分数的拆分问题讲义

1、方法一、将分子，分母数字较大的采用“等值放大”分数的基本性质例1分数8的分子加上9，要使分数值不变，分母要扩大多少倍 分析：8 =8(+9)，分子增加3倍，说明分子扩大了 4倍，分母也要增加 3倍或扩大4倍。8 8+()拓展：分数的分子加上8，要使分数值不变，分母要扩大多少倍1543例2、分数7的分子和分母都加上一个数，得到的新分数化简以后是 -，求分子和分母都加上的这个数是几3分析：方法一试一试：将3的分子、分母同时扩大相同的倍数43 6912154= 用这些分数的分子、分母与的分子、分母相减，结果相同的就是。4 812162072439416方法二先观察下面的几组等式：-=36515312

2、a d交叉相乘可以发现 3X 4=2X 6 5 X 9=3X 15 4 X 12=3X 16,因此我们得出这样一个结论，当= 时，ab cX c=b X do解：设分子和分母都加上的这个数为x，根据题意可得：4+x_ 37+x= 4(4+x)X 4=(7+x) X 316+4x=21+3xX=21-16X=5方法三：【利用分母与分子差不变】3，求分子和分母都加上的这个数是几11拓展：分数的分子和分母都加上一个数，得到的新分数化简以后是41原来相差30加同样的数还是相差 30但新数相差为5,必须5X 6 =30例3: 个分数，分子比分母大20, 如果分子减去6,得到新分数约分后等于1彳，求原分数

3、。方法：【利用分母与分子差不变】31例4、一个分数，如果分子加上 1,就变成4，如果分子减去1，就变成-，那么原来的分数是多少看分子减2倍 可以不可以变成1/2方法二、通分4 1拓展：一个分数，如果分子加上1,分母减去1,就变成三，如果分子减去1，分母加上1，就变成75 2分数是多少将分子，分母数字较大的采用“等值放大”将分子，分母数字较小的数，变成分子比第一个数小 2,分母比第一个数大 2方程法：23一个分数，如果分母减去 2,就变成3，如果分母加上5，就变成8，那么原来的分数是多少方法一、等值放大两数分母相差7方法二、通子3一个分数，如果分母减去 4,就变成1，如果分子减去2,就变成5，那

4、么原来的分数是多少将分子，分母数字较大的采用“等值放大”将分子，分母数字较小的数，变成分子比第一个数大 2,分母比第一个数小 41 例5、一个分数，分子分母的和是122,如果分子分母都减去 19，得到是新分数化简后是 -,5求原来的分数是多少利用和变拓展：55亠4、分数的分子减去某数，而分母同时加上这个数后，所得的新分数化简后为，求某数是多少6413利用和不变例6 一个分数，如果分子加上16,分母减去166，那么约分后是 -，如果分子加上124,分母加上4那么原来的340,那么约1分后是-。求原分数是多少2用方程组分数的拆分问题一、分数拆分的初步知识拆分主要有以下几个步骤：把的分母写成质因数乘

5、积的形式4即：;兰召斟巴召的分子和分母同吋乘以5成为占鼻的形石式，这 叫做扩分。注意：为什么要乘以5因为5正好是分母6的两个质因数的和。把分子拆成分母的两个质因数的和，再拆成两个分数的和。即：1X52 + 3232x3x52x3x52X3X52X3X5把拆开后的两个分数约分，化成最简分数 例1填空：丄=八十丄，并写岀过程1_：_ X9 _2十？142><72x7x92X7X9_ 1 1 11_ H * 2X9帀坨事实上，我们把分母分解质因数后，可以得到这个分母的不同的约数，只要把分子、分母 都乘以这个分母的任意两个约数的和，就可以把一个分数拆成两个分数的和。9、18,取不同的两个约

6、数的和，可以得到例2填空,存古占解: 18分解质因数后共有六个约数：1、2、3、6、 不同的解。如：丄=1X(H2) 丄十=丄+丄nU1S 二 13X(1 + 23 = 54 + 54427存IX (2+ 3518. (2+ 3) 2一 +90311M斗9045 30丄=lx(3 + 6) 361 1 + 18X(3+6)16S16251271冥(6 + 9) 69F=1 1+1SlSX(6 + 9)27027045 30® =1X(9十适918-* 1 1=+1818X(9 + 18)4864865427可以看出，由于每次所选用的两个约数不同，所得的解也不相同。但是当选用的四个约数

7、成比例时，它们的解就相同。如：选用 1和2, 3和6, 9和18；或选用2和3； 6和9时，解 就相同。、把一个分数拆成几个分数的和以上拆分的方法同样也适用于把一个分数拆成三个或三个以上分数的和例唇卜+F 解：18的约数有1、2、3、6、9、18。可以任意取其中三个约数，得到不同的解。108 100 108 丄_ 1艾(1广2严耳12= 18X (1 + 2 + 3)1 1 1=+ + 51CJS 刃 36 1 _ 1X(2匕尢)18 18X(2 + 3 + ® 1船 15S1981 1 14 + 9966331X(143 + 6)12X (1 + 36)13611ISO 130 I

