦值为cos=sin=1Z3法一：设F(3 a,y,0)，则AF又 AF CEay(亍,y,4a203，2 6 、Ta)-y=-2aF(守法二：设a,-2a,0).AB又 AFCE即F在CB处长线上，且c, AC a, CD1FB= BC2F三点共线,AF c (1)c c (1321 CB2)a (b a)21 -a21 F在CB延长线上，且FB= BC

16、 217.如图,在四棱锥 P ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD 底面ABCD , AF -c2-AB2AB且PA PD子AD,若E、占八、(1)求证：直线明： 连EF PAD PDC 结 AC ,EF PA PA PAD EF PADEF / 平面 PADPAD ABCD PAD I ABCDPEMpCDyABz DF EI .O 一AD CDAD CDPADCD PA PA PD -ADPADAPD -22PA PD CD I PD DCD PDABCD PAPDCPAPADPADPDCPD M EMMF EMPD EFPDC EF PDPDEFMPDMFEMF1&11

17、B PD CRtFEMEFPAaEM-CDa2224tan EMFEFEMa41-a2辽 ADOOPOF PA2PD, PO AD侧面PAD底面ABCD,平面PAD 平面 ABCDAD,PO 平面 ABCD , 而O,F分别为AD,BD的中点， OF / AB ,又ABCD是正方形，故OF AD. PA PD 2adpa PD,2OP OA以O为原点，直线OA,OF,OP为 x,y,z轴建立空间直线坐标系，aaA(严，F(0q0),D( -,0,0),2E(-,-,-)4 2 4 uuu(1 )易知平面PAD的法向量为OF- E为PC的中点，P（OQ 2），aaB(2,a,0),c( 2,a,

18、0).吒，0)而EF (4,0,亍,EFPAD (2)uur uuu且 OF EF (0,-,0) (,0,-)244uu aPA /uuu PAauuuruuu mua a),CD (0,a,0) PA CD (,0,) (0,a,0)0,2 2 2uuurCD ,从而 PA CD ,又 PA PD , PDI CD D, PA平面PDC ,而PA 平面PAD ,平面PDC平面PADuuu a 由 知平面PDC的法向量为PA ( ,0,2ruuun (x, y, z) . DP设平面PBD的法向量为2).a a uuur (a,0,a),BD2 2(a,a,O),r uiur由 n DPr

19、uuur0,n BD0可得ax2a1,则 y 1,z1,故 n (1,1,1), cosr uunn, PAumPAn n uur n PAa2a 32即二面角BPD C的余弦值为6,二面角B PD3C的正切值为厶2218.如图，在梯形 ABCD 中，AB / CD, AD DC CB a,ABC 60 ,平面ACFE 平面ABCD ,四边形ACFE是矩形，AEB EF D的平面角的余弦值.ABCD 中， AB/CD ,ADDCCBa, ABC60四边形ABCD是等腰梯形,且DCADAC30 ,DCB120ACBDCBDCA90ACBC 2 分EF上.(1)求证:BC 平面ACFE; 当EM为

20、何值时，AM /平面BDF ?证明你的结论；(3)求二面角(I)在梯形又平面ACFE 平面BC 平面ACFEABCD ,4交线为AC ,分a,点M在线段(n)解法一、当EM.3a时3时，AM / 平面 BDF ,5在梯形ABCD中，设AC BDN，连接 FN，贝U CN : NA1:2EM a，而 EF AC -3a EM : MF 1:2, 35MF /AN ,四边形ANFM是平行四边形，AM /NF又 NF平面BDF , AM平面BDF AM /平面BDF解法二：当EM9 时，AM/ 平面BDF,由（I）知,以点C为原点，CA,CB,CF所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系,则 C(0,0

21、,0), B(0 ,a, 0), A(、3a，0,0) , D(子,F(O,O,a), E(.3a,0,a)AM 平面BDF ,AM / 平面 BDFAM与FB、FD共面,也等价于存在实数m、n，使 AM mFByEMtEFEM(3at,0,0)AMAE EM又FD、31a, a,2(2a)，FB (0,a,a)从而要使得:(.3at,0, a)m(0,a, a)- 3atma3 an21 an ，解得t2aman(出)解法一、取EF中点DEDF, DG EFnFDEF( 3a,0,0)3at,0,a)31n( a,a, a)成立,2 2当EM a 时，AM / 平面 BDF 3EB中点H，连

22、结DG，GH，DHBC 平面ACFEBCEF又 EF FC , EF BE2 DE2 DB2DGH是二面角B EF D的平面角.FC ,2FB，又 GH /FB , EFGH在 BDE 中，DE .2a,DB .3a, BE . AE2 AB2,5a552EDB 90 , DH a 又 DG a,GH a.222.5在DGH中，由余弦定理得cos DGH百即二面角B EF D的平面角的余弦值为10解法二：由(I )知，以点C为原点，CA,CB,CF所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系,则 c (0,0,0), B(0,a,0) , AC.3a,0,0),D(晋，1a,0),2 2F(0,0,a

23、), E(、.3a,0,a)过 D 作 DGFE垂足为G 令FGFEC、3a,0,0)G.3a,0,0)5CG CF FG ( . 3a ,0,a), DGCGCD(； 3由 DG EF 得,DG EF 0,1DG(0,1a,a)22BC AC,AC/EF, BCEF,BFEFaGD与向量FB所夹的D的大小就是向量,即GDaEF, Dyx面角B EF角.FB (0,a,a)cos GD, FBGD FB、10GD FB1的平面角的余弦值为101010即二面角19.如图，已知 BCD中， BCD 90E、F分别是AC、AD上的动点，且,BC CD AE AF AC ADBEF丄平面(1)求证：不

24、论 为何值，总有平面(2)若平面BEF与平面BCD所成的二面角的大小为 解法一：(向量法)：- 32 a,-a,a)2(0, 2 a, a)B EF D1 , AB 丄平面 BCD , ADB 60 ,(0ABC ;60，求的值。z过点C作Cz / AB AB丄平面BCD Cz丄平面BCD 又在 BCD中， BCD 90 BC CD如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C xyz .又在 BCD 中， BCD 90 , BC CD 1 BD 2 又在 Rt ABD 中， ADB 60 AB、怎 则 C(0,0,0), B(1,0,0),A(1,0j6),D(0,1,0)(1)证明：T C(0,0

25、,0),B(1,0,0),A(1,0, ,6), D(0,1,0) BA (0,0, .6),Cb (1,0,0),CD (0,1,0) BA CD 0,CB CD 0 BA CD,CBCD又ABBC B CD丄平面ABC又在 ACD中，E、F分别是AC、AD上的动点,且佟AC又AFADEF 平面(0BEF1)不论为何值，总有平面BEF丄平面ABC(2).AE* , AC5/ AC(1,0,冋, aE又AB 0,0, 6bEaEAB,06(1设n(x, y, z)是平面BEF的法向量，则n），BE,n EF不论 为何值，都有 EF / CD EF丄平面ABCACEF /CD ,n CD , C

26、D =(0,1,0),X6(1)z 0 令 z得 x 6(1),y0.n (、6(1),0,),y 0m （0,0,1）是平面BCD的法向量，平面 BEF与平面BCD所成的二面角为60又n m112cCAC cOS60|n |m|1 6(1)22 222或22 （不合题意，舍去），故当平面BEF与平面BCD所成的二面角的大小为 60时22解法AEAC设 E (a,b,c ),则(a 1,b,c. 6)( 1,0, . 6),其余同解法一(2 )解法三：设n (x, y,z)是平面BEF的法向量，则n BE,n BF / AL AL (0 i)AC AD1 EM1又在 BCD 中， BCD 90