8、SO1 1 1Tso + 60+30答案不只一种三、把一个分数拆成两个分数的差能不能把一个分数拆成两个分数差的形式呢观察下面的分数运算，看左右两边有什么关 系。1 11111X2 '21221111 _12><3623 -61 111 _13X4 =123A 12由上面的例子可知！当一个分数为比时,&为自然数)，可n x (n + 1)拆分为-4?的形式。即：勻公式dii n+1i例4填空丄6()(c 11 |56 t ) ( )!解卜芸r !；丄二亠.二丄.丄O62X323123X4? 41 1 _ 1 _ 156 ' 7X8 78观察下面几个分数的运算，

9、左右两边有什么关系5511U-ll5UXU一 176TF1617617&66 3i18-2632XS16_ 828 _询16_ 822119-727X95375363以上每个分数的分子d都是分母中两个因数的差。当n、n+d,都是自然数时，沖可臥转化为两个分数相减的形式。即，Il X （n + dj当d=1时，公式（2）则转化为公式（1）。利用公式（2）可以把 差的形式。例5把下面各分数写成两个分数差的形式。（1） A（2）A（3）（4）些分数拆成两个分数解 CD = -_=243X838© 284X?47么丄丿丄637X979182X92?邛話丄弓可推导也x (n + dj

10、a n + d 亠(Dti (n + d) d xn n + <1由公式女口: 一 X 一 j圧245'±4x632 ±=lx(l-l)8; 28 3 4 7X X 18 7 2 T观察下面等式，左右两边有什么关系。1 1 r1 . 11X2X3 " 61 12X34 = 241 _ 13X4X5 *601 1x(2 hx2 2X31 1 1 x r2 k1x(2><33址4241 1 160通过上面算式，可以得出这样的结论:1丄1- 1 nK(ti 十 1)X (血十 2)2LnX (n + 1)(n + 1) X(n 2)JCQ 式4

11、）1 1 1 1 161X2X32 T *1 1 111242x3x42 v6 1271 1 111603XX521220J由此可知，一个分数可以根据需要拆成两个或若干个分数的和或两个分数的差的形式。 四、拆分方法在分数加法运算中的应用膵计算卜卜卜护存君J 4 J J V J t J 1,11111114 4 5 5 6 6 71.1； J_ 1 1=1'2+2"3+31 6 =1 一 一 =77例6计算:1 1,1,1 1932 15S9 * 1939X1390 十 1990X193? + 1991解前三个分数相加，可直接写成爲-点lyda iyy 1厚式!+:-.-158

12、S199119911988例孑 12X14 + 14 xi< 16X1813X2020解：由公式（2）'1 I 11各丿十(花亠祁+(花一 20 11111_|_1_ * 12141-416 1618 18 20 20112原式二存令十&召11111+ 2011 1 ( 11x5 + pF? + ?X13 4 1 芥 17117X21解：由公式（3）原式-1=X4=lx421 21例9计算:1 + + 3 + 1 + 2 + 3+4十*+1 + 2 + 3>-'- +50解：由等差数列求和公式得:1+2 + 3+n X (fi + 1)比沈(扛士1-2X由此

13、，本题中的各个分数可以拆分为:因此，本题解法如下:111111 .X () () +4 *9 1? 417J1 I+十13171721原式= W2X(-) + 2X= . "2 3 3 44 524949+ F十話1可1 1 1 1(亍一我十磔(彳工)卄十2赣11111 1 1” + ” 4+-)50 5*驱计算卜卜存右解根据公式卜卜嘤厂左)=-x(2422X3 3X4J丄丄丄亠6027" 仆5原式=丄 X ()中丄 X () + -X(J十2 1X 22X32 2XH 3X423X44 XV 40=乂 (+ + 2 HX2 2X32X33X43X4 4X5J 401 一1

14、X111112 20740440404例11计算1丄1114x5x6 5XX76X7X8 7X8X993x99x100解：根据公式(4)百十】一 11111112 V4X5 5X6 5X6 6X? 6X7 7XS 7X81 1 1 ,93X9599乂1渝,1 ； 1 125 9910(/40 198D04M247'198QQ 9S0C加求舲歸1嘉梟梟弟弟的和解：先把同分母的分数相加，看看有什么规律。1 211+2+14、 十 十 = = =2 2222123211+2十了才2十19r3 333 3331 2 33 2 1 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1-J- 一 十一+ 十一十一+ W 4 4 4 4 4 4 4416上面三个算式表明，分母是2、3、4的如上面这样的算式，它们的和分别是 2、3、4。由 此可以推出，分母为K的如上面的算式，所有的分数的和等于 K。所以， 原式=2+3+4=9 例13计算112111991 19901丄 Js & 亠电.土i * 丄厶厶 1士 2 2 219911991 199?1991解：可以利用例12所得出的结论以及等差数列求和公式进行计算。原式=1+2+3+1991=(1+199