27、 , BC CD 1(I) 当1a5时求证OCa4 a/x ya4、3DE,31- *DF n(x,y,z)wnDEx - 3y2z03v3rx乙yznDF2x 3z026面DEF所截而得.AB=2, BD=1, CE=3, AF=a , O为 AB 的中点.m (0,0,1)zEPDAPO2BXECyACAB ACBD2 又在RtABD 中，ADB 60 AB,6 EM .、6(1)又BMAE，且BC 1BM CM1E(1,0,.6(1)BCAC又CN BCF(1,，:6(1 )BE(,0, .6(1),BF (，八 6（1)x . 6(1)z0令z得X6(1),y 0 n G 6(1),0

28、,)x y 16(1 )z 0其余同解法一22.如图所示的几何体是由以正三角形ABC为底面的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）被平1. 30 . 30a DE . 3 DF911010OP OD DP (1,0,1)(1八 3,2)(1, 3,21)412 1CPOPOC (1,3,21) (0,.3,0)(13(:1),21)CPDE1 3(1)2(21) 0 1,a 2 a1，在矩形ABCD中，CPDF2(1 )(a1)(21)04aDP DEAB 2, AD 1,E是CD的中点，以AE为折痕将 DAE向上折起，使 D为D，且平面D AE 平面 ABCE .(I)求证：AD EB;(n)求直线

29、 AC与平面ABD所成角的正弦值.C图1解（I）在 Rt BCE 中，BE . BC2 CE2,2 ,在 Rt AD E 中，AE . DA2 DE2、2 ,AEBE .平面AED 平面ABCE，且交线为 AEBE平面 AED .AD平面AED , AB222 BE2 AE2 , AD BE .(n)设AC与BE相交于点F，由(I)知ADBE ,- ADED AD平面EBD ,- AD平面AED ,平面ABD平面EBD，且交线为BD ,如图2,作FG BD，垂足为G，则FG 平面ABD , 连结AG，则 FAG是直线AC与平面ABD所成的角.D2EF EC 11由平面几何的知识可知 三匸壬丄,

30、 EF EB FB AB 233在RtAEF 中，AF.AE2EF2.2V93在Rt亠 FGD E可求得FG2、6EBD 中，FBD B92,6- sinFG9.30FAGAF2.515/30直线AC与平面ABD所成的角的正弦值为 -一1525.三棱锥被平行于底面 ABC的平面所截得的几何体如图所示,截面为A B 1 C 1 ,平面A Ai丄平面 ABC,A1A1、3 , AB=AC=2 A1 C1=1 ,BA AC2.3 , D是BC的中点.(I)(II) 解：I(I)证明：平面AAD上平面求二面角 A- B B1-C的大小.TA A 丄平面 ABC BCC平 面 ABC A1 A 丄 BC

31、.BC Ci B i;D/ BA AC 2品,AB=AC=2/ BAC=60 , ABC为正三角形，即 AD丄 BC. 又 A A n AD=A - BCL平面 AADT BC 平面BCCiB ,平面 A AD丄平面BCCB1.n )如图，建立空间直角坐标系,则 A(0, 0 , 0) , B(2, 0 , 0) , C(1,.3 , 0),A(0, 0 ,、3), B(1 , 0 ,3),- BBi ( 1,0, . 3), BC ( 1, .3,0),显然，平面 ABBA的法向量为 m=(0, 1, 0),设平面BCCBi的法向量为n=(m, n, 1)，贝U BCn (、3,1,1),c

32、os m, n0,311011平 02 02. ( . 3)2 12 125即二面角A- BB C为arccos丄550, BB1 n 029.如图，在各棱长均为 2的三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面A1AC(C丄底面 ABC / A1AC=60 .(I )求侧棱AA与平面ABC所成角的正弦值的大小；uuur uur uuu(n )已知点D满足BD BA BC ,在直线AA1上是否存在点P,使DP/平面AB1C?若存在，请确定点 P的位置；若不存在，请说明理由umr由 cos=AA nV 36AA ?n 2 24解：(I厂侧面AACC丄底面ABC作AO丄AC于点0, A0丄平面 ABC又/

33、ABC=/ A1AC=60，且各棱长都相等, A0=1, 0A=0B= 3 , B0丄AC.故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则A(0, -1 , 0) , B( .3 , 0 , 0) , A(0, 0 , .3) , Q0 , 1, 0), AA (0,1, .3)；; AB|J3,2,J3,aC0,2,0 .设平面 ABC 的法向量为 n=(x,y,i)则n AC 2y 0n AB13x 2y 3 解得 n=(-1,0,1).而侧棱AA与平面ABC所成角，即是向量 AA1与平面ABC的法向量所成锐角的余角,侧棱AA与平面ABC所成角的正弦值的大小为 上64 BD (

34、 2,30,0)uuu uiu uuuruiu-uur (n ) BD BA BC,而 BA .3, 1,0 , BC , 3,1,0.又 B( . 3 , 0, 0)，点D的坐标为D(- . 3 , 0, 0).假设存在点p符合题意,则点P的坐标可设为P(0 ,uuury , z). DP V3, y,zDP/平面 ABC, n=(-1 ,0,1)为平面ABC的法向量,uuuULUry由 AP AA ,得 LJ33, y 0又DP平面ABC,故存在点P,使DP/平面ABC,其从标为(0 ,0, 3), 即恰好为Ai点33.如图，棱柱 ABCABCD的所有棱长都等于平面 AACC丄平面 ABC

35、D ZAA(=60o(I)证明：BDL AA;2, Z AB(=60 ,(n)求二面角 D- AA C的平面角的余弦值;P使(川) 在 直 线 CG 上 是 否 存 在 点BPCCC.3.3,3BD ( 2.3,0,0)AA1(0,1,、3)AABD 0(2.3) 1 03001C C O Cn1(1,0,0)n2门2上AA|、一设压(x, y, z)y3z0取n2(1.3, 1)AD,3xy0cos5 n2,51A51CCPCC1, P(x, y,z)55|n 1 | | n2 |(x,y1, z)(0,1, 3)P(0,1,3 )BP(3,1,3)n3平面 DA1C1门3A1C12 y30

36、不妨取n3(X3,y3Z) 3z3% (1,0,1) BP1C n3DA1 3x30BP0即:3、30 得11CC图，在棱长为1的正方体AC1中，E、F分别为A| D1和A| B-|的中点.(1) 求异面直线 AE和BF所成的角的余弦值；(2) 求平面BDDi与平面BFCi所成的锐二面角的余弦值;(3)若点P在正方形ABCD内部或其边界上，且 EP/平面BFC1，求EP的最大值、最小值.1 1解: (1) A(1,0,0) , E(0,1), B(1,1,0) , F(1,1)11 1AE ( ,0,1) , BF (0, ,1),cos(AE,BF) 22$匡，4 4(x,y,z)1 1 -

37、(2)平面BDD的一个法向量为MA (1,訐)，设平面BFC的法向量为n*In BF y z 02-y 2zn BC (x, y,z) ( 1 ,0,1)x z 0cos(3)ULWEP1得平面BFC的一个法向量 nuur rMA nMA, n uur r|MA| n|1 122、621,0 y(1 ,2,1)a所求的余弦值为设 P(x,y,0) (0 x1 uuu r(x ,y, 1),由 EP n 0 得(x22y 3, Q0 x 1,20 2y1才322y 10uunEP12y21 2Xy52Q -y5当y时，丨EP |min44537.如图，p、O分别是正四棱柱 ABCDABkAA.(

38、I)求证:A E / 平面 pbc ；(H)当k2时，求直线PA与平面(川)当k取何值时，0在平面pbcuuuy 3 时,a |ep|PBG所成角的大小;max内的射影恰好为 PBG的重心?ABGD上、下底面的中心,EBDG解法一：（I）过P作MN BQ,分别交 Ai B、D G于M N,贝U M N分别为AiB、 的中点，连 MB NG则四边形BGNMH平行四边形/ E、M分别为 AB A B 中点，a A EN MB又MB 平面PBG a AiE/平面 PBG（H） 过A作AF丄MB垂足为 F,连PF,t BGL平面 ABBA, AF 平面 ABBA ,a AF丄BC, BG A MB=B

39、 a AF丄平面 PBG a/ APF就是直线 AP与平面 PBG所成的角， 设 AA=a ,则 AB= 2 a , AF= a , AP= 2a,3sin / APF=a 6。所以，直线 AP与平面PBC所成的角是arcsin-6。AP 33（川）连 OR OB 0C贝U OPL BG由三垂线定理易得 OBL PC, OCL PB,所以0在平面PBC 中的射影是 PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是 PBC的重心，则厶PBC为正三角形。即 PB=PC=BC 所以 k 2。反之，当k= 2时，PA=AB=PB=PC=BC所以三棱锥O PBC为正三棱锥, O在平面PBC内的射影为 PBC的重

40、心+解法二：以点0为原点，直线 OA OB、OP所在直线分别为x、y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB 2 2，则得A （2,0,3）kC( 2,0,0)xumrBCuuu(I )由上得 AE ( 1,1,(2, 2,0)、PB (0,2,辛)umrBC解得x(1,1,x (2, 2,0)ujiin A E(0,2,uuuBC22.2)uuu PBCQ BCPBB , AE平面 PBC AE /平面 PBC（n）i当k2时，由P(0,0,2)、A(2,0,0)得uur PA(2,0, 2)、umruuuBC ( 2, 2,0)、PB (0,2, 2)设平面PBC的法向量为n (1

41、,)r，则由nuuuBC uuu0 1，得0r,n (1, 1, 1)nPB006nn r cos PA, nuuu rPA nuur fPA n直线PA与平面PBC所成角的大小为arcs点（川）由（I ）知PBC的重心G为lult则OG若O在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心，则有2, ACCCumr uultOG BC 0lilt uii，解得 k 丿 2OG PB 0当k 2时，O在平面PBC内的射影恰好为 PBC的重心.29.如图，侧棱垂直底面的三棱柱 ABC A1B1C1的 底面ABC位于平行四边形 ACDE中，AE 2,AC AA 4, E 60 ,点 B为 DE 中点.（I）求

42、证：平面ABC 平面A,ABB1 .（H）设二面角 A1 BC A的大小为 ，直线AC与平面ABC所成的角为 ，求sin（ ）的值. 解：（I）方法一、在平行四边形 ACDE中，/ AE 中占I 八、ABE 60 , CBD 30 ,从而 ABC 90 ,即 AB BC又 AA1 面 ABC , BC 面 ABC二 AAi BC ,而 AA I AB A, / BC 平面 AiABBi BC 平面 A1BC平面 ABC 平面 A1ABB1方法二、/ AE 2, AC 4, E 60 ,点 B 为 DE 中点 AB 2, BC 2 ._3, AB2 BC2 16 AC2, AB BC又 AA 面

43、 ABC , BC 面 ABC , AA BC ,而 AAi I AB A , BC 平面A ABB1 BC 平面 A1BC平面Ai BC 平面Ai ABB1(n)方法一、由(i)可知 ab BC , AB BC- ABA为二面角 a BC A的平面角，即 ABA在 Rt AAB 中，AB 2,AA 4,RB 2 5 ,AA2 ”5AB ,5sin sin ABA -, cosAB 5A1B5以A为原点，建立空间直角坐标系 A xyz如图所示, imr其中 A (0,0, 4) , B(、. 3,1,0) , C(0,4,0) , AC (0, 4,0), unruuuAB (、3,1, 4), BC ( .3,3,0),r uuur rn ABx0 3x y 4z 0,_ y即0、3x 3y 0设n (x, y,z)为平面 ABC的一个法向量，贝U r